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1、1 2019 年江西省九江市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 . 1 （5 分）设集合 1 |0 2 x Ax x ，集合| x Bx el ，则(AB) A | 12xxB | 10xxC |1 x xD | 02xx 2 （5 分）若a为实数，且(1)()2aiai，则(a) A1B0C1D2 3 （5 分）等比数列 n a中，若 456 8a aa，且 5 a 与 6 2a 的等差中项为2，则公比(q) A2B 1 2 C2D 1 2 4 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源
2、在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结 构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数，其各行各 列及对角线点数之和皆为15如图，若从四个阴数中随机抽取2 数，则能使这两数与居中阳数之和等于 15 的概率是 () A 1 2 B 2 3 C 1 4 D 1 3 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为 () A 3 2 B 13 2 C 23 2 D 13 2 6 （5 分）已知函数sinyx 的定义域为 a，b ，值域为 3 2 ， 1，则 ba 的最大值为() A 2 3 B 5 6 C 3 2 D 5 3 2 7 （5 分）若x，
3、y满足约束条件 2 0 0 3 0 xy xym x , ，则23zxy 的最大值为9，则正实数m的值为 () A1B2C4D8 8 （5 分） | 2 | ( )()cos x f xlnx 的部分图象大致为() A B C D 9 （5 分） 九章算术 卷第五 商功 中，有“假令刍童， 上广一尺， 袤二尺， 下广三尺， 袤四尺， 高一尺” 意思是：“假设一个刍童，上底面宽1 尺，长 2 尺：下底面宽3 尺，长 4 尺，高 1 尺（如图）刍童为上下 底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球 体的表面上，则该球体的表面积为() A 46平方尺
4、 B 41平方尺 C 40平方尺 D 36平方尺 3 10（5 分） 已椭圆 22 111 22 11 :1(0) xy Cab ab 和双曲线 22 22 22 22 :1(0 xy Ca ab ， 2 0)b， 若椭圆的离心率 1 3 2 e， 椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆焦点的连线垂直于x轴则双曲线一条渐近线的斜率为() A 2 3 B3C 3 3 D 3 6 11 （5 分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A 4 3 B 8 3 C4D 16 3 12 （5 分）定义在 (0,) 上的函数( )f x 的导函数为( )fx ，且
5、对(0,)x都有 1 ( )( ) lnx fx lnxf x x ，则 ( ) A 12 f （2）3f （4）f （8）B 3f （4）12 f （2）f （8） C f （8）3f （4）12 f （2）D f （8）12 f （2）3/ f （4） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 13 （5 分）已知 | 1a， ( )aba ，则 a b 14 （5 分）设函数 2(3 ),1 ( ) (2),1 logxx f x f x x ，则( 5)ff （5） 15 （5 分）已知抛物线 2 8yx 的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则 |4|FAFB
6、 的最小值 是 16 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S ，已知 1 1a， 1 1 2(1) 3 nn n Sa， 2 3 ( 1)(log) n nn ba，则数列 n b的 前 2n 项和为 三、解答题：本大题共5 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （ 12 分）在ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别为a，b ，c，已知 222 22 3sinacbacbcA （）求角B； （）当1b且ABC 的面积最大时，求ac的值 18 （12 分）如图，已知四棱锥PABCD 的底面是边长为2 3 的菱形，60BAD，点E是棱 BC 的中点， 4 DEA
7、CO ，点P在平面 ABCD 的射影为 O ，F为棱PA上一点 （）求证：平面PED平面 BCF ； （）若/ /BF平面PDE，2PO，求四棱锥 FABED的体积 19 （12 分）某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300 万元，第一年 的年生产能力为300 吨，随后以每年40 吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的 频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3 年，该产品的销售利润为1万元 /吨 （）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组
8、的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假 设每年的销售量相互独立 ( ) i 根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180 万的概率和不低于220 万的概率； ( )ii试预测该企业3 年的总净利润(3 年的总净利润3 年销售利润一投资费用） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F，离心率为 2 2 ，直线:0()lxmymR 与椭圆E 相交于A，B两点， |2 2AFBF （）求椭圆E的标准方程； （）延长AF交椭圆E于点M，延长BF交椭圆E于点 N ，若直线 MN 的斜率为1，求实数m的值 21 （12 分）已知函数 2 ( )(21)(
