《2013高中数学3-1不等关系同步导学案北师大版必修5.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013高中数学3-1不等关系同步导学案北师大版必修5.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 第三章不等 本章概述 1. （1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际 背景 . （2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质. （3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程. （4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. （5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. （6）探索并了解基本不等式的证明过程. （7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. （8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组. （9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. （10）从实际情
2、境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 2. （1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴 趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力. （2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分. （3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动. 重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题. 难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题. 不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型. 学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式
3、与一元二次方程、二次函数的联系，并 能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义. 在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进 一步提高解决实际问题的能力. （1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不 等式的知识有一个全面、完整的了解与认识. （2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题. （3）注意对不等式ab 2 ba (a0,b0)和a 2+b22ab( aR,bR) 的理解、记忆，正确、灵活地 使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫. （4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的
4、线性规划. 证明不等式没有固定的模式可 以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法， 2 注意数轴穿根法. （5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意. 1 等 关 系 知能目标解读 1. 通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景. 2. 能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质. 重点难点点拨 重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由. 难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明
5、能力的培养. 学习方法指导 1. 不等式：我们用数学符号“”、 “” 、 “” 、 “b或a=b，同样也是只需满足其 中一条，不等式就成立. 对于实数来讲，只存在a=b或ab或a” 、 “b” 、 “ab；如果a-b是负数，那么a0ab;a-b=0a=b;a-bb,abbb,bcac. (3)aba+cb+c. 推论ab,cda+cb+d. (4)ab,c0acbc;ab,cb0,cd0acbd; 推论 2 ab,ab0 a 1 b0anbn(nN, 且n1). (5)ab0 n a n b (nN, 且n1). 2. （1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等
6、式具有可加性，它是 不等式移项的基础； （ 4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符 号. 4 知能自主梳理 1. 用表示不等关系的式子叫不等式. 2. 设a,bR，则a-b0;a-b=0;a-bb,bc;(2)ab,c0; (3)ab,cb,cd; (5)ab0,cd0;(6)ab0,nN +, n1. 答案1. 不等号2.ab a=b ac(2)acbc(3)acb+d(5)acbd(6)a nbn, n a n b 思路方法技巧 命题方向比较大小 例 1已知x0, (x-1) （x- 2 1 ） 2 4 3 Q, 求实数a,b应满足的条件 . 5 解析P
7、-Q a 2b2+5-2 ab+a 2+4a =(ab-1) 2 +(a+2) 2 PQ, (ab-1) 2 +(a+2) 2 0 ab1 或a-2. 故实数a、b应满足的条件是ab1 或a-2. 命题方向应用不等式（组）表示不等关系 例 2某种杂志原以每本2.5 元的价格销售，此时可以售出8 万本，据市场调查，若单价每本提 高 0.1 元，销售量就可能相应减少2000 本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于20 分析利用提价后的价格x 表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示. 解析杂志的定价为x元，则销售的总收入为 （8- 2.0 5.2x
