9解析几何-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案.pdf

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1、1981 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 9、解析几何部分 2018A 4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1: 2 2 2 2 b y a x （0ba）的左右焦点分别 是 21,F F，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段 PTPVPSPU,的长分别为6 ,3,2, 1，则 21F PF的面积为 答案：15 解 析 ： 由 对 称 性 ， 不 妨 设 点P 00, y x在 第 一 象 限 ， 则2 2 0 PSPT x， 1 2 0 PUPV y 即1 ,2P。进而可得2,2U，1 ,4S，代入椭圆方程解得：20 2 a，5 2 b，从而 15

2、1152 2 1 2 1 021 21 yFFS FPF 。 2018B 6、 设抛物线xyC2: 2 的准线与x轴交于点A， 过点)0, 1(B作一直线l与抛物线C 相切于点 K,过点A作l的平行线，与抛物线C交于点NM , ，则 KMN的面积为为 答案： 2 1 解析 :设直线l与MN的斜率为k，:l1 1 y k x，:MN 2 11 y k x分别联立抛物线方 程得到： 02 2 2 y k y（） ，和01 2 2 y k y（） 对（）由0得 2 2 k；对（）得 24 4 2 k yy NM 所以 2 1 2 1 NMKBANBAMBMNKMN yyABSSSS 2017A 3、

3、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1 109 22 yx ，F是C的焦点，A为 C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为 答案： 2 113 解析： 由题意得0,3A，1 ,0F，设P点的坐标为sin10,cos3，其中 2 , 0， 则 sin 2 113 cos3 2 1 sin103 2 1 OFPOAPOAPF SSS，可得面积最大 值为 2 113 。 2017B 7、设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线0 222 aayx的焦距 为4，则实数a的值为 答案： 2 171 解析： 二次曲线方程可写成 22 2 1 xy aa ，显然

4、必须0a，故二次曲线为双曲线，其 标准方程为 22 22 1 ()() yx aa ，则 2222 ()()caaaa，注意到焦距24c， 可知 2 4aa，又0a，所以 117 2 a. 2018A 11、 （本题满分20 分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线xy4 2 的过点 )0, 1(F的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点BAO,） 若PF平分APB， 求PF的所有可能值。 解析： 设 1 2 1 , 4 y y A， 2 2 2 , 4 y y B， 3 2 3 , 4 y y A，由已知条件知 321 ,yyy两两不等且不 为 0. 设 直 线AB的 方 程 为1t

5、yx， 由 xy tyx 4 1 2 得044 2 tyy， 知4 21y y， tyy4 21 。 设外接圆的方程为0 22 eydxyx，由 xy eydxyx 4 0 2 22 得 0 4 1 16 1 24 eyy d y， 知 该 四 次 方 程 的 根 即 为 321 , 0yyy， 由 根 与 系 数 关 系 得00 321 yyy， 即 321 yyy， 又PF平分APB，由角平分线定理得 2 1 y y FB FA PB PA ，结合 所以 2 12 2 2 2 21 2 21 2 1 2 21 2 23 2 2 2 2 3 2 13 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2

6、1 216 216 44 44 yyyyy yyyyy yy yy yy yy PB PA y y 19264 19264 1614168 164168 2 2 4 1 2 1 4 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 yy yy yyy yyy 即 2 2 2 2 2 1 6 2 2 1 2 2 2 1 6 1 1926419264yyyyyyyy，0192 4 2 2 2 2 1 4 1 2 2 2 1 yyyyyy 当0 2 2 2 1 yy时， 12 yy，此时0 3 y，得P与O重合，舍去。 当01 9 2 4 2 2 2 2 1 4 1 yyyy时，由得208192

7、2 2 2 1 2 2 2 2 1 yyyy，得 21 2 2 2 1 28134yyyy，所以这样的 21,y y是存在的，对应的BA,也是存在的。 所以 113 4 42084 1 4 1 4 2 2 2 1 2 21 2 3 yyyyy PF 2018B 11、 （本题满分20 分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，BA,与DC,分别是椭 圆1: 2 2 2 2 b y a x （0ba）的左、右顶点与上、下顶点设QP,是椭圆上且位于第一 象限的两点，满足APOQ /，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明：线段BCOROQ,能构成一个直角三角形。 证明 :设点P的坐标为

