2017年新课标全国卷3高考理科数学试题及答案.pdf

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1、- 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1已知集合A= 2 2 (x, y) x y 1 ，B= (x, y) y x ，则A B 中元素的个数为 A 3

2、 B 2 C 1 D 0 2设复数z 满足 (1+i) z=2i ，则 z = A 1 2 B 2 2 C2 D 2 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是 A 月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份 D各年1 月至 6 月的月接待游客量相对7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳 - 5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为 4 ( x+ y )(2 x - y ) A -80 B

3、-40 C 40 D 80 5已知双曲线C： 2 2 x y 2 2 1 a b (a 0,b 0) 的一条渐近线方程为 5 y x ,且与椭圆 2 2 2 x y 12 3 1 有公共焦点，则C 的方程为 A 2 2 x y 8 10 1 B 2 2 x y 4 5 1 C 2 2 x y 5 4 1 D 2 2 x y 4 3 1 6设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是 3 A f(x) 的一个周期为-2 B y=f(x) 的图像关于直线x= 8 3 对称 C f( x+的 ) 一个零点为x= D f( x)在 ( , 单 )调递减 6 2 7执行下面的程序框图，为使输出S

4、 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A 5 B 4 C 3 D 2 8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为 A B 3 4 C 2 D 4 9等差数列an 的首项为1，公差不为0若a2， a3， a6 成等比数列，则an 前 6 项的和 为 A -24 B -3 C 3 D 8 - 10已知椭圆C： 2 2 x y 2 2 1，（ab0 ）的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段A1A2 为 a b 直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则C 的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 11已知函数 2 x 1

5、x 1 f ( x) x 2x a(e e ) 有唯一零点，则a= A 1 2 B 1 3 C 1 2 D 1 12在矩形ABCD 中，AB=1 ， AD=2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上若AP = AB + AD ，则+ 的最大值为 A 3 B2 2 C5 D 2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 x y 0 ，则z 3x 4y 的最小值为_ 13若x ，y 满足约束条件x y 2 0 y 0 14设等比数列an 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则a4 = _ 15设函数f ( x) x 1 x 0 ， 则满足 x 2 ，x 0，

6、 1 f ( x) f ( x) 1 的 x 的取值范围是_。 2 16 a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a， b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 30 角； 当直线AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 60 角； 直线AB 与 a 所成角的最小值为45 ； 直线AB 与 a 所成角的最小值为60 ； 其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须

7、作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17（12 分） - ABC 的内角A， B，C 的对边分别为a， b， c，已知sinA+ 3 cosA =0， a=2 7 ,b=2 （ 1）求c； （ 2）设 D 为 BC 边上一点，且AD AC, 求ABD 的面积 18（12 分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求 量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最 高气温位于区间20， 25），

8、需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶为 了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10， 15）15， 20）20， 25）25， 30）30， 35）35， 40） 天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的 进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 19（12 分） 如图，四面体ABCD 中， ABC 是正三角形， A

9、CD 是直角三角形， ABD = CBD ， AB=BD （ 1）证明：平面ACD 平面ABC； （2）过 AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分， 求二面角D AE C 的余弦值 20（12 分） 2=2 x，过点（ 2,0）的直线l 交 C 与 A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直 已知抛物线C： y 径的圆 - （ 1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆 M 过点 P（4， -2），求直线 l 与圆M 的方程 21（ 12 分） 已知函数f (x) =x1aln x （ 1）若f (x) 0 ，求 a 的值； 1 1 1 （ 2）设m

10、为整数，且对于任意正整数n，1+ + 1+ ) ( )(1 ) (m，求 m 的最小 2 n 2 2 2 值 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第 一题计分。 22 选修4- 4：坐标系与参数方程（ 10 分） 在直角坐标系xOy 中，直线 l1 的参数方程为 x2+t , ykt, （t 为参数），直线 l2 的参数方程 x 2 m, 为 y m k , （为参数）设 l1 与 l2 的交点为P，当k 变化时， P 的轨迹为曲 线C m （ 1）写出C 的普通方程； （ 2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：

11、 (cos +sin )- 2 =0 ， M 为 l3 与 C 的交点，求M 的极径 23 选修4- 5：不等式选讲 （ 10 分） 已知函数f（ x）= x +1 x2 （ 1）求不等式f（ x） 1 的解集； 2 （ 2）若不等式f（ x） x x +m 的解集非空，求m 的取值范围 - 绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题正式答案 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题 13. -1 14. -8 15. 1 （- ， + ） 4 16. 三、解答题 17. 解： 2 （1

12、）由已知得tanA= 3，所以A= 3 在 ABC 中，由余弦定理得 - 2 2 2 28 4 c 4c cos ，即 c +2 c-24=0 3 解得（舍去），=4 c 6 c （2）有题设可得= ，所以 CAD BAD BAC CAD 2 6 1 AB ADsin 2 6 1 故ABD 面积与 ACD 面积的比 值为 1 AC AD 2 1 又ABC 的面积为 2 4 2 sin BAC 2 3，所以ABD的面积为 3. 2. 解： （1）由题意知，X 所有的可能取值为 200,300,500 ，由表格数据知 P X 2 16 200 0.2 90 P X 36 300 0.4 90 25

13、 7 4 P X 500 0.4 . 90 因此X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多 为500 ，至少为 200，因此只需考虑 200 n 500 当 300 n 500 时， 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间 20， ,25 ，则Y=6300+2 （ n-300 ） -4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6 200+2 （ n-200 ） -4n=800-2n; 因此 EY=2n 0.4+ （ 1200-2n ）0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n 当 200 n

