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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 理科数学 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在 试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1.已知复数z=2+i，则z z A. 3 B. 5 C. 3D. 5 【答案】 D 【解析】 【分析】 题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】 z2i, z z(2i)(2i)5 故选 D. 【点睛】本容易题，注重了基础知识
2、、基本计算能力的考查. 2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次，=1k， 2 2 1 2 3 12 s， 运行第二次，2k， 2 22 2 322 s， 运行第三次， 3k ， 2 22 2 322 s， 结束循环，输出=2s，故选 B. 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 3.已知直线l 的参数方程为 13 , 24 xt yt （t 为参数），则点（ 1,0）到直线 l 的距离是 A. 1 5 B. 2 5 C. 4 5 D.
3、6 5 【答案】 D 【解析】 【分析】 首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线 l的普通方程为 41320xy, 即 4320xy, 点1,0到直线 l 的距离 22 |402 |6 5 43 d , 故选 D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程转化 , 点到直线的距离, 属于容易题 , 注重基础知识? 基本运算能力的考查. 4.已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 1 2 ，则 A. a 2=2b2 B. 3a 2=4b2 C. a=2bD. 3a=4b 【答案】 B 【解析】 【分析】 由题意利用离心率的定义和 ,
4、 ,a b c的关系可得满足题意的等式 . 【详解】椭圆的离心率 222 1 , 2 c ecab a , 化简得 22 34ab , 故选 B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质, 属于容易题 , 注重基础知识?基本运算能力的考查. 5.若 x，y 满足|1|xy，且 y -1 ，则 3x+y 的最大值为 A. -7B. 1C. 5D. 7 【答案】 C 【解析】 【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可. 【详解】由题意 1 , 11 y yxy 作出可行域如图阴影部分所示. 设3,3zxy yzx, 当直线 0: 3lyzx经过点2, 1时 , z 取最
5、大值5. 故选 C. 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型, 根据“画 ?移?解”等步骤可得解. 题目难度不大题, 注重了基础知识?基本技能的考查. 6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 21 2 1 5 2 lg E mm E ，其中星等为 m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的 星等是 1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 10 10.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10 10.1 【答案】 D 【解析】 【分析】 先求出 1 2 lg E E ，然后将对数式换为指数式求 1 2 E E ， 再求
6、 1 2 E E . 【详解】两颗星的星等与亮度满足 1 21 2 5 lg 2 E mm E , 令 2 1.45m， 1 26.7m， 1 21 2 22 1g( 1.4526.7)10.1 55 E mm E ， 10.110.1 12 21 1010 EE EE ， 故选 D. 【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算 . 7.设点 A， B，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| |ABACBC”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 【分析】 由题意
7、结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】A?B?C三点不共线 , | AB + AC | BC | AB + AC | AB - AC | | AB + AC | 2 | AB - AC | 2 AB?AC 0 AB 与 AC 的夹角为锐角 . 故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC | BC | ”的充分必要条件, 故选 C. 【点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模 ?夹角与数量积, 同时考查了转化与化归数 学思想 . 8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 22 1 |xyx y就是其中之一（如图）. 给出下
8、列三个结论： 曲线 C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐 标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 详解】由 22 1xyx y得, 22 1yx yx, 2 22 2|334 1,10, 2443 xxx yx 厔 , 所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线 22 :1C
9、xyx y恰好经过 (0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点 , 结论正确 . 由 22 1xyx y得, 22 22 1 2 xy xy , 解得 22 2xy, 所以曲线C上任意一点到原点的 距离都不超过 2 . 结论正确 . 如图所示 , 易知0, 1 ,1,0 ,1,1, ,0,1ABCD, 四边形 ABCD的面积 13 1 11 1 22 ABCD S, 很明显“心形”区域的面积大于2 ABCD S, 即“心 形”区域的面积大于3, 说法错误 . 故选 C. 【点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用, 属于难题 ,