8、00, yx，由于APOQ /，则OAOPAP， 又OMOR/，所以OAOPOM 2 1 ，故存在实数,，使得 OAOPOQ,OAOPOR， 此 时 点RQ,的 坐 标 可 以 分 别 表 示 为 00 , yax， 00 ,yax。 由于点RQ,在椭圆上， 所以 1 1 1 2 2 0 2 2 02 2 2 0 2 2 02 2 2 0 2 2 0 b y a ax b y a ax b y a x ， 化简整理得 1 2 2 2 2 0202 a x a x ，则 )(2 0 2 xa a ， )(2 0 2 xa a （） 因此， 2 0 2 0 22 0 2 0 2 22 yaxyax

9、OROQ， 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 )(2)(2 yax xa a yax xa a )(22)(22 0 2 00 0 2 00 xa ayxaa xa ayaxa 00 2 02 11 2xaxa ay a 2 0 2 2 02 2 2xa aay a 22 ba 2 BC 线段BCOROQ,能构成一个直角三角形。 2017B 11、 （本题满分20 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C : xy4 2 ，曲线 2 C : 8)4( 22 yx经过 1 C上一点P作一条倾斜角为 0 45的直线l，与 2 C交于两个不 同的点RQ,，求PRPQ的取值范围。 解 析 ：

10、设 2 (,2 )P tt， 则 直 线l的 方 程 为 2 2yxtt， 代 入 曲 线 2 C的 方 程 得 ， 222 (4)(2)8xxtt， 化简可得： 2222 22(24)(2 )80xttxtt， 由于l与 2 C交于两个不同的点，故关于x的方程的判别式为正，计算得， 222222222 (24)2(2 )8)(2 )8(2 )162(2 )16 4 tttttttttt 222 (2 )8(2 )tttt 22 (2 )(28)tttt(2)(2)(4)t ttt， 因此有( 2,0)(2,4)t， 设,Q R的横坐标分别为 12 ,x x，由知， 2 12 24xxtt，

11、22 12 1 (2 )8) 2 x xtt， 因此，结合 l的倾斜角为45 可知， 2224 121212 | |2()2()22 ()2PQPRxtxtx xtxxt 22224 (2 )82(24)2tttttt 4324324 4482482ttttttt 42 48tt 22 (2)4t， 由可知， 2 2( 2,2)(2,14)t，故 22 (2)0,4)(4,196)t，从而由得： 22 | |(2)44,8)(8,200)PQPRt 注 1：利用 2 C的圆心到l的距离小于 2 C的半径，列出不等式 2 42 | 22 2 tt ， 同样可以求得中t的范围 . 注 2：更简便的

12、计算| |PQPR的方式是利用圆幂定理，事实上， 2 C的圆心为(4,0)M，半 径为2 2r，故 22222242 | | |(4)(2 )(22)48PQPRPMrtttt. 2016A 7、双曲线C的方程为1 3 2 2 y x，左右焦点分别为 1 F、 2 F，过点 2 F作一直线与双 曲线C的右半支交于点P、Q，使得 0 1 90PQF，则PQF1的内切圆半径是 答案：17 解析： 由双曲线的性质知，4312 21F F，2 2121 QFQFPFPF 因PQF1 =90，故 2 21 2 2 2 1FFPFPF ，因此 72242)()(2 222 21 2 2 2 121 PFP

13、FPFPFPFPF从而直角PQF1的 内切圆半径是17)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 212111 QFQFPFPFQFPQPFr 2016A 11、 （本题满分20 分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是x轴正半轴上的一个动 点。设F为焦点，O为顶点作抛物线C。设P是第一象限内抛物线C上的一点，Q是x轴 负半轴上的一点，使得PQ为抛物线 C的切线，且2| PQ ，圆 1 C， 2 C均与直线PQ相切 于点P，且均与x轴相切。求点F的坐标，使得圆 1 C与 2 C的面积之和取到最小值。 解析： 设抛物线C 的方程是)0(2 2 ppxy， 点 Q 的坐标为)0)(0,(aa， 并设

