2019年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】.pdf

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1、- 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理科） 一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. i 为虚数单位，则 1 1 ( i i ) 2 （） A. 1 B. 1 C. i D. i 2. 若二项式 a 7 (2x ) 的展开式中 x 1 3 x 的系数是84，则实数a （） 2 5 4 C. 1 D. A.2 B. 4 3. 设U 为全集，A, B 是集合，则 “存在集合C 使得A C, B C C 是“A B ”的（） U A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D.

2、既不充分也不必要条件 4. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0 得到的回归方程为y ?bx a ，则（） A. a 0,b 0 B. a 0,b 0 C. a 0, b 0 D. a 0.b 0 5. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2 ） ，（ 2,2,0 ） ， （ 1,2 ，1） ，（ 2,2,2 ），给出编号 、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（） A. 和B. 和C. 和D. 和 1 6. 若函数f (x), g (x)满足f (x)g( x) dx 0, f ( x)

3、, g( x) 1,1 上的一组正交函数，给出三组函数： 7.1 则称为区间 1 1 f x x g x x ( ) sin , ( ) cos ；f (x) x 1, g (x) x 1； f (x) x,g(x) x 2 * - 2 2 其中为区间 1 ,1 的正交函数的组数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 x y y 0 0 x 2 0 确定的平面区域记为 1 ，不等式 x x y y 1 8. 由不等式 ，确定的平面区域记为 2 ，在1 中随 2 机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为（ ） - A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 9. 算数书竹简于上世纪八十

4、年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其 中记载有求 “盖”的术：置如其周，令相承也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式 1 2 v L h. 它实际上是将圆锥体积公 36 式中的圆周率近似取为3. 那么近似公式 2 2 v L h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为（） 75 A. 22 7 B. 25 8 C. 157 50 D. 355 113 10. 已 知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且F1PF2 , 则椭圆和双曲线的离心率 3 的倒数之和的最大值为（） A.

5、4 3 3 B. 2 3 3 C.3 D.2 11. 已 知 函 数f （ x ） 是 定 义 在R 上 的 奇 函 数 ， 当x 0 时 ， x R, f ( x1) f (x), 则实数a 的取值范围为（） 1 2 2 2 f (x) (| x a |) | x 2a | 3a ). 若 2 A. 1 1 , 6 6 B. 6 6 , 6 6 C. 1 1 , 3 3 D. 3 3 , 3 3 二、填空题：本大题共6 小题，考生共需作答5 小题，每小题5 分，共25 分 . 请将答案天灾答题卡对应题号的 位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11 14 题） 12.

6、设向量a (3,3)，b(1, 1)，若a b a b ，则实数_. 13. 直线 l ：y=x+a 和 1 l ：y=x+b将单位圆 2 2 2 C : x y 1分成长度相等的四段弧，则 2 2 a b _. 14. 设a是一个各位数字都不是0 且没有重复数字的三位数. 将组成a的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I a ，按从大到小排成的三位数记为D a （例如a 815，则I a 158，D a 851）. 阅读如图所示的 程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b _. 15.设f x 是定义在0, 上的函数， 且f x 0，对任意a 0,b 0 ，若经过点a, f

7、 a , b, f b 的直线与 x轴的交点为c,0 ，则称c 为a,b 关于函数f x 的平均数，记为M f ( a,b) ，例如，当f x 1(x 0) 时，可 得 a b M f ，即M f (a,b) 为a,b 的算术平均数. (a, b) c 2 （ 1）当 f x _(x 0) 时，M f (a,b) 为 a,b 的几何平均数； （ 2）当当f x _(x 0) 时，M ( a,b) f 为a,b的调和平均数 （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 2ab a b ； （二）选考题 16. （选修4-1 ：几何证明选讲） * - 如图，P 为O 的两条切线，切点分别为A,B

8、，过PA 的中点Q 作割线交 O 于C, D两点，若QC 1, CD 3, 则PB _ - 17. （选修4-4 ：坐标系与参数方程） x t 已知曲线C1 的参数方程是 y 3t 3 t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 为参数 C 的极坐标方程是2 ，则C1 与C2 交点的直角坐标为_ 2 17、（本小题满分11 分） 某 实 验 室 一 天 的 温 度 （ 单 位 ：） 随 时 间（ 单 位 ;h ） 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ； (1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？ 18（本小题满分