10、注重基础知识 ? 基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查, 渗透“美育思想”. 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9.函数 f(x)=sin 22x的最小正周期是 _ 【答案】 2 . 【解析】 【分析】 将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数 2 sin 2fxx 14 2 cos x , 周期为 2 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 10.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， 若 a2=-3 ， S5=-10 ， 则 a5=_， Sn的最小
11、值为 _ 【答案】(1). 0.(2). -10. 【解析】 【分析】 首先确定公差 , 然后由通项公式可得 5 a 的值，进一步研究数列中正项?负项的变化规律, 得到和的最 小值 . 【详解】等差数列 n a 中,53 510Sa ,得32 2,3aa ,公差 32 1daa, 53 20aad, 由等差数列 n a的性质得 5n 时 ,0 n a, 6n时,n a大于 0, 所以 n S的最小值为 4 S或 5 S, 即为 10. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式 ?等差数列的性质, 难度不大 , 注重重要知识 ?基础 知识 ?基本运算能力的考查. 11.某几何体是由一个正方体
12、去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的 边长为 1，那么该几何体的体积为_ 【答案】 40. 【解析】 【分析】 画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积. 【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示 几何体的体积V=4 3-1 2 （2+4） 2 4=40 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、 细心算 . 12.已知 l，m是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断： l m； m； l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 【答案】 如果 l ，m ，则 l m. 【解析】 【分
13、析】 将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果 l ，m ，则 lm. 正确； （2）如果 l ，lm，则 m.不正确，有可能m在平面 内； （3）如果 lm，m ，则 l.不正确，有可能l 与 斜交、 l. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 13.设函数 f（x）=e x+ae-x（a 为常数）若 f（x）为奇函数，则 a=_；若 f（ x）是 R 上的增 函数，则 a 的取值范围是_ 【答案】(1). -1;(2). ,0. 【解析】 【分析】 首先由奇函数的定义得到关于a的恒
14、等式， 据此可得a的值， 然后利用导函数的解析式可得a 的取 值范围 . 【详解】若函数 xx fxeae为奇函数 , 则, xxxx fxfxeaeeae， 10 xx aee 对任意的 x恒成立 . 若函数 xx fxeae是R上的增函数 , 则0 xx fxeae恒成立 , 2 ,0 x aea. 即实数a的取值范围是,0 【点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性 ?利用单调性确定参数的范围. 解答过程中 , 需利用转化与化 归思想 , 转化成恒成立问题. 注重重点知识?基础知识 ?基本运算能力的考查. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次
15、 为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买 水果的总价达到120元， 顾客就少付x 元 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 _ 【答案】(1). 130.(2). 15. 【解析】 【分析】 （1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果； （2）根据120y、120y分别探究 . 【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（ 6
16、0+80）-10=130 元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元， 120y 元时，李明得到的金额为y 80%，符合要求 . 120y元时，有（ y-x） 80% y 70%成立， 即 8（y-x）7 y，x 8 y ，即 x （ 8 y ）min=15 元. 所以 x 的最大值为15. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有 一定难度 . 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.在 ABC 中， a=3，b- c=2，cosB= 1 2 （）求 b，c 的值； （）求 sin（BC）的值
17、 【答案】 () 3 7 5 a b c ； () 2 3 7 . 【解析】 【分析】 ()由题意列出关于a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c 的值； ()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 sin BC 的值 . 【详解】 ()由题意可得： 222 1 cos 22 2 3 acb B ac bc a ，解得： 3 7 5 a b c . ()由同角三角函数基本关系可得： 23 sin1cos 2 BB ， 结合正弦定理 sinsin bc BC 可得： sin5 3 sin 14 cB C b ， 很明显角 C 为锐角，故 2 11 cos1sin 14 CC， 故 2
18、 sinsincoscossin3 7 BCBCBC. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查 学生的转化能力和计算求解能力. 16.如图，在四棱锥P ABCD 中， PA平面 ABCD，ADCD， ADBC，P A=AD=CD=2，BC=3E 为 PD 的中点，点F 在 PC 上，且 1 3 PF PC （）求证： CD平面 P AD ； （）求二面角F AE P 的余弦值； （）设点G 在 PB 上，且 2 3 PG PB 判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由 【答案】 ()见解析； () 3 3 ； ()见解析 . 【解析】 【分析