14、21,C C 的圆心分别为),(),( 222111 yxOyxO 设 直 线PQ的 方 程 为)0(mamyx， 将 其 与C的 方 程 联 立 ， 消 去x可 知 022 2 papmyy 因为PQ 与 C 相切于点P，所以上述方程的判别式为0244 22 pamp，解得 p a m 2 进而可知，点P 的坐标为)2,(),(paayx PP 于是 )2(22 2 1|0|1| 2 apapa p a ymPQ P 由 PQ =2 可得 424 2 paa5 分 注意到 OP 与圆 21,C C相切于点P，所以 21O OOP设 圆 21,C C与x轴分别相切于点M， N，则 21,OO

15、OO分别是PONPOM ,的平分线，故 21OO O=90从而由射影定理知 paayxOPPOPONOMOyy PP 2 2222 212121 结合，就有 22 21 342apaayy10 分 由 21 ,OPO共线，可得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y y NO MO PO PO yy yy ypa pay P P 化简得 2121 2 2 yy pa yy15 分 令 2 2 2 1 yyT，则圆 21,C C的面积之和为T根据题意，仅需考虑T 取到最小值的情况 根据、可知， 21 2 2 2 121 2 21 2 2 4 2)(yyyy pa yyyyT 2 22

16、 222 2 1 )2)(34( )34(2)34( 44 4 a aa aa a 作代换 2 1at，由于02444 2 paat，所以0t于是 4324 1 324 1 3 )1)(13( t t t t t tt T 上式等号成立当且仅当 3 3 t，此时 3 1 11ta，因此结合得， 33 1 33 3 3 1 1 1 2 2 tt a ap 从而 F 的坐标为)0 , 33 1 ()0 , 2 ( p 20 分 2016B 6、 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 圆0: 22 1 ayxC关 于 直 线l对 称 的 圆 为 0322: 22 2 ayxyxC, 则直线l的

17、方程为 答案： 2450.xy 解析： 12 ,C C 的标准方程分别为 22 222 12 :1,:12.CxyCxyaa 由于两圆关于直线l对称，所以它们的半径相等因此 2 20,aa解得2.a故 12 ,C C 的 圆心分别是 12 0,0 ,1,2 .OO直线l就是线段 12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点 1 ,1 2 M，由此可得直线l的方程是 2450.xy 2016B 11、 （本题满分20 分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的方程为1 22 yx求 符合以下要求的所有大于1的实数a：过点0,a任意作两条互相垂直的直线 1 l与 2 l，若 1 l与 双曲线C

18、交于QP,两点， 2 l与C交于SR,两点，则总有RSPQ成立 解析： 过点,0a作两条互相垂直的直线 1: lx a 与 2 :0.ly 易知， 1 l 与 C交于点 22 00,1 ,1P aaQaa（注意这里1a） ， 2 l 与 C交于点 00 1,0 ,1,0 ,RS由条件知 2 0000 212aPQR S，解得2.a 这意味着符合条件的a 只可能为2. 下面验证2a符合条件 事实上，当 12 ,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设 12 :,:0lxa ly，就是前面所讨论 的 12,l l 的情况，这时有 .PQRS 若 12,l l 的斜率都存在，不妨设 12 1 :2

19、,:20 ,lyk xlyxk k 注意这里1k（否则 1l 将与C的渐近线平行，从而1l 与C只有一个交点） 联立 1 l 与C的方程知， 2 22 210,xkx即 2222 12 2210,kxk xk 这是一个二次方程式，其判别式为 2 440k故 1 l 与 C有两个不同的交点,P Q 同样， 2l 与C也有两个不同的交点 , .R S由弦长公式知， 22 2 2 2 441 12. 1 1 kk PQk k k 用 1 k 代替k，同理可得 2 2 22 1 1 22. 1 1 k k RS k k 于是.PQRS 综上所述，2a为符合条件的值 2015A 11、 （本题满分20