9、12 分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列. （ 1）求数列的通项公式. （ 2）记为数列的前 n 项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n 的最小值；若不存 在，说明理由. 19( 本小题满分12 分 ) 如图，在棱长为2 的正方体 ABCD A1B C D 中，E, F ,M , N 分别是棱AB, AD, A1B1, A1D1 的中点，点P,Q 分 1 1 1 别在棱 DD , BB1上移动，且DP BQ 0 2 . 1 （ 1）当1时，证明：直线 BC 平面EFPQ ; 1 （ 2）是否存在，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2

10、0. （本小题满分12 分） * - 计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站，过去50 年的水文资料显示，水库年入流量X ( 年入流量： - 一年内上游来水与库区降水之和. 单位：亿立方米）都在40 以上. 其中，不足80 的年份有10 年，不低于80 且 不超过120 的年份有35 年，超过120 的年份有5 年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设 各年的年入流量相互独立. (1) 求未来4 年中，至多1 年的年入流量超过120 的概率； (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系； 若某台发电机运行，则该台

11、年利润为5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万元，欲使水电站年 总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 18. （满分14 分）在平面直角坐标系xOy 中，点M到点F 1,0 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为 C. (1) 求轨迹为C 的方程 (2) 设斜率为k 的直线l 过定点p 2,1 ，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。 数学（理） （湖北卷）参考答案 一、选择题 （ 1） A （2） C （3） C （ 4） B （5） D （ 6） C （ 7） D （ 8）B （ 9）A （ 10） B 二、填空

12、题 （ 11）3 （ 12） 2 （13） 495 （14）x ；x 或 三、解答题 （ 17）解： kx ；k2x （15） 4 （ 16）( 3,1) 1 （ I ）因为( ) 10 2( 3 cos 1 sin ) 10 2sin( ) f t t t t ， 2 12 2 12 12 3 又0 t 24 ，所以 3 12 7 t ，1 sin( t ) 1， 3 3 12 3 当t 2时，) 1 sin( t ；当t14时，sin( t ) 1； 12 3 12 3 于是f (t) 在 0,24) 上取得最大值12，取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12 C ，最低温度为8 C

13、，最大温差为4 C （ II ）依题意，当f (t) 11时实验室需要降温. 由（1）得 f (t) 10 2 sin( t ) ， 12 3 所以10 2 sin( t ) 11，即 12 3 1 sin( t ) ， 12 3 2 * - 又0 t 24 ，因此 7 6 12 11 t ，即10 t 18， 3 6 - 故在10 时至 18 时实验室需要降温. （ 18）解： （ I ）设数列 a 的公差为d ，依题意，2,2 d,2 4d 成等比数列， n 2 d 所以(2 d) 2(2 4 ) ，化简得 2 4 0 d d ，解得d 0 或d 4， 当d 0时，a 2 ；当d 4 时，

14、an 2 (n 1) 4 4n 2， n 从而得数列 a 的通项公式为a n 2 或an 4n 2 . n （ II ）当a 2 时，Sn 2n ，显然2n 60n 800 ，不存在正整数n ，使得Sn 60n 800. 成立 n 当a 4n 2 n 时， n2 (4n 2) 2 Sn 2n ， 2 令2n 2 60n 800 ，即n 2 30n 400 0 ， 解得n 40 或n 10 （舍去） 此时存在正整数n ，使得Sn 60n 800成立，n 的最小值为41. 综上所述，当2 a 时，不存在满足题意的n ； n 当an 4n 2时，不存在满足题意的n ；n 的最小值为41. （ 19）

