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1、1 2 第 1 课时一元二次不等式的解法 知能目标解读 1. 理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图像解一元二次不 等式 . 2. 熟练掌握将一元二次不等式转化为一元一次不等式组. 3. 对于含参数的一元二次不等式，能进行分类讨论求解. 重点难点点拨 重点：一元二次不等式的解法. 难点：一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不等式的分类讨 论. 学习方法指导 1. 一 元二 次方程ax 2+bx+c=0( a 0), 一 元二次不等式ax 2+bx+c0、 ax 2+bx+c0 =0 0) 的图像 ax 2 +bx+c=0(a0)
2、 的根 有两个不相等的 实根x1,x2且x10(a0) 的解集x|xx2 x|x- a b 2 R ax 2 +bx+c0) 的解集x|x10( a0)与ax 2+bx+c0( a0)的解集不同 . 3. 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，解这类不等式可 2 以从分析两个根的大小及二次项系数的正负入手去解答，必要的时候应根据二次项系数的正负或两根的大 小关系上分类讨论，对于每一种情况都要注意结合二次函数的图像写出不等式的解集. 4. （1）解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟 悉的最简不等式问题. 不等式的性
3、质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等 式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.2）一元一次不等式（组）和一元二次 不等式（组）的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式（组）和一 元二次不等式（组）进行的. （3）解不等式的过程中，经常要去分母、去绝对值符号等，往往易忽略限制条件和变量取值范围的 改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集，何时求并集很容易失误. （4）解含参数的不等式时，注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论. 分类的标准是 通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件）、根据方法（例如利用单
4、调性解题时，抓住使单 调性发生变参数值） 、按照解答的需要（例如进行不等式变形时，必须具备的变形条件）等方面来决定， 一般都应做到不重复、不遗漏. 知能自主梳理 1. 含有未知数，且未知数的次数为不等式，叫做一元二 次不等式 . 2. 一般地，使某个一元二次不等式成立的叫做这个不等式的解. 一元二次不等式的所有 解组成的，叫做这个不等式的解集. 答案1. 一个最高2 2.x的值 思路方法技巧 命题方向一元二次不等式的解法 例 1解下列不等式： （1）2x 2-3 x-20 （2）-3x 2+6x2. 分析先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出不等式的解集. 解析(1) 方程 2x
5、2-3 x-2=0 的两根为x1=- 2 1 ,x2=2. 函数y=2x 2-3 x-2 的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴有两个交点为（- 2 1 ，0）和（ 2，0） ，如图 所示 . 3 观察图像可得原不等式的解集为xx2. （2）原不等式可化为3x 2-6 x+20 的解集为 x|- 3 1 0.分 析由题意可知 - 3 1 , 2 1 是方程ax 2+2x+c=0 的两根，故可用韦达定理求得 a、c的值 . 解析由ax 2+2x+c0 的解集为 x|- 3 1 0，即 2x 2-2 x-120 的解集 . 解析由韦达定理有 -a=1+2 b=12 ，得 a=-3, b=2 代入不等
6、式，2x 2-3 x+10,2x 2-3 x+10 (2x-1)(x-1)0x1. bx 2+ax+10 的解集为（ -, 2 1 ） (1,+ ). 探索延拓创新 命题方向含参数的一元二次不等式的解法 例 3解关于x的不等式ax 2-( a+1)x+11. (2) 若a0, 即x1. (3) 若 01; 当a=0时，解集为x|x1; 当 00(a0). 解析由于a0, 所以原不等式可化为（x-2 ） （x- a 2 ）0, 由 a 2 2可得a=1, 当 0 a 2 ; 当a=1时，解不等式得xR且x2; 当a1时，解不等式得x2. 综上所述，当0 a 2 或x1时，原不等式的解集为x|x2
7、 或x2或x2 答案B 解析原不等式可化为3x 2-7 x+20, 即(3x-1)(x-2)0,x2 或x0, 解得 m2 或m0的解集是 . 答案x|x3 解析由表知x=-2 时，y=0，x=3 时，y=0. 二次函数y=ax 2+bx+c 可化为y=a(x+2)(x-3), 又当x=1 时，y=-6, a=1. 不等式ax 2+bx+c0 的解集为 x|x-2 或x3. 6. 若不等式ax 2+bx+c0的解集为 x|-30的解集为 x|-30的解集是 x|- 2 1 0 的解集为 x|- 2 1 t 1 或xt D.x|t1, (x-t)(x- t 1 )2 D. 答案B 解析方程x 2
8、+kx+2=0 的一根为 x=2, 则由根与系数关系知另一根为1，所以x 2+kx+20; x 2+6x+100; 2x 2-3 x+40, 解集不为 R. 中 =6 2-4100 的解集为 x|x4, 那么对于函数f(x)=ax 2+bx+c 有（） A.f(5)0 的解为x4. 则a0 且-2 和 4 是方程ax 2+bx+c=0 函数f(x)=ax 2+bx+c 的图像开口向上，对称轴为x=- a b 2 =1. f(5)f(-1)f(2), 故选 C. 9. 不等式ax 2+bx+30的解集为 x|x3 或x0,B=x|x 2+ax+b0. 且 AB=R,AB=x|33或x0; （4）
9、 -2x 2+3x-20, 即 2(x- 4 3 ) 2+ 8 7 0. x R. 故所求不等式的解集为R. 14. 解关于x的不等式4x 2-3 x-6 2x+8. 解析原不等式可化为 11 解得 5x 7 或x=-2. 原不等式的解集为x|5 x7 或x=-2. 15. 已知不等式ax 2+5x+c0 的解集为 x 3 1 0 的解集为 x 3 1 0. 解析 56x 2- ax-a 2 0 可化为（ 7x-a ）(8x+a) 0, 当a0 时， - 8 a 7 a ，x 7 a 或x- 8 a ; 当a0 时， - 8 a 7 a , x- 8 a 或x 7 a 当a=0 时，x0. 综上所述，当a0 时，原不等式的解集为x|x 7 a 或x- 8 a 或x 7 a .