20、分）在平面直角坐标系xOy中， 1 F， 2 F分别是椭圆1 2 2 2 y x 的 左右焦点， 设不经过焦点 1 F的直线l与椭圆交于两个不同的的BA,，点 2 F到直线l的距离为 d，如果直线 1 AF，l， 1 BF的斜率依次成等差数列，求d的取值范围。 解析： 由条件知， 点 1 F、 2 F的坐标分别为 （-1, 0）和 （l, 0) 设直线 l 的方程为ykxm， 点 A、B 的坐标分别为 11 (,)x y和 22 (,)xy，则 12 ,x x满足方程 2 2 ()1 2 x kxm，即 222 (21)4(22)0kxkmxm 由于点 A、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故

21、 12 ,x x是方程的两个不同实根，因此有 的判别式 22222 (4)4 (21) (22)8(21)0kmkmkm，即 22 21km 由直线 11 ,BFlAF的斜率 12 12 , , 11 yy k xx 依次成等差数列知， 12 12 2 11 yy k xx ，又 1122 ,ykxm ykxm，所以 122112 ()(1)()(1)2 (1)(1)kxmxkxmxk xx， 化简并整理得， 12 ()(2)0mkxx 假如m k，则直线 l 的方程为ykxk，即 z 经过点 1F（-1, 0)，不符合条件 因此必有 12 20xx，故由方程及韦达定理知， 122 4 ()2

22、 21 km xx k ，即 1 2 mk k 由、知， 2221 21() 2 kmk k ，化简得 2 2 1 4 k k ，这等价于 2 | 2 k 反之，当,m k满足及 2 | 2 k时， l 必不经过点 1 F（否则将导致mk，与矛盾） , 而此时,m k满足，故l 与椭圆有两个不同的交点A、B，同时也保证了 1 AF、 1 BF的斜率 存在（否则 12 ,x x中的某一个为- l，结合 12 20xx知 12 1xx，与方程有两个不 同的实根矛盾） 10 分 点 2 F（l , 0）到直线l: ykxm的距离为 2 22 2 |1111 | 2|(2) 22 1 11 1 km

23、dk kk kk k 注意到 2 | 2 k，令 2 1 1t k ，则(1, 3)t，上式可改写为 2 1313 ()() 222 t dt tt 考虑到函数 13 ( )() 2 f tt t 在1, 3上上单调递减，故由得，( 3)(1)fdf， 即( 3,2)d20 分 2015B 7、设P为椭圆1 34 22 xy 上的动点，点)1,0(),1 , 1(BA，则PBPA的最大值为 答案：5 解析： 取 F ( 0 , l ) ，则 F, B 分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4因此， | PA|+|PB|=4-|PF|+|PA| 4+| FA|=4+l= 5

24、当 P 在 AF 延长线与椭圆的交点 3 (,1) 2 时， |PA|+|PB|最大值为5 2015B 11、 （本题满分20 分）已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为)0,(cF，存在经 过点F的一条直线l交椭圆于BA,两点，使得OBOA，求该椭圆的离心率的取值范围 解析： 设椭圆的右焦点F 的坐标为（c, 0)显然l 不是水平直线，设直线l 的方程为 xkyc，点 A、 B 的坐标分别为 11 (,)xy， 22 (,)xy将直线l 的方程与椭圆方程联立， 消去x得 22222222 ()24()0b kaykb cybca 由韦达定理 2 12 222 2

25、224 12222222 24 , () . kb c yy b ka bcab y y b kab ka 12121212 ()()OA OBx xy ykyc kycy y 22 1212 (1)()ky ykc yyc 42 22 222222 24 (1)()() bkb c kkcc b kab ka 22224 222 k ba cb b ka 5 分 因为OBOA等价于0OA OB，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存 在实数k，使得 22224 222 0 k ba cb b ka , 224 2 22 (1) a cb k bc 显然存在k满足等价于 224 0a c