9、)f xxaxalnx aR （）试讨论函数( )f x 的单调性； （）若函数( )f x 存在最小值( ) min f x，求证： 3 ( ) 4 min f x 请考生在第22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（本 小题满分10 分） 5 22 （10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线 1 C 的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数），以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系(0，0 ， 2 ) ，点A为曲线 1 C 上的动点，点B在线段 OA的延长线 上，且满足 | |8OAOB，点B的轨迹为 2 C （1）求
10、1 C ， 2 C 的极坐标方程 （2）设点 C 的极坐标为(2,) 2 ，求ABC 面积的最小值 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分0 分） 23设函数( )|2| (0,2)f xxaxaa （）当1a时，解不等式( ) 1f x ； （）求证( )2f x , 6 2019 年江西省九江市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 . 【解答】 解：|12Axx，|0Bx x； | 02ABxx 故选： D 【解答】 解：a为实数，且 2 (1)()2(1)2aiaiaa
11、i， 22a，即1a 故选： C 【解答】 解：根据题意，等比数列 n a中，若 456 8aa a， 则 3 5 ()8a，解可得 5 2a， 又由 5 a 与 6 2a 的等差中项为2，则 56 ()(2)4aa， 解可得： 61a， 则 6 5 1 2 a q a ； 故选：B 【解答】 解；从四个阴数中随机抽取2 个数，共有6 种取法， 其中满足题意的取法有两种：4， 6和 2， 8， 能使这两数与居中阳数之和等于15 的概率 21 63 p 故选：D 【解答】 解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 234 coscoscoscos 6666 S的值， 可得
12、 2343113 coscoscoscos0() 66662222 S 故选：A 【解答】 解：sinyx 的值域为 3 2 ， 1， 4 22() 33 kxkkZ剟， 45 ()(2)(2) 333 max bakk 7 故选： D 【解答】 解：x，y满足约束条件 20 0 30 xy xym x , 的可行域如图， 则23zxy 的最大值为9， 所以直线0xym，过直线 239xy和直线3x的交点 (3, 1)， 2m， 故选 B 故选：B 【解答】 解：()( )fxf x ，则函数( )fx 是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D， ()cos10flnln，排除 C ， 故选：B
13、 【解答】 解：由已知得球心在几何体的外部， 设球心天几何体下底面的距离为x， 则 2222255 ()(1)() 22 Rxx， 解得2x， 241 4 R，该球体的表面积41S 故选：B 【解答】 解：设椭圆的半焦距为 1 c ，双曲线的半焦距为 2 c ，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点 1 (c ， 2 1 1 ) b a ， 所以双曲线的渐近线的斜率为： 222 2111 1 21 11 11 13 6 bbac ke aa ca ce ， 故选：D 【解答】 解：依三视图知该几何体为三棱锥DABC ，连接DF， 过A作AE DF，则AE为底面 DBC 的高， 8 由三视图可得 1 4
14、4 28 2 2 ABC S，2AE 所以其体积 116 8 22 33 V 故选：D 【解答】 解：由 1 ( )( ) lnx fx lnxf x x 得，( )(1)( )fx xlnxlnx f x ， 即( )(1)( )0fx xlnxlnx f x， 令 ( ) ( ) f x g x xlnx ， 则 2 ( )(1)( ) ( ) () fx xlnxlnx f x gx xlnx ， 由( )(1)( )0fx xlnxlnx f x， (0,1)x， (1,) 时，( )0gx， ( )g x 在区间 (0.1) 和 (1,) 上单调递增， g （2）g （4）g （8）
15、 ， 即 f （ 8）3f （4）12 f （2） ， 故选： C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 【解答】 解：由 ()aba 得 ()0ab a， 得 2 0aa b，1a b， 故答案为： 1 【解答】解：由( )f x 的解析式得，( 5)ff（5） 2 log 8f（3） 3f（1） 2 3( 1)3log 4325f 故答案为： 5 【解答】 解：抛物线 2 8yx 的焦点(2,0)F， 设 1 (A x ， 1) y， 2 (B x ， 2) y，则 1212 | 4|24(2)410FAFBxxxx， 当直线AB斜率不存在时，| 4|2421020F
16、AFB， 当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为(2)yk x， 代入 2 8y x 得 2222 (48)40k xkxk， 12 4x x， 21 11 44 |4|410 241018FAFBxx xx ， 9 当且仅当 1 1x时取等号 |4 |FAFB 的最小值是18 故答案为： 18 【解答】 解：根据题意，数列 n a满足 1 1 2(1) 3 nn n Sa， 则有 1 1 1 2(1) 3 nn n Sa ， 可得： 1 1 (1)(3)0 3 nn n aa， 则有 1 30 nn aa，即 1 3 nn aa ， (2)n 又由 1 1 2(1) 3 nn n Sa，当
17、1n时， 2 3a， 1 1a， 则数列 n a是首项为1，公比为3 的等比数列，则 1 3 n n a； 2122 33( 1)(log)( 1) (log (3)( 1) (1) nnnn nnban， 则 22 212(22)(21)43nnbbnnn； 数列 n b的前 2n项和 2 2 (143) 159(43)2 2 n nn Tnnn； 故答案为： 2 2nn 三、解答题：本大题共5 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 【解答】 解： （）ABC 中，由 222 22 3sinacbacbcA， 得 2cos223sinacBacbcA ， cos3 sin