19、】 ()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； ()建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P 的余弦值； ()首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量可判断直线是否在 平面内 . 【详解】 ()由于 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，则 PACD， 由题意可知ADCD，且 PAAD=A， 由线面垂直的判定定理可得CD平面 PAD. ()以点 A 为坐标原点，平面ABCD 内与 AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP方向为 y 轴，z轴建立如图 所示的空间直角坐标系Axyz， 易知： 0,0,0 ,0,0,2 ,2,2,
20、0 ,0,2,0APCD ， 由 1 3 PFPC可得点 F 的坐标为 2 2 4 , 3 3 3 F， 由 1 2 PEPD可得0,1,1E， 设平面 AEF 的法向量为：, ,mx y z，则 2 2 4224 , ,0 3 3 3333 , ,0,1,10 m AFx y zxyz m AEx y zyz ， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：1,1, 1m， 很明显平面AEP 的一个法向量为1,0,0n， 13 cos, 33 1 m n m n mn ， 二面角 F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 3 3 . ()易知 0,0,2 ,2, 1,0PB ，由
21、2 3 PGPB可得 42 2 , 33 3 G， 则 42 2 , 33 3 AG， 注意到平面AEF 的一个法向量为：1,1, 1m， 其 0m AG 且点 A 在平面 AEF 内，故直线AG 在平面 AEF 内. 17.改革开放以来， 人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为 了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100 人，发现 样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布 情况如下： 交付金额（元） （0,1000 （1000,2000 大于 2000 支付方式 仅使
22、用 A 18 人9 人3 人 仅使用 B 10人14人1人 （）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额 大于 1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望； （）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本 月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由 【答案】 () 2 5 ； ()见解析； ()见解析 . 【解析】 【分析】
23、 ()由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值； ()首先确定 X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可. ()由题意结合概率的定义给出结论即可. 【详解】 ()由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540人，则： 该学生上个月A， B 两种支付方式都使用的概率 402 1005 p. ()由题意可知， 仅使用 A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 3 5 ，金额大于1000的人数占 2 5 ， 仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 2 5 ，金额大于1000 的人数占 3 5 ， 且 X 可能的取值为0,1,2.
24、 326 0 5525 p X， 22 3213 1 5525 p X ， 326 2 5525 p X， X分布列为： X 0 1 2 p X 6 25 13 25 6 25 其数学期望： 6136 0121 252525 E X. ()我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越 稳定于概率。 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现 题中这种现象可能是发生了“ 小概率事件 ”. 【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问
25、题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和 分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关. 18.已知抛物线C：x 2=-2 py 经过点（ 2，-1 ） （）求抛物线C 的方程及其准线方程； （） 设 O 为原点， 过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线 l 交抛物线C 于两点 M，N，直线 y=-1 分别交直线OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点 【答案】 () 2 4xy， 1y； ()见解析 . 【解析】 【分析】 ()由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； ()联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的
26、半径，从而确定圆的方程，最 后令 x=0 即可证得题中的结论. 【详解】 ()将点2, 1代入抛物线方程： 2 221p可得：2p， 故抛物线方程： 2 4xy，其准线方程为： 1y. ()很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为0, 1， 设直线方程为1ykx，与抛物线方程 2 4xy联立可得： 2 440xkx . 故： 1212 4 ,4xxk x x. 设 22 12 12 , 44 xx MxNx，则 12 , 44 OMON xx kk， 直线OM的方程为 1 4 x yx，与1y 联立可得： 1 4 , 1A x ，同理可得 2 4 , 1B x ， 易知以 AB 为直径的圆的圆心坐标