26、b15 分 又 222 bac，所以等价于 22222 ()0a cac，两边除以 4 a得到 22 2 22 (1)0 cc aa ,即 222 (1)0ee 由于1e，解得： 51 ,1) 2 e20 分 2014A 6、设椭圆的两个焦点 1 F、 2 F，过点 1 F的直线与交于点QP,，若| 2 PF| 21F F 且|4|3 11 QFPF，则椭圆的短轴与长轴的比值为 答案： 7 62 解析： 不妨设4| 1 PF，3| 1 QF。记椭圆的长轴，短轴的长度 分别为a2，b2，焦距为c2，则cFFPF2| 212 ，且由椭圆的定义知， 42|2 2121 cPFPFQFQFa 于是12

27、| 1212 cQFPFPFQF 设H为线段 1 PF的中点，则5| ,2| 1 QHHF，且有 12 PFHF。由勾股定理知， 2 1 2 21 2 2 22 2 |HFFFHFQHQF 即 2222 2)2(5) 12(cc，解得5c，进而62,7 ba， 因此椭圆的短轴与长轴的比值为 7 62 a b 2014A 9、 （本题满分16 分）平面直角坐标系xOy中，P是不在 x轴上的一个动点，满足条 件：过P可作抛物线xy4 2 的两条切线，两切点连线 P l与PO垂直 .设直线 P l与直线PO， x轴的交点分别为RQ,。 证明：R是一个定点； 求 QR PQ 的最小值。 解析：（1）设

28、P点的坐标为)0)(,(bba，易知0a。记两切点A，B的坐标分别为 ),( 11 yx，),( 22 yx，则PA，PB的方程分别为 )(2 11 xxyy )(2 22 xxyy 而点P的坐标),(ba同时满足，。故 A，B的坐标均满足方程 )(2axby),( 11 yx，),( 22 yx 故就是直线AB的方程。 直线PO与AB的斜率分别为 a b 与 b 2 ，由 ABPO 知，1 2 ba b ，故 2a 。 4 分 从而即为)2( 2 x b y，故AB与x轴的交点R是定点（ 2，0） 。 8 分 （2）因为2a，故直线PO的斜率 2 1 b k，直线PR的斜率 4 2 b k。

29、设OPR， 则为锐角，且22 |2 82 |2 8 | 42 ) 4 )( 2 (1 | 1 | tan 1 | | 22 21 21 b b b b bb bb kk kk QR PQ 当22b时， | | QR PQ 的最小值为22。16 分 2014B 6、 1 F、 2 F是椭圆 22 22 1 xy ab （0ba）的两个焦点，P为椭圆上的一点， 如果 21F PF的面积为1， 2 1 tan 21F PF，2tan 12F PF，则a 答案： 2 15 解 析 ： 不 妨 假 定)0,( 1 cF，)0 ,( 2 cF（0c） ，),( 00 yxP。 则 直 线 1 PF的 斜

30、率 为 2 1 tan 211 FPFk， 直线 2 PF的 斜率 为2tan 122 FPFk.因此，我们得到： cxy cx y 00 0 0 2 2 ，从这两个方程中我们解得cx 3 5 0 ，cy 3 4 0 。 又 2 021 3 4 2 1 1 21 cyFFS FPF ，解得 2 3 c，则) 3 32 , 6 35 (P。从而 152 2 0 2 0 2 0 2 021 ycxycxPFPFa，即 2 15 a 2014B 11、 （本题满分20 分）如下图，椭圆1 4 : 2 2 y x ，0,2A,1,0B是椭圆上 的两点，直线 1 l2: x， 2 l1: y， 00,

31、y xP（0 0 x，0 0 y）是上的一个动点， 3 l是过点P且与相切的直线，EDC,分别是直线 1 l与 2 l， 2 l与 3 l， 1 l与 3 l的交点 . 求证 :三条直线CPBEAD,共点。 解 析 ： 直 线 3 l的 方 程 是1 4 0 0 yy xx ， 进 而 可 得) 1,2(C, 1, )1(4 0 0 x y D， 0 0 2 2 , 2 y x E， 所以直线AD的方程为0 )22(2 )2( 00 0 y yx xx ； 直线BE的方程为0 22 ) 1(2 2 00 0 yx yyx ； 由过AD，BE交点的直线系方程为0 22 ) 1(2 2)22(2