14、 300 时， 若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20，则Y=6 200+2 （ n-200 ） -4n=800-2n; 因此 EY=2n (0.4+0.4)+(800-2n) 0.2=160+1.2n * - 所以 n=300 时， Y的数学期望达到最大值，最大值为 520 元。 3. 解： - （1）由题设可得，ABD CBD ,从而 AD DC 又ACD 是直角三角形，所以 ACD 0 =90 取 AC 的中点 O，连接 DO,BO, 则 DO AC,DO=AO 又由于ABC 是正三角形，故BO AC 所以DOB 为二面角D AC B 的平面角 2 2 2 在

15、中， Rt AOB BO AO AB 又 AB BD 所以 , 2 2 2 2 2 2 0 BO DO BO AO AB BD ，故DOB=90 所以平面平面 ACD ABC （2） 由题设及 （ 1）知，OA, OB, OD 两两垂直， 以O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴正方向， OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz，则 A(1， 0， 0), B(0，3， 0), C( 1， 0， 0), D(0， 0， 1) 由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的 1 2 ，从而E 到平面ABC 的距离 为 D 到平面ABC 的距离的 1 2 ，即E 为

16、DB 的中点，得E 3 1 0， 2 2 .故 3 1 1， 0， 1 ，2， 0， 0 ，1， AD AC AE 2 2 设n = x, y,z 是平面DAE 的法向量，则 n n AD AE x z 0 0， 即3 1 0，x y z 2 2 0 * - 可取 n 3 1 1 = , , 3 - 设m是平面AEC 的法向量，则 m m AC AE 0， 同理可得m0, 1, 3 0， 则 cos n,m n m n m 7 7 所以二面角D-AE-C 的余弦值为 7 7 4.解 （1）设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,l : x my 2 由 xmy 2 y 2x 2 可得 2 y

17、2my 4 0,则 y y 4 1 2 又 2 2 2 y y y y 1 2 1 2 x1= ,x2 = ,故 x1x2 = =4 2 2 4 因此 OA 的斜率与OB 的斜率之积为 y y 1 2 x x 1 2 -4 = =-1 4 所以 OA OB 故坐标原点O 在圆 M 上 . （2）由（ 1）可得 2 y1 +y2=2m,x1+x2 =m y1+y2 +4=2m 4 故圆心M 的坐标为m m ，圆M 的半径 2 +2， 2 +2， 2 2 2 2 r m m 由于圆M 过点 P（4，-2），因此AP BP 0,故 x1 4 x2 4 y1 2 y2 2 0 即 x1x2 4 x1+

18、x2 y1 y2 2 y1 y2 20 0 由（ 1）可得y1 y2=-4，x1x2=4， 所以 2 2m m 1 0，解得 1 m 1或 m . 2 当 m=1 时，直线l 的方程为x-y-2=0 ，圆心M 的坐标为（3,1），圆 M 的半径为10 ，圆M 的方程为 2 2 x 3 y 1 10 当 1 m 时，直线l 的方程为2x y 4 0，圆心M 的坐标为 2 9 1 ， - 4 2 ，圆 M 的半径为 - 85 4 ，圆M 的方程为 2 2 9 1 85 + + x y 4 2 16 5.解：（1）f x 的定义域为0， + . 若a 0，因为 1 1 =- + 20 f aln ，

19、所以不满足题意； 2 2 若a0，由1 f x a x a x x 知，当x 0,a 时，f x 0；当x a， + 时， f x 0 ，所以f x 在0,a 单调递减，在a， + 单调递增，故x=a 是f x 在 x 0， + 的唯一最小值点. 由于f 1 0，所以当且仅当a=1 时，f x 0. 故 a=1 （2）由（ 1）知当x 1， + 时，x 1 ln x0 令 1 x=1+ 得 n 2 1 1 1+ ln ，从而 2 n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1+ + 1+ + + 1+ + + + =1- 1 ln ln ln 2 2 2 n 2 2 2 n 2n 2 2 故 1

20、1 1 1+ 1+ 1+ 2 2 2n 2 e 而 1 1 1 1+ 1+ 1+ 2 2 3 2 2 2 ，所以m 的最小值为3. 6.解： （ 1）消去参数t 得l1 的普通方程 l1 : y k x 2 ；消去参数m 得l 2 的普通方程 1 l : y x 2 k 2 y k x 2 * - 设 P（ x,y）,由题设得 1 y x k 2 ，消去k 得 2 2 4 0 x y y . 所以 C 的普通方程为 2 2 4 0 x y y - （2） C 的极坐标方程为rq q q p q p 2 cos 2 sin 2 4 02 , 2 cos 2 sin 2 4 02 , 联立 2 2

21、 2 4 r cos q sin q r cosq + sinq - 2=0 得cosq sinq =2 cosq + sinq . 故 1 tanq ，从而 3 2 9 2 1 cos q = ， sin q = 10 10 代入 rq q 得r ，所以交点M 的极径为5 . 2 cos 2 - sin 2 =4 2 =5 2 cos 2 - sin 2 =4 2 =5 7.解： 3 1 , x 2 1 1 2 （1） f x x , x 3 2 , x 当x1时，f x 1无解； 当1 x 2时，由f x 1得，2x 1 1，解得1 x 2 当x2 时，由f x 1解得x2 . 所以f x 1的解集为x x 1 . （2）由 2 f x x x m 得 2 m x 1 x 2 x x，而 2 2 1 2 +1+ 2 x x x x x x x x 2 3 5 =- - + x 2 4 5 4 且当 3 x 时， 2 2 5 x 1 x 2 x x = . 4 故 m 的取值范围为 5 - ， 4 -