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1、几何体的外接球和内切球 一、外接球 1. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3 则此球的表面积 _ 2. 棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 3. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为， ，则它的外接球表面积为_ 3515 4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ，这个长方体的对角线长是 _；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15 ，则它的体积为_ 5. 表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( ) 4 3 3 A. B. C. D. 2 3 1 3 2 3 2 2 3
2、6. 三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC 且 PA2，ABC 是边长为的等边三角形，则该三棱锥外 3 接球的表面积为( ) A.B4 4 3 C8D20 7. 若三棱锥S-ABC 的所有的顶点都在球O 的球面上， SA平面 ABC，SAAB2， AC4， BAC ，则球 O 的表面积为 _ 3 8. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是( ) 来源 学科网 A. B. 4 3 8 3 C2D4 9. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积 2 为_ 10. 已知 A，B，C 是球 O 的球面上三点，AB2，AC 2， ABC60 ，
3、且三棱锥O-ABC 的体 3 积为，则球 O 的表面积为 _ 4 6 3 11. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( ) AB. 3 4 C.D. 2 4 12. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接 6 球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_ 13. 四面体 A-BCD 中，若 ABCD，ACBD，ADBC2，则四面体A-BCD 的外接球 23 的体积是 _ 14. 正四棱锥 SABCD 的底面边长与各侧棱长都为 2 ，点 S、 A、 B 、 C 、 D 都在同一球面上， 则该球的体
4、积为_ 来源 学科网 ZXXK 15. 已知表面积为4 的球有一内接四棱锥，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，且SA平面 ABCD，则四棱锥S-ABCD 的体积为 _ 16. 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90 ，C 为该球面上的动点若三棱锥O -ABC 体积 的最大值为36，则球 O 的表面积为 ( ) A36B64 C144D256 17. 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6 ，则球的 表面积和体积的比为_ 18. 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比 二、内切球 1. 将棱长为2 的正方体木块削成一个体积最
5、大的球，则该球的体积为( ) A.B.C.D. 4 3 2 3 3 2 6 2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A1B13 3 C 13D19 3 3. 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球 过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积 4. 若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为 S2，则_. S1 S2 5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_ 6. 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体 积为 V1，球 O 的体积为V2，则的值是 _ V
6、1 V2 7. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球， 这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？ 来源学科网 ZXXK 8. 设圆锥的底面半径为2，高为 3，求： （1）内接正方体的棱长； （2）内切球的表面积 来源 学科网 ZXXK 参考答案 几何体的外接球和内切球 一、外接球 1. 略 2. 略 3. 解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a， b，c， 则Error! 解得 Error! 外接球半径为 ，外接球表面积为4 29. a2b2c2 2 3 2( 3 2) 4. 略 5. 如图所示，将正四面体补形成一个正方
7、体设正四面体的棱长为a. 正四面体的表面积为， 4a2，解得 a，正方体的棱长是， 4 3 3 3 4 4 3 3 2 3 3 6 3 又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R， 2R， R， 6 33 2 2 球的体积为 3 ，故选 A. 4 3( 2 2) 2 3 6. 解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即以ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球， 因为 ABC 的外接圆半径r 1，外接球球心到ABC 的外接圆圆心的距离d1，所以 3 23 2 3 外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4 R28. r2d22 7. 解析：由题意，得三棱锥S-ABC 是长方体的一部分(如