32、)2( 00 0 00 0 yx yyx y yx xx ， 把)1,2(C代入可得1，此时直线系就变为 0 22 ) 1(2 2)22(2 )2( 00 0 00 0 yx yyx y yx xx ， 再令 0 xx，可以解得 0 yy，即该直线过点 00,y xP， 说明三条直线CPBEAD,共点。 另解：利用塞瓦定理得。 2 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 422 2 2 2 1 ) 1(4 2 2 2 yx xx y y x y y x y x PE DP BD CB AC EA ， 而 00, y xP在椭圆上，所以1 4 : 2 0 2 0 y x ，得)2)(2(4

33、00 2 0 xxy代入上式，即可征得 1 422 2 2 2 1 ) 1(4 2 2 2 2 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 yx xx y y x y y x y x PE DP BD CB AC EA 。 所以三条直线CPBEAD,共点。 2013A 2、在平面直角坐标系xOy中，点BA,在抛物线xy4 2 上，满足4OBOA，F 是抛物线的焦点，则OFA与OFB的面积之比为 答案： 2 解析： 由题意得0 ,1F，设 1 2 1 , 4 y y A， 2 2 2 , 4 y y B，代入4OBOA得8 21y y， 所以OFA与OFB的面积之比为2 4 1 21 2 yyO

34、F 2013A 10 、（ 本 题 满 分20分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 椭 圆 的 方 程 为 1 2 2 2 2 b y a x )0(ba， 21, A A分别为椭圆的左右顶点， 21, F F分别为椭圆的左右焦点，P 为 椭 圆 上 不 同 于 21, A A的 任 意 一 点 . 若 平 面 中 有 两 个 点RQ,满 足 11 PAQA, 22 PAQA, 11 PFRF, 22 PFRF，试确定线段QR的长度与b的大小关系， 并给出证明。 解析： 记 22 bac，则0,1aA，0,2aA，0,1cF，0,1cF。设00, yxP， 11, y xQ， 2

35、2, y xR，则1 2 2 0 2 2 0 b y a x ，0 0 y，由 11 PAQA， 22 PAQA得 0 0 020222 010111 yyaxaxPAQA yyaxaxPAQA ， 两式相减得 01 xx， 代回解得 0 22 0 1 y ax y， 于是 0 22 0 0, y ax xQ，同理根据 11 PFRF, 22 PFRF可得 0 22 0 0, y cx xR 因此 0 2 y b QR，由于by, 0 0 ，故bQR（其中等号成立的充分必要条件是by0 ， 即bP,0） 2013B 11、 （本题满分20 分）在平面直角坐标系xOy内，点F的坐标为1,0，点,

36、A B在抛 物线 2 4yx上，满足4OA OB，4 3FAFB，求FA FB的值。 解析： 设 11, y xA， 22, y xB,则 1 2 1 4xy， 2 2 2 4xy， 代入4OA OB得8 21y y， 4 21x x， 又F1, 0恰 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 所 以34 21 xxFBFA， 所 以 84 21 2 2121 xxxxxx，所以1111 2121 yyxxFBFA 2012A1、设P是函数 x xy 2 （0x）的图像上任意一点，过点P分别向直线xy和y 轴作垂线，垂足分别为BA,，则PBPA的值是 答案：1 解析： 设 00 0 2 (,),p xx

37、 x 则直线PA的方程为 00 0 2 ()(),yxxx x 即 0 0 2 2.yxx x 由 00 0 00 0 11 (,).2 2 yx A xx yxx xx x 又 0 0 2 (0,),Bx x 所以 0 00 11 (,),(,0).PAPBx xx 故 0 0 1 ()1.PA PBx x 2012A 4 、在平面直角坐标系xOy中，抛物线xy4 2 的焦点为F，准线为l，BA,是抛物 线上的两个动点，且满足 3 AFB，设线段AB的中点M在准线l上的投影为N，则 | | AB MN 的最大值 为 答案：1 解析： 由抛物线的定义及梯形的中位线定理得. 2 AFBF MN

