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1、1 2019 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷 一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，满分60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 . 1.已知集合A=0,2,4, B=-2,0,2, 则 AB=( ) A.0,2 B.-2,4 C.0,2 D.-2,0,2,4 1.D 【解析】由并集的定义，可得AB=-2,0,2,4. 故选 D. 2.设 i 为虚数单位 ,则复数 i(3+i)=( ) A.1+3i B.-1+3i C.1-3i D.-1-3i 2.B 【解析】 i(3+i)=3i+i 2 =3i-1. 故选 B. 3.函数 y=log3(x+2)
2、的定义域为 ( ) A.(- 2,+ )B.(2,+)C.-2,+ )D.2,+) 3.A 【解析】要使y=log3(x+2)有意义，则x+20，解得 x-2，即定义域为 (-2,+ ). 故选 A. 4.已知向量a=(2,-2), b=(2,-1), 则|a+b|=( ) A.1 B.5 C.5 D.25 4.C 【解析】由a=(2,-2), b=(2,-1), 可得 a+b=(4,-3), 则|a+b|=4 2 +(-3) 2=5.故选 C. 5.直线 3x+2y-6=0 的斜率是 ( ) A. 3 2 B.- 3 2 C.2 3 D.- 2 3 5.B 【解析】直线3x+2y-6=0，可
3、化为y=- 3 2x+3，故斜率为 - 3 2.故选 B. 6.不等式 x 2-93 D. x|-30，则 a 3 a 2 =( ) A.a 1 2B.a 3 2C.a 2 3D. a 1 3 7.D 【解析】 3 a 2=a 2 3，则 a 3 a 2 = a a 2 3 =a 1- 2 3=a 1 3.故选 D. 8.某地区连续六天的最低气温(单位 :)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为( ) A.7 和 5 3 B.8 和8 3 C.7 和 1 D.8 和2 3 8.A 【解析】平均数 - x= 1 6 (9+8+7+6+5+7)=7, 方差 s 2=1 6
4、(9-7) 2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7- 7)2 = 5 3.故选 A. 9.如图 ,长方体 ABCD -A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2，则 AA1=( ) 2 D1 C1 B1 A1 D C B A A.1 B.2 C.2 D.3 9.B 【解析】在长方体中，BD1 2=AB2+AD2+AA 1 2，则 22=12+12+AA 1 2，解得 AA 1=2.故选 B. 10.命题 “ ?x R，sinx+1 0”的否定是 ( ) A.?x0R，sinx0+13 时， an0,bn=|an|=an=2n-6， 即 b4=2,b5=4， b6=
5、6,b7=8.所以数列 bn的前 7 项和为 4+2+0+2+4+6+8=26. 故选 C. 15.已知椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2=1(ab0)的长轴为 A1A2， P 为椭圆的下顶点， 设直线 PA1,PA2的斜率分别为 k1， k2， 且 k1 k2=- 1 2， 则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D. 1 4 15.B 【解析】由题意得A1(-a,0),A2(a,0),P(0,-b)，则 k1=- b a,k2= b a，则 k1 k2=- b 2 a 2=-1 2，即 a 2=2b2，所以 c2=a2-b2=b2， 离心率 e=c a= c 2
6、 a 2= b 2 2b 2= 2 2 .故选 B. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，满分16 分. 16.已知角 的顶点与坐标原点重合，终边经过点P(4,-3)，则 cos =_. 16.4 5 【解析】由题意得x=4,y=-3，r=x 2+y2= 4 2 +(-3) 2=5,cos =x r =4 5. 17.在等比数列 an中， a1=1，a2=2，则 a4=_. 17.8 【解析】设等比数列 an的公比为q,由题意得q=a 2 a1=2，则 a 4=a1q 3=1 23=8. 18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2 个白球， 3 个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜
7、色相同 的概率是 _. 18.2 5 【解析】记2 个白球分别为白1,白2,3 个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这 5 个球中任取两球，所有的 取法有 白 1，白2，白1，黑1， 白1，黑2，白1，黑3， 白2，黑1，白2，黑2， 白2，黑3， 黑 1，黑2 ，黑1，黑3 ，黑2，黑3 ，共 10 种.其中取出的两球颜色相同取法的有4 种，所以所求概率为p= 4 10 4 = 2 5. 19.已知函数f(x)是定义在 (- ，+) 上的奇函数，当x0,+ )时， f(x)=x 2-4x，则当 x(- ，0)时， f(x)=_. 19.-x 2-4x 【解析】当x(- ， 0)时， -x(0,+
8、 ),由奇函数可得f(x)=-f(-x)=-(- x) 2-4(-x)=- x2-4x. 三、解答题：本大题共2 小题，每小题12 分，满分24 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 20. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知 cosA=3 5，bc=5. (1)求 ABC 的面积； (2)若 b+c=6,求 a 的值 . 20.【解析】 (1)A 是 ABC 的内角，即A(0, )，cosA= 3 5， sinA= 1-cos2A=4 5. 又 bc=5， SABC=1 2bcsinA= 1 2 5 4 5=2. (2)由 cosA=b 2 +c 2-a2 2
9、bc = 3 5,bc=5，可得 b 2 +c 2-a2=6. 由 bc=5,b+c=6,可得 b 2+c2=(b+c)2-2bc=26. 26-a2=6，解得 a=2 5. 21.如图，三棱锥P-ABC 中， PAPB,PBPC,PCPA,PA=PB=PC=2，E 是 AC 的中点，点F 在线段 PC 上. (1)求证： PBAC; (2)若 PA平面 BEF,求四棱锥B-APFE 的体积 . (参考公式：锥体的体积公式V= 1 3Sh，其中 S是底面积， h 是高 .) F E C B A P 21.【解析】 (1)PAPB,PBPC,P A? 平面 PAC,PC? 平面 PAC,PAPC=P， PB平面 PAC. 又 AC? 平面 PAC， PBAC. (2)PA平面 BEF,PA? 平面 PAC,平面 BEF 平面 PAC=EF， PA EF. 又 E 为 AC 的中点， F 为 PC 的中点 . S四边形 APFE=SPAC-SFEC=3 4S PAC. PCP A,PA=PC=2， SPAC=1 2 2 2=2. S四边形 APFE=3 2. 由(1)得 PB平面 PAC, PB=2 是四棱锥B-APFE 的高 . 5 V四棱锥 B-APFE=1 3S 四边形 APFE PB= 1 3 3 2 2=1.