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1、- 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题： 本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1已知集合A x | x 1 0 ， B 0，1，2 ，则A B A 0 B1 C1，2 D0 ，1，2 2 1 i 2 i A 3 i B
2、3 i C 3 i D 3 i 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4若 sin 1 3 ，则 cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 5若某群体中的成员只用现金支付的概率 为0.45 ，既用现金支付也用非现金支付的概率 为0.15 ，则不 用现金支付的概率 为 A 0.3 B 0.4 C 0.6 D 0.7 6函数f x tan x 2 1 tan x 的最小正周期为 A 4 B 2 C D 2 7下列函数中，其
3、图像与函数y ln x 的图像关于直线 x1 对称的是 A y ln 1 x B y ln 2 x C y ln 1 x D y ln 2 x 2 2 8直线xy 2 0 分别与x 轴，y轴交于A，B 两点，点P 在圆x2 y 2 上，则ABP 面积的 取值范围 是 A 2，6 B4 ，8 C2 ，3 2 D2 2 ，3 2 1 / 8 - 9函数 4 2 2 y x x 的图像大致 为 10已知双曲线 2 2 x y C： 2 2 1（ a 0 ，b 0 ）的离心率为2 ，则点4 ，0 到 C 的渐近线的距 离为 a b A 2 B2 C 32 2 D 2 2 11ABC 的内角A ，B ，
4、 C 的对边分别 为a， b ， c 若ABC 的面积为 2 2 2 a b c 4 ，则 C A 2 B 3 C 4 D 6 12设A，B ， C ，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ， 则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A 12 3 B 18 3 C 24 3 D 54 3 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13已知向量a= 1,2 ， b= 2, 2 ， c= 1, 若 c 2a + b，则_ 14某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准 备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简
5、单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适 的 抽 样 方法是 _ 15若变量x，y 满足约束条 件 2x y 30， x y ， 2 4 0 x 2 0. 则 1 z x y 的最大值是_ 3 16已知函数 2 f x ln 1 x x 1 ， f a 4 ，则f a _ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。第17 21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、 23 为选考题。考生根据要求作答。 17（12 分） 等比数列 a中， n a1 1，a5 4a3 （1）求a的通项公式； n （2）记 S 为an 的前 n 项和若Sm 63 ，求 m n * -
6、 2 / 8 - 18（12 分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为 比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每 组20 人，第一组工人用第一种 生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单 位：min ）绘制了如 下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位 数m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超 过m 的工人数填入下面的列联表： 超过m不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列表，能否有9
7、9% 的把握认为两种生产方式的效率有差 异？ 2 2 n ad bc a b c d a c b d ， 2 P K k k 0.50 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 K 附： 19（12 分） 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点 （1）证明：平面AMD 平面 BMC ； （2）在线段AM 上是否存在点P ，使得 MC 平面PBD？说明理 由 20（12 分） 2 2 x y 已知斜率为k 的直线l 与椭圆 C：1交于A，B 两点线段AB 的中点为M 1，m m 0 4 3 （1）证明： 1 k ； 2
8、（2）设F为 C 的右焦点，P 为 C 上一点 ,且 FP FA FB 0证明：2 FP FA FB 21（12 分） * - 3 / 8 - 已知函数 2 1 ax x f x x e （1）求由线y f x 在点0，1 处的切线方程； （2）证明：当a 1 时，f x e 0 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修44：坐标系与参数方程（ 10 分） 在平面直角坐标系xOy 中， O 的参数方程为 x y cos sin ， （为参数），过点0 ，2 且倾斜角为 的直线l 与 O 交于A，B 两点 （1）求的取值
9、 范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程 23 选修45：不等式选讲 （ 10 分） 设函数f x 2x 1 x 1 （1）画出y f x 的图像； （2）当 x 0 ，f x ax b ，求 a b 的最小值 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择 题 1 C 2 D 3A 4 B 5 B 6 C 7 B 8 A 9D 10 D 11C 12 B 二、填空题 13 1 2 14分层抽 样153 162 三、解答题 17解： （1）设 a 的公比为q ，由题设得 n n 1 a q n 由已知得 4 4 2 q q ，解得q 0 （舍去），