38、在AFB中, 由余弦定理得 222 2cos 3 ABAFBFAFBF 2 ()3AFBFAFBF 22 ()3() 2 AFBF AFBF 2 2 (). 2 AFBF MN 当且仅当AFBF时等号成立 . 故 MN AB 的最大值为 1. 2012A 11、 （本题满分20 分）如图所示， 在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4， 且6|ODOB. 求证：|OCOA为定值； 当点 A在半圆 4)2( 22 yx（42x）上运动时，求 点C的轨迹。 解 析 ： 因 为,OBODABADBCCD所 以 ,O A C山的共线。 如图 , 连结BD, 则BD垂直平分线段AC, 设垂足为K

39、, 于是有 ()()OAOCOKAKOKAK 22 OKAK 2222 ()()OBBKABBK 22 22 6420OBAB( 定值 ) (2) 设( , ),(22cos,2sin),C x yA其中(), 22 XMA则 2 XOC. 因为 2 222 (22cos)(2sin)8(1cos)16cos, 2 OA所以4cos 2 OA由(1) 的结论得cos5, 2 OC所以cos5. 2 xOC从而sin5tan 5,5. 22 yOC 故点C的轨迹是一条线段, 其两个端点的坐标分别为(5,5),(5, 5)AB 2012B3、如图，设椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ 0b

40、a ）的左右焦点分别为 21,F F，过点 2 F的直线交椭圆于),( 11 yxA，),( 22 yxB两点。 若BAF1 内切圆的面积为，且4 21 yy，则椭圆的离心率为 答案： 2 1 解析： 由性质可知BAF1 的周长为a4，内切圆半径为1，则 21 2 2 1 14 2 1 1 yycaS BAF ，可得 ca2 ，即 2 1 a c e 2012B 11、 （本题满分20 分）已知抛物线pxy2 2 （0p） ，BA,是抛物线上不同于顶点 O的两个动点，记AOB， （ 0 90） 。若tanmS AOB ，试求当m取得最小值时 tan的最大值。 解析： 由tanmS AOB ，所

41、以 cos sin sin 2 1 mOBOA，即mOBOA2。 记 1 2 1 2 ,2ptptA， 2 2 2 2,2ptptA，0, 1 21t t， 则 21 2 2 2 1 2 21 22 2 2 1 2 244 2 1 ttttpttpttpm，令ttt 21 ，则0, 1t， ttpm 22 2，当 2 1 t时，m取得最小值 2 2 p 。 此时 222 111 1 tan 1 121 t tttkk kk OBOA OBOA ，当且仅当 1 1 2 1 t t ， 2 1 t， 即 21 2 2 tt时，等号成立，所以tan的最大值为22。 2011A 7、直线012yx与抛

42、物线xy4 2 交于BA,两点，C为抛物线上的一点， 0 90ACB，则点C的坐标为 答案：)2,1 (或)6,9( 解 析： 设)2 ,(),(),( 2 2211 ttCyxByxA，由 ,4 ,012 2 xy yx 得048 2 yy，则 8 21 yy，4 21 yy又12,12 2211 yxyx，所以 182)(2 2121 yyxx， 11)(24 212121 yyyyxx因为90ACB，所以0CBCA， 即有0)2)(2()( 212 2 1 2 ytytxtxt， 即0)(24)( 2121 2 21 2 21 4 yytyytxxtxxt， 即031614 24 ttt

43、， 即0) 14)(34( 22 tttt显然014 2 tt，否则0122 2 tt，则点C在直 线012yx上 ， 从 而 点 C 与 点 A 或 点 B 重 合 所 以034 2 tt， 解 得 3, 1 21 tt 故所求点 C 的坐标为)2, 1(或)6,9( 2011A 11、 （本题满分20 分）作斜率为 3 1 的直线l与椭圆:C1 436 22 yx 交于BA,两点（如 图所示），且点)2,23(P在直线l上方。 证明： PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； 若 0 60APB，求PAB的面积。 解析：（1）设直线l：mxy 3 1 ，),(),( 2211 yxByxA 将