27、为： 12 22 , 1 xx ，圆的半径为： 12 22 xx ， 且： 12 1212 2 22 2 xx k xxx x ， 2 1212 2 1212 4 22 221 xxx x k xxx x ， 则圆的方程为： 22 2 2141xkyk， 令 0x 整理可得： 2 230yy，解得：12 3,1yy， 即以 AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点0, 3 , 0,1. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程 的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx. （）求曲
28、线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （）当 2,4x 时，求证： 6( )xf xx； （）设( )|( )()| ()F xf xxaaR，记 ( )F x 在区间 2,4上的最大值为M（ a） ，当 M（a） 最小时，求a的值 【答案】（）0xy和2727640xy. （）见解析； （）3a. 【解析】 【分析】 ()首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； ()由题意分别证得6 0fxx和0fxx即可证得题中的结论； ()由题意结合 ()中的结论分类讨论即可求得a 的值 . 【详解】（） 23 ( )21 4 fxxx，令 23 ( )2
29、11 4 fxxx得0x或者 8 3 x. 当 0x 时，(0)0f，此时切线方程为 yx，即 0xy； 当 8 3 x时， 88 ( ) 327 f，此时切线方程为 64 27 yx，即2727640xy； 综上可得所求切线方程为0xy和2727640xy. （）设 321 ( )( ) 4 g xfxxxx， 23 ( )2 4 g xxx，令 23 ( )20 4 g xxx得0x或者 8 3 x，所以当 2,0x时，( )0gx，( )g x为增函数；当 8 (0,) 3 x时，( )0gx， ( )g x 为 减函数；当 8 ,4 3 x时，( )0gx，( )g x为增函数； 而(
30、0)(4)0gg，所以( )0g x，即( )f xx； 同理令 321 ( )( )66 4 h xf xxxx，可求其最小值为( 2)0h，所以( )0h x，即 ( )6f xx ，综上可得 6( )xf xx. （）由（）知 6( )0f xx ， 所以( )M a是,6aa中的较大者， 若6aa，即 3a 时，( )3M aaa； 若6aa，即 3a 时，( )663M aaa； 所以当( )M a最小时，( )3M a，此时3. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论 的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已
31、知数列 an ，从中选取第i1项、第 i2项、第 im项(i1i2im)，若 12m iii aaa，则 称新数列 12m iii aaa， ，为 an 的长度为 m的递增子列规定：数列an的任意一项都是 an的长 度为 1 的递增子列 （）写出数列1， 8，3，7，5， 6，9 的一个长度为4 的递增子列； （）已知数列an 的长度为p的递增子列的末项的最小值为 0 m a，长度为q 的递增子列的末项的 最小值为 0 n a .若 pq，求证： 0 m a 0 n a ； （）设无穷数列an 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若an 的长度为s的递增子列末项 的最小值为2s 1，且长度为
32、s末项为 2s 1 的递增子列恰有2 s-1 个（ s=1，2，） ，求数列 an 的通 项公式 【答案】 () 1,3,5,6. ()见解析； ()见解析 . 【解析】 【分析】 ()由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； ()利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可； ()观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条 件即可 . 【详解】 ()满足题意的一个长度为4 的递增子列为：1,3,5,6. ()对于每一个长度为 q的递增子列 12 , q a aa ，都能从其中找到若干个长度为 p的递增子列 12 , p a aa，此时
33、 pq aa， 设所有长度为 q的子列的末项分别为： 123 , qqq aaa ， 所有长度为 p的子列的末项分别为： 123 , ppp aaa ， 则 0123 min, nqqq aaaa， 注意到长度为p的子列可能无法进一步找到长度为q的子列， 故 0123 min, mppp aaaa， 据此可得： 00 mn aa ()满足题意的一个数列的通项公式可以是 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a nn 为偶数 为奇数 ， 下面说明此数列满足题意. 很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等. 长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1， 下面用数学归
34、纳法证明长度为s末项为 2s-1 的递增子列恰有 1 2 s 个1,2,s： 当1n时命题显然成立， 假设当nk时命题成立，即长度为k 末项为 2k-1 的递增子列恰有 1 2 k 个， 则当1nk时，对于nk时得到的每一个子列 121 ,21 k sss aaak， 可构造： 121 ,21,211 k sss aaakk 和 121 ,2 ,211 k sss aaakk 两个满足题意的递增 子列， 则长度为 k+1 末项为 2k+1 的递增子列恰有 111 2222 kkk 个， 综上可得，数列 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a nn 为偶数 为奇数 是一个满足题意的数列的通项公式. 注：当 3s 时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5， 当4s时，数列2,3,5对应的两个递增子列为：2,3,5,7和2,3,6,7. 【点睛】 “ 新定义 ” 主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此 新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说 “ 新题”不一定是 “ 难题”，掌握好三 基，以不变应万变才是制胜法宝.