18、aBab A， 由正弦定理得sincossin3sinsinABABA ； 又sin 0A ， cos13sinBB， 3sincos1BB， 2sin()1 6 B， 1 sin() 62 B； 又(0,)B， 66 B，解得 3 B； 10 （）由（）知ABC 的面积为 13 sin 234 ABC Sacac ， 由余弦定理得 222 2cos 3 acbac， 即 22 121acacac， 1ac,，当且仅当1ac时取“” ， 即1ac时ABC 的面积取得最大值，此时2ac 【解答】 证明： （1）PO平面 ABCD ， BC平面 ABCD ，BCPO ， 依题意BCD 是等边三角形
19、，E为棱 BC 的中点，BCDE ， 又 PODEO ， PO ，DE平面PED，BC平面PED， BC平面 BCF ，平面PED平面 BCF 解： （）取AD的中点 G ，连结 BG ， FG ， 底面 ABCD 是菱形，E是棱 BC 的中点，/ /BGDE ， BG平面PDE，DE平面PDE，/ /BG平面PDE， / /BF平面PDE， BFBGB，平面/ /BGF平面PDE， 又平面 BGF 平面 PADGF，平面PDE 平面 PADPD ， / /GFPD ，F为PA的中点， 9 331 2 32 360 222 ABED Ssin 四边形 ， 点F到平面ABED的距离为1 2 PO
20、 d， 四棱锥FABED的体积： 9 33 311 1 3322 FABEDABED VSd 四边形 【解答】 解： （）年销量的平均数0.1 1200.21600.32000.252400.15280206x（吨 ) （） ( ) i 该产品的销售利润为1 万元 /吨， 由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220 吨时，年销售利润才不低于220 万， 年销售利润不低于220万的概率0.30.250.150.7P ( )ii由（）可知第一年的利润为：206 1206（万元）， 11 第二年的利润为：(0.11200.21600.32000.4240)1200 （万元）， 第三年的利润为：(
21、0.11200.21600.7200)1184 （万元）， 预测该企业3 年的总净利润为：206200184300290 （万元） 【解答】 解： （）设左焦点为 1 F ，连 1 AF ， 1 BF ，则四边形 1 AFBF 为平行四边形，则 1 | |AFBF ， 1| |22 2AFBFAFAFa， 2a， 2 2 c e a ， 1c，1b， 椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y， （）当0n时，直线 MN 的斜率不存在， 当0m时，设 0 (A x ， 0) y，则直线AF的方程为 0 0 (1) 1 y yx x ， 联立方程组 22 0 0 22 (1) 1 xy y yx x
22、 ，消去y整理可得， 222222 0000000 (212)422420xxyxy xyxx， 22 0022xy， 222 0000 (32)(42)340xxxxxx， 2 00 0 0 43 32 M xx x x x ， 0 0 43 32 M x x x ， 00 00 (1) 123 MM yy yyx xx ， 即 0 0 43 (3 2 x M x ， 0 0 ) 23 y x ， 同理可得 0 0 43 (3 2 x N x ， 0 0 ) 23 y x ， 00 000 00 0 00 23233 31 4343 3232 MN yy xxy k xx xm xx ， 3
23、m 12 【解答】 解： （） (21)() ( ) xxa fx x ， 0a,时，( )0fx在 (0,) 恒成立， 故( )f x 在 (0,) 递增， 0a时，由( )0fx，解得：xa， 由( )0fx，解得： 0x a ， 故( )f x 在 (0, )a 递减，在 ( ,)a递增； （）由（）知要使( )f x 存在最小值， 则0a且 2 ( )minf xaaalna ， 令 2 ( )g xxxxlnx ， (0)x， 则( )2g xxlnx 在 (0,) 递减， 又 12 ( )10g ee ， 1 ()210 2 gln， 故存在 0 1 (x e ， 1 ) 2 使得
24、 0 ()0gx， 故( )g x 在 0 (0,)x递增，在 0 (x ，) 递减， 0()0gx，0020xlnx， 故 00 2lnxx ， 故 2 00 11 ( )()() 24 maxg xg xx ， 又 0 1 (x e ， 1 ) 2 ， 22 0 111113 ( )()() 242244 max g xx， 故 3 ( ) 4 min f x 请考生在第22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（本 小题满分10 分） 【解答】 解： （1）曲线 1 C 的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数）， 曲线 1 C
25、的普通方程为 22 20xyx， 曲线 C 的极坐标方程为2cos， 设点B的极坐标为 (, ) ，点A的极坐标为 0 (， 0 ) ， 则 | |OB， 0 |OA， 00 2cos， 0， 13 | |8OAOB， 0 8 ， 8 2cos，cos 4 ， 2 C 的极坐标方程为cos 4 （2）由题设知 |2OC， 2 1 | |coscos| | 42cos| 2 ABCOBCOACBA SSSOC， 当0时， ABCS 取得最小值为2 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分0 分） 【解答】 解： （）当1a时，不等式( ) 1f x 等价于 |1|1|1xx ， 当1x,时，不等式化为11 1xx，原不等式无解， 当11x时，不等式化为11 1xx，解得 1 1 2 x,， 当1x时，不等式化为11 1xx，解得1x， 综上所述，不等式的解集为 1 2 ，) ； 证明（）( )|2|()(2) |2f xxaxaxaxaaa,， 0a， 2 ， 22(2)aaaa， 2 2(2)(2)aaaa， 2 (2)4aa,， 22aa,， ( )2f x ,