8、图所示 )， 所以球 O 是该长方体的外接球，其中SAAB2，AC4，设球的半径为R，则 2R 2，所以球O 的表面积为4 R220. AC2SA242225 答案： 20 8. 解析：选A 由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为1，其顶点在底面的 射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点， 由此可知此球的半径为1，于是外接球的体积V R3 . 4 3 4 3 9. 解析： 如图，正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边 长为 2，所以 AC4.在 RtAOO1中， R2(4R)222，所以
9、R ，所以球的表面积 2 5 2 S4 R225. 答案： 25 10. 解析： AB2，AC2， ABC60 ，在 ABC 中，由正弦定理，得，解 3 2 sin C 2 3 sin 60 得 sin C ，又 0 C120 ， C30 ， A90 ，BC4， A，B，C 是球 O 的球面 1 2412 上三点， ABC 外接圆的圆心为BC 的中点，故 ABC 外接圆的半径为2.设球心 O 到平面 ABC 的距离为 d，三棱锥O-ABC 的体积为， 22 d， d2，球 O 的半径 4 6 3 1 3 1 23 4 6 32 R 2，球 O 的表面积为4 R2 48. 2 22223 答案：
10、 48 11. 解析：选 B 设圆柱的底面半径为r，则 r212 2 ，所以圆柱的体积 V 1 .( 1 2) 3 4 3 4 3 4 12. 解析：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN 的中点，设为 O，则 OAR，由 4 R212 ，得 ROA，又易得AM，由勾股定理可知，OM1，所以 32 MN2，即棱柱的高h2，所以该三棱柱的体积为( )22 3. 3 463 答案： 3 3 13. 解析：作一个长方体，面对角线分别为， ，2，设长方体的三棱长分别为x，y，z，则 23 Error! 则该长方体的体对角线为，则该长方体的外接球即为四面体A-BCD 的外 x2y
11、2z2 3 2 2 接球，则外接球的半径为R， x2y2z2 2 3 2 4 体积为 V 3 . 4 3( 3 2 4) 9 2 8 答案： 9 2 8 14. 【解析】 O O H D C B A S 15. 解析：由 S球4 R24 ，解得 R1，即 2R2.四棱锥 S-ABCD 的直观图如图所示， 其所在的长方体的外接球即四棱锥的外接球，所以SA，所以四棱锥S-ABCD 的 422 体积 V S四边形 ABCD SA 1. 1 3 1 32 2 3 答案： 2 3 16. 解析：选 C 如图，设球的半径为R， AOB90 ， SAOB R2. 1 2 VO-ABCVC -AOB，而 AO
12、B 面积为定值，当点C 到平面 AOB 的距离最大时，VO-ABC最大， 当 C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积VO-ABC最大，为 R2 R36， R6，球 O 的表面积为4 R246 2144. 1 3 1 2 17. 略 18. 【解析】 解法一：作正方体对角面的截面，如图所示， 来源:Zxxk.Com 设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么 CC a，OC. 2 2 a 在 RtC CO 中，由勾股定理得CC 2OC2OC2，即 a22R2，所以 R a. 2 2 a6 2 从而 V半球R3 3 a3.又 V正方体 a3， 2 3 2 3 6 2 a 6 2 因此 V
13、半球V正方体a3 a3 2. 6 2 6 解法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长 方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径 设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2a2a2(2a)2，即 4R26a2，所以 Ra.从而 V半球R3 3 a3.又 V正方体a3， 6 2 2 3 2 3 6 2 a 6 2 因此 V半球V 正方体 a3a3 2. 6 2 6 二、内切球 1. 答案 A 解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长 是相等的，故可得球的直
14、径为 2，故半径为1，其体积是1 3 . 4 3 4 3 2. 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体 1 2 对角线，外接球的半径为， 3 2 其体积比为 3 313 . 4 3( 1 2) 4 3( 3 2)3 3. 【解析】 设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形 )的中心，经过四个切点及球心作 截面，如图，所以有2r1a，r1，所以 S14 r a2. 2 a 2 1 (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图， 所以有 2r2a， r2a，所以 S24 r2 a2
15、.2 2 2 2 2 (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图， 所以有 2r3a，r3a，所以 S34 r3 a2.3 3 2 2 3 4. 解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14 a2 a2，其内切球半径为正四面 3 43 体高的，即 r aa，因此内切球表面积为S24 r 2 ， 1 4 1 4 6 3 6 12 a2 6 则. S1 S2 3a2 6 a2 6 3 答案： 6 3 5. 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面ABC 及其内切圆O1和外接圆 O2，且两圆同圆心， 即ABC 的内心与外心重合，易得ABC 为正三角形，由题意知O1的半径为r 1，即 ABC 的 边长为 2，圆锥的底面半径为，高为 3，故 V 33 3. 33 1 3 答案： 3 6. 解析：设球O 的半径为R，因为球O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底 面半径为 R、高为 2R，所以 . V1 V2 R22R 4 3 R3 3 2 答案： 3 2 7. 略 8. 略