44、mxy 3 1 代入1 436 22 y x 中，化简整理得036962 22 mmxx 于是有 2 369 ,3 2 2121 m xxmxx， 23 2 , 23 2 2 2 1 1 x y k x y k PBPA 则 2323 232232 23 2 23 2 21 1221 2 2 1 1 xx xyxy x y x y kk PBPA ， 上式中， 分子)23)(2 3 1 ()23)(2 3 1 ( 1221 xmxxmx )2(26)(22( 3 2 2121 mxxmxx )2(26)3)(22( 2 369 3 2 2 mmm m 01226263123 22 mmmm，

45、从而，0 PBPA kk 又P在直线l的左上方，因此，APB的角平分线是平行于 y轴的直线，所以PAB的 内切圆的圆心在直线23x上 （2）若 60APB 时，结合（ 1）的结论可知3,3 PBPA kk 直线PA的方程为：)23(32xy，代入1 436 22 yx 中，消去y得 0)3313(18)331(6914 2 xx 它 的 两 根 分 别 是 1 x和23， 所 以 14 )3313(18 23 1 x，即 14 )3313(23 1 x 所以 7 )133(23 |23|)3(1| 1 2 xPA 同理可求得 7 )133(23 | PB 所以 49 3117 2 3 7 13

46、323 7 13323 2 1 60sin 2 10 PBPAS PAB 2011B 8、抛物线 2 2 ()(0) 2 p yp xp上动点A到点(3,0)B的距离的最小值记为()d p， 满足()2d p的所有实数 p的和为 答案：13 解析： 设yxA,，则 22 2 2 2 2 932 2 233pxpx p xpxyxAB pppx623 22 ， （ 2 p x） 当 2 3 p p， 即20p时，当px3时， 2 AB取得最小值，pppd62)( 2 2 ， 又2)(pd，即462 2 pp解得1p或2； 当 2 3 p p，即2p时，当 2 p x时， 2 AB取得最小值，4

47、4 6 )( 2 2p pd，解 得10p 综上，满足条件的实数p的和为131021 2011B 11、（本题满分20 分）已知 111222333 (,),(,),(,)A x yAxyA xy是抛物线 2 2(0)ypx p 上不同的三点， 123 A A A有两边所在的直线与抛物线 2 2(0)xqy q相切， 证明： 对不同的 ,1,2,3i j，()ijijy yyy为定值 . 证明： 依题意有 ii pxy2 2 ，3 ,2, 1i， 321 ,yyy互不相等。 不妨设 21A A, 32A A所在的直线与抛物线 2 2(0)xqy q相切，因为qyx2 2 的过原点O 的切线与抛

48、物线 2 2(0)ypx p只有一个公共点，所以原点O不能是所设内接三角形 的顶点，即0, 0, ii yx（3,2, 1i） 。 由于设 21A A所在的直线与抛物线 2 2(0)xqy q相切，所以 21A A不平行y轴，即 21 xx， 21 yy。 直线 21A A的方程为 21 21 21 2 yy yy x yy p y，联立qyx2 2 得 0 24 21 21 21 2 yy yqy x yy pq x 由 0化简得qpyyyy 2 2121 2 由于 32A A所在的直线与抛物线 2 2(0)xqy q相切，同理可得qpyyyy 2 3232 2 减去式，及0 ,0, iiyx，21yy得0321yyy，即0312yyy代入 得 qpyyyy 2 3131 2 综上，对不同的,1,2,3i j，() ijij y yyy为定值qp 2 2. 2010A B3 、 双曲线1 22 yx的右半支与直线100x围成的区域内部 （不含边界） 整点（纵 横坐标均为整数的点）的个数是 答案：9800 解析： 由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设)99,2, 1(kky与双曲线右半 支于 k A, 交直线100x于 k B，则线段 kkB A内部的整点的个数为99k，从而