15、解： （ I ）证明：如图1，连结 AD ，由ABCD A1B1C1D1 是正方体，知BC1 / AD 1 ， 1 当1 时，P是DD1 的中点，又F 是AD 的中点，所以FP / AD ， 1 所以BC / FP 1 ， 而FP 平面EFPQ ，且BC 平面EFPQ ， 1 故直线/ BC 平面EFPQ . 1 （ II ）如图2，连结 BD ，因为E、F分别是AB 、AD 的中点， 1 所以EF / BD ，且EF BD 2 ，又DP BQ ，DP / BQ ， 所以四边形PQBD 是平行四边形， 故PQ / BD ，且PQ BD ， 1 从而EF / PQ ，且EF PQ ， 2 在Rt

16、 EBQ 和Rt FDP 中，因为BQ DP ，BE DF 1， 于是， 2 EQ FP 1 ，所以四边形EFPQ 是等腰梯形， 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形， * - 分别取EF 、PQ 、MN 的中点为H 、O、G，连结OH 、OG ， 则GO PQ ，HO PQ ，而GO HO O ， 故GOH 是平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角的平面角， 若存在，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角，则GOH 90 ， 连结EM 、FN ，则由EF / MN ，且EF MN ，知四边形EFNM 是平行四边形， - 连结GH ，因为H 、G 是EF 、MN 的中点，所以

17、GH ME 2 ， 2 在GOH 中，4 GH ， 2 1 2 2 2 2 OH 1 ( ) ， 2 2 2 2 2 2 2 1 OG 1 (2 ) ( ) (2 ) ， 2 2 由 1 1 2 OH 2 GH 2 2 2 OG 得(2) 4 2 2 ，解得 2 1 ， 2 故存在 2 1 ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角. 2 向量法： 以D为原点，射线DA, DC , DD 分别为x, y, z轴的正半轴建立如图3 的空间直角坐标系D xyz， 1 由已知得B( 2,2,0), C1( 0,2,2), F (1,0,0), P (0,0, ) ， 所以BC ( 2,

18、0,2) ，FP ( 1,0, )，FE (1,1, 0) ， 1 （ I ）证明：当1 时，FP ( 1,0 ,1) ，因为BC ( 2,0,2) ， 1 所以BC 2FP 1 ，即BC1 / FP ， 而FP 平面EFPQ ，且 BC 平面EFPQ ， 1 故直线/ BC 平面EFPQ . 1 （ II ）设平面EFPQ 的一个法向量n( x, y, z)， 由 FE FP n n 0 0 可得 xy 0 x 0 z ，于是取n( , ,1) ， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m( 2,2 ,1)， 若存在，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角， * - 则mn(

19、2,2 ,1) ( , ,1) 0 ， 即( 2) (2 ) 1 0 ，解得 2 1 ， 2 故存在 2 1 ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角. 2 （ 20）解： - 10 （ I ）依题意，0.2 P1 P( 40 X 80) ， 50 35 5 P2 P(80 X 120) 0.7 ，P3 P( X 120) 0.1， 50 50 由二项分布，在未来4 年中至多有1 年入流量找过120 的概率为： 9 9 1 0 4 1 3 4 3 P C4 (1 P ) C (1 P ) P ( ) 4 ( ) 0. 9477 . 3 4 3 3 10 10 10 （ II ）

20、记水电站年总利润为Y （单位：万元） 安装1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y 5000 ，EY 5000 1 5000 . 安装2 台发电机. 当40 X 80 时，一台发电机运行，此时Y 5000 800 4200 ， 因此P(y 4200) P( 40 X 80) P 0.2， 1 当X 80时，两台发电机运行，此时Y 5000 2 10000 ， 因此P( 10000) ( 80) P1 P 0.8. 由此得Y 的分布列如下： Y P X 2 Y 4200 10000 P 0.2 0.8 所以EY 4200 1 10000 2

21、 8840 . 安装3 台发电机. 依题意，当40 X 80 时，一台发电机运行，此时Y 5000 1600 3400 ， 因此P(Y 3400) P( 40 X 80) P 0.2； 1 当80 X 120 时，两台发电机运行，此时Y 5000 2 800 9200 ， 此时P(Y 9200) P(80 X 120) P2 0.7， 当X 120 时，三台发电机运行，此时y 5000 3 15000 ， 因此P(Y 15000) P(X 120) P 0.1， 3 由此得Y 的分布列如下： Y 34 9200 15000 P 0.2 0.8 0.1 所以EY 3400 0.2 9200 0.