8、 0.2 ）x 那么不等关系“销售的总收入不低于20 万元”可以用不等式表示为（8- 2 .0 5.2x 0.2 ）x20. 说明决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式 表示即可 . 变式应用2 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、 糖分别为4g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉3600g，咖啡 2000g，糖 3000g. 写出每天配制的两种饮 料的杯数所满足的不等式组. 解析每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则x、y （1）奶粉的总使用量不大于3600g （2）咖啡的总使用量不大于
9、2000g （3）糖的总使用量不大于3000g （4）x,y为自然数 . x,y 9x+4y3600, 4x+5y2000, 3x+10y3000, xN, yN. 命题方向不等式性质的简单应用 例 3对于实数a、b、c 若ab, 则acbc; 若ac 2bc2, 则 ab; 若aabb2; 6 若cab0; 则 ac a bc b ; 若ab, a 1 b 1 , 则a0,bbc2 知c0, 所以c 20, 所以 ab, 故该命题是真命题. aab, ab b 2. 所以 a2abb2 故该命题为真命题. ab-aa, 所以c-a0. 所以 0 bc 1 0. 又因为ab0, 所以 ac a
10、 bc b . 故该命题为真命题. aba-b0, a 1 b 1 a 1 b 1 ab ab . 因为a-b0, 所以b-ab, 所以a0,b0ab（） （2）ab且cdacbd（） （3）ab0 且cd0 c b b a （） 7 （4） 22 c b c a ab（） 答案 b c a c 解析（1） a 1 当a0 时，此式成立， 推不出ab， (1) 错； （2）当a=3,b=1,c=-2,d=-3 时，命题显然不成立，（2 ab0 （3 cd0 d a c b 0 c b d a 成立 . (3) （4）显然c 20, 两边同乘以 c 2, 得 ab. (4) 对. 探索延拓创新
11、命题方向应用不等式的性质讨论范围 例 4已知： - 2 2x( xR); a 3+b3 a 2b+ab2( a,bR); a 2+b22（ a-b-1 ）中正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案C 解析对于，x 2+3-2 x=(x-1) 2 +20 恒成立，对于，a 3+b3- a 2b- ab 2=a2( a-b)+b 2( b-a) =(a-b)(a 2- b 2)=( a-b) 2 (a+b), a、bR, (a-b) 2 0 而a+b0,或a+b=0,或a+baxa2 C. x 2a2ax 答案B xa0 x 2ax 解析x0 x 2 axa 2. a0 ax
12、a 2 3. 若xy与 x 1 y 1 同时成立，则（） A. x0,y0 B. x0,y0 D. x y 1 ，需满足xy0. 又xy，x0,y0. 4. 已知x1，f(x)=3x 3, g(x)=3x 2- x+1, 则f(x) 与g(x) 的大小关系是f(x) g(x). 答案 解析f(x)-g(x)=3x 3-(3 x 2- x+1) =(3x 3-3 x 2)+( x-1) =3x 2( x-1)+(x-1)=(3x 2 +1)(x-1), x 1 得x-1 0，而 3x 2+10, (3x2+1)(x-1) 0， 3x 33x2- x+1. f(x) g(x). 5. 已知 60b
13、). 若保持原面积不变，则规划后的正方形布 局的面积为ab; 若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b) ，所以其边长为 2 ba , 其面积为 （ 2 ba ） 2. 因为 ab- （ 2 ba ） 2 =ab- 0 44 4 4 222 babaabba (ab), 所以abQB.P0,-a 2( a 2+1)0 12 1 1 2 22 aa aa 0， PQ. 3.(2011 陕西文， 3) 设 00, 即aba,故选 B. 本题也可通过特殊值法解决，如取a=1,b=4, 易知选 B. 4. 若a、b是任意实数，且ab, 则（） A.a 2b2 B. a b 0 D.( 2
14、 1 ) ab并不保证a、b均为正数，从而不能保证A、B成立 . 又aba-b0, 但不能保证a-b1, 从而 不能保证C成立，显然只有D成立 . 事实上，指数函数y=( 2 1 ) x 在xR上是减函数， 所以ab( 2 1 ) a0 C.ab|b|, 排除 D，故选 A. 6. 已知a 2+aa- a 2- a B.-aa 2- a 2a C.-aa 2a- a 2 D.a 2- aa-a 2 答案 B 解析特殊值法：a 2+a0; b c a c ; bcad. 以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的 不等式命题 . 14 若成立，则成立；若成立则成立，. 若成立即bcad,
15、 若成立， 则 ab ad ab bc ， a c b d . 10. 如果ab a 3b3; ba 11 ; 3 a3b; lgalgb. 其中恒成立的是 . 答案 解析a 3- b 3=( a-b)(a 2+b2+ab) =(a-b) (a+ 2 b ) 2+ 4 3 b 20; y=3 x 是增函数，ab， 3 a3b 当a0,b60), 由 2(x-60)+80 120, 得x80, 某用户每月上网时间在80 小时以内，选择乙方案比较合适. 14.(1) 已知ab,ef,c0. 求证：f-ac0. 求证： b ba d dc . 解析 (1)ab,c0, acbc,-ac0, b a
16、d c , b a +1 d c +1, b ba d dc . 15. 已知a、b为正实数，试比较 a b b a 与a+b的大小 . 解析解法一：（ a b b a ）（a+bb b a ）- 16 （a a b ）= a ab b ba = ab baba = ab baba 2 . a、b为正实数， a+b0, ab0,( a-b) 20. ab baba 2 0，当且仅当a=b时，等号成立. a b b a a+b，当且仅当a=b时取等号 . 解法二：（ a b b a ） 2 ab a b b a 2 22 , (a+b) 2=a+b+2 ab, （ a b b a ） 2-( a
17、+b) 2= ab a b b a 2 22 -(a+b+2ab) = ab baabba 33 ab baabbababa 22 = ab baba 2 . a、b为正实数， ab baba 2 0， （ a b b a ） 2( a+b) 2. 又 a b b a 0，a+b0， a b b a a+b，当且仅当a=b时取等号 . 16. 已知 0a+b 2 ,- 2 a-b 3 , 求 2a和 3a- 3 b 的取值范围 . 解析 0a+b 2 - 2 a-b 3 , 17 - 2 2a 6 5 . 设 3a- 3 b =m(a+b)+n(a-b) =a(m+n)+b(m-n), 则有 m+n=3 m-n=- 3 1 , 解得m= 3 4 ,n= 3 5 . 3a- 3 b = 3 4 (a+b)+ 3 5 (a-b). 0 3 4 (a+b) 3 2 - 6 5 3 5 (a-b) 9 5 , 两式相加，得- 6 5 3a- 3 b 9 11 . 故 2a(- 2 , 6 5 ),3a- 3 b (- 6 5 , 9 11 ).