10、 q 2 或 q 2 4 / 8 - 故 n 1 a ( 2) 或 n n 1 a 2 n （2）若 n 1 a ( 2) ，则 n n 1 ( 2) m S 由 Sm 63 得 ( 2) 188 n 3 ，此方程没有正整数解 若 n 1 n m a 2 ，则 S 2 1 由 Sm 63 得 2 64 n n ，解得m 6 综上，m 6 18解： （1）第二种生产方式的效率更高理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有75% 的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟因此第二种生 产方式的效率更高 （i
11、i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 分钟，用 第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 分钟因此第二种生产方式的效率更高 （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二 种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高 （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关 于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于 茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完
12、成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为 用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此 第二种生产方式的效率更高 以上给出了4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 （2）由茎叶图知 79 81 m 80 2 列联表如下： 超过 m 不超过m 第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15 （3）由于 2 2 40(15 15 5 5) K ，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差 10 6.635 20 20 20 20 异 19解： （1）由题设知，平面CMD 平面ABCD ，交线为CD * - 5 / 8 - 因为 BC
13、 CD， BC 平面 ABCD ，所以BC平面CMD ， 故 BC DM 因为 M 为 CD 上异于C，D 的点，且DC 为直径， 所以DM CM 又 BCCM =C，所以DM 平面BMC 而 DM 平面 AMD ，故平面AMD 平面BMC （2）当 P 为 AM 的中点时，MC平面PBD 证明如下：连结AC 交 BD 于 O因为ABCD 为矩形，所以O 为 AC 中点 连结 OP，因为P 为 AM 中点，所以MC OP MC 平面 PBD ，OP 平面 PBD ，所以MC 平面PBD 20解： （1）设 A(x ，y ) ， 1 1 B(x ， y ) ，则 2 2 2 2 x y 1 1
14、1 ， 4 3 2 2 x y 2 2 1 4 3 两式相减，并由 yy 1 2 x x 1 2 =k 得 xx y y 1 2 1 2 0 k 4 3 x x 由题设知1 2 1 2 ， yy 1 2 2 m ，于是k 3 4m 由题设得 0 3 m ，故 2 1 k 2 （2）由题意得F（ 1， 0）设 P(x ， y ) ，则 ( x3 1，y3 ) (x1 1，y1) ( x2 1， y2 ) (0 ， 0) 3 3 由（1）及题设得x3 3 (x1 x2 ) 1 ， y3 ( y1 y2 ) 2m 0 又点 P 在 C 上，所以 3 m ，从而 4 3 P (1，) ， 2 uur
15、|FP |= 3 2 于是 uur 2 x x 2 2 2 1 1 |FA | (x 1) y (x 1) 3(1 ) 2 1 1 1 4 2 同理 uur |FB|=2 x 2 2 所以 uur uur 1 FA FB 4 (x x ) 3 1 2 2 uur uur uur 故 2|FP |=|FA |+|FB | 21解： （1） 2 (2 1) 2 ax a x f (x) ， f (0) 2 x e * - 因此曲线y f ( x) 在点 (0, 1) 处的切线方程是2x y 1 0 6 / 8 - （2）当a 1时， 2 x 1 x f (x) e (x x 1 e )e 令 2
16、x 1 g(x) x x 1 e ，则 x 1 g (x) 2x 1 e 当x 1时， g (x) 0 ， g(x) 单调递减；当x 1时，g ( x) 0 ， g(x) 单调递增； 所以 g(x) g ( 1)=0 因此f (x) e 0 22解： （1）O 的直角坐标方程为 2 2 1 x y 当时，l 与O 交于两点 2 当 2 时，记tan k ，则l 的方程为y kx 2 l 与O 交于两点当且仅当 2 | | 1 2 1 k ，解 得k 1或k 1，即 ( , ) 4 2 或( , ) 2 4 综上，的取值范围是( , ) 4 4 （2）l 的参数方程为 xt cos , y 2
17、t sin (t 为参数，4 4 ) 设A，B，P 对应的参数分别为tA ， tB ， tP ，则 t t A B t ，且 tA ， tB 满足 P 2 2 t t 2 2 sin 1 0 于是2 2 sin t 又点P 的坐标(x, y) 满足 t t ，2 sin A B P x t cos , P y 2 t sin . P 所以点P 的轨迹的参数方程是 x y 2 2 sin 2 , 2 2 2 2 cos2 ( 为参数，) 4 4 23解： 1 3x, x , 2 （1） 1 f (x) x 2, x 1, 2 3x, x 1. y f (x) 的图像如图所示 7 / 8 - （2）由（1）知， y f (x) 的图像与y 轴交点的纵坐标为2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3， 故当且仅当a 3且b 2 时，f (x) ax b 在 0, ) 成立，因此a b的最小值为5 8 / 8 * - （2）由（1）知， y f (x) 的图像与y 轴交点的纵坐标为2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3， 故当且仅当a 3且b 2 时，f (x) ax b 在 0, ) 成立，因此a b的最小值为5 8 / 8