22、7 15000 0.1 8620 . * - 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2 台 . （ 21）解： （ I ）设点M (x, y) ，依题意，| MF | | x | 1，即(x1)2 y 2 | x | 1， 2 x x 整理的y 2(| | ) ， - 所以点M 的轨迹C 的方程为 4x(x 0) 2 y . o,( x 0) 2 （ II ）在点M 的轨迹C 中，记C1 : y 4x( x 0) ， C2 : y 0(x 0) ， 依题意，设直线l 的方程为y 1 k(x2) ， 由方程组 y 2 y 1 k(x 4x 2) 2 y k 得ky 4 4(2 1)

23、0 当k0时，此时y 1，把y 1代入轨迹C 的方程得 1 x ， 4 1 所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点( ,1) . 4 2 k 当k0时，方程 的判别式为16( 2k 1) 设直线l 与x轴的交点为(x ,0)，则由y 1 k(x 2) ，令y 0，得 0 2k 1 0 k x （ i ）若 x 0 0 0 ，由解得k 1或 1 k . 2 1 即当k ( , 1) ( , ) 时，直线l 与C1没有公共点，与C2 有一个公共点， 2 故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点. （ ii ）若 x 0 0 0 或 x 0 0 0 1 1 ，由解得k 1, 或k 0， 2 2 1

24、即当k 1, 时，直线l 与C1有一个共点，与C2 有一个公共点. 2 1 当k ,0) 时，直线l 与C1 有两个共点，与C2 没有公共点. 2 1 1 故当k 1, ,0) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点. 2 2 （ iii ）若 x 0 0 ，由解得 0 1 1 k 或 2 1 0 k ， 2 1 1 即当k ) 时，直线l 与C1有两个共点，与C2 有一个公共点. ( 1 ) (0, 2 2 故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点. 1 * - 综上所述，当k ( , 1) ( , ) 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点； 2 1 1 当k 1, ,0) 时，故此时直线l

25、 与轨迹C 恰有两个公共点； 2 2 1 1 当k( 1 ) (0, ) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点. 2 2 （ 22）解： - （ I ）函数f (x) 的定义域为(0, ) ，因为 f ln x (x) ，所以 x 1 ln x f (x) ， 2 x 当f (x) 0，即0 x e 时，函数f ( x) 单调递增； 当f (x) 0，即x e时，函数f ( x) 单调递减； 故函数f (x) 的单调增区间为(0, e)，单调减区间为(e, ) . （ II ）因为e 3 ，所以eln 3 eln ，ln e ln 3，即 e ln e ln 3 ，ln e ln 3 ，

26、 于是根据函数y ln x、 x y e 、 x y 在定义域上单调递增， 所以 e 3 e 3 3 e ，e 3 ， 故这6 个数的最大数在 3 与3 之中，最小数在 e 3 与 3 e 之中， 由e 3 及（ I ）的结论得f ( ) f (3) f (e) ，即 ln ln3 3 ln e e ， 由 ln ln3 3 3 得ln ln 3 ，所以 3 3 ， 由 ln 3 3 ln e e e 3 e 3 得，所以， ln 3 ln e 3 e 综上， 6 个数中的最大数为3 ，最小数为 e 3 . （ III ）由（ II ）知， e 3 e 3 ， e 3 3 e ，又由（II ）

27、知， ln ln e e ， 故只需比较 3 e 与 e 和e 与 3 的大小， 由（I ）知，当0 x e 时， f 1 (x) f (e) ，即 e ln x ， 在上式中，令 2 2 e e x ，又e，则 2 e e ln ，即得 e ln 2 e 2. 71 由得，) 2.7 (20. 88) 3. 024 3 eln e(2 ) 2.7 (2 ， 3.1 即eln 3，亦即 e 3 ln ln e ，所以 3 e e ， 3e 又由得，3ln 6 6 e ，即3ln ，所以 3 e ， e e 3 3 e 综上所述，3 e 3 ，即6 个数从小到大的顺序为 e 3 ， 3 e ， e ，e ， 3 ，3.