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1、全等三角形证明经典62 题(含答案 ) 1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求AD 解：延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点 BD=DC 在 ACD 和 BDE 中 AD=DE BDE= ADC BD=DC ACD BDE AC=BE=2 在 ABE 中 AB-BE AEAB+BE AB=4 即 4-22AD 4+2 1AD 3 AD=2 2.已知： D 是 AB 中点， ACB=90 ，求证： 1 2 CDAB 延长 CD 与 P，使 D 为 CP 中点。连接AP,BP DP=DC,DA=DB ACBP 为平行四边形 又 ACB=90
2、平行四边形ACBP 为矩形 AB=CP=1/2AB A D B C D A B C 3.已知： BC=DE ， B=E， C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2 证明：连接BF 和 EF BC=ED,CF=DF, BCF=EDF 三角形 BCF 全等于三角形EDF(边角边 ) BF=EF,CBF= DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF EBF= BEF。 ABC= AED 。 ABE= AEB 。 AB=AE 。 在三角形 ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF=AEB+ BEF=AEF 三角形 ABF 和三角形AEF 全等。 BAF
3、= EAF ( 1=2)。 4.已知： 1=2，CD=DE ，EF/AB ，求证： EF=AC 过 C 作 CGEF交 AD 的延长线于点G CGEF，可得， EFDCGD DEDC FDE GDC（对顶角） EFD CGD EFCG A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E CGD EFD 又， EFAB ， EFD 1 1= 2 CGD 2 AGC 为等腰三角形， ACCG 又 EFCG EFAC 5.已知： AD 平分 BAC ， AC=AB+BD ，求证： B=2 C 证明：延长AB 取点 E，使 AEAC，连接 DE AD 平分 BAC EAD CAD AEAC
4、 ，AD AD AED ACD （SAS） E C AC AB+BD AEAB+BD AEAB+BE BD BE BDE E ABC E+BDE ABC 2E ABC 2C 6.已知： AC 平分 BAD ， CEAB ， B+ D=180，求证： AE=AD+BE A 证明： 在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF CEAB CEB CEF90 EBEF， CECE， CEB CEF B CFE B D 180， CFE CFA180 D CFA AC 平分 BAD DAC FAC AC AC ADC AFC （SAS） AD AF AEAFFEAD BE 7.已知： AB=4 ，AC
5、=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求AD 解：延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点 BD=DC 在 ACD 和 BDE 中 AD=DE BDE= ADC BD=DC ACD BDE AC=BE=2 A D B C 在 ABE 中 AB-BE AEAB+BE AB=4 即 4-2 2AD4+2 1AD 3 AD=2 8.已知： D 是 AB 中点， ACB=90 ，求证： 1 2 CDAB 解：延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点 BD=DC 在 ACD 和 BDE 中 AD=DE BDE= ADC BD=DC ACD BDE AC=BE=2 在
6、ABE 中 AB-BE AEAB+BE AB=4 即4-2 2AD 4+2 1AD 3 AD=2 9.已知： BC=DE ， B=E， C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2 D A B C 证明：连接BF 和 EF。 BC=ED,CF=DF, BCF=EDF。 三角形 BCF 全等于三角形EDF(边角边 )。 BF=EF,CBF= DEF。 连接 BE。 在三角形 BEF 中,BF=EF。 EBF= BEF。 又ABC= AED 。 ABE= AEB 。 AB=AE 。 在三角形 ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF=AEB+ BEF=AEF
7、。 三角形 ABF 和三角形AEF 全等。 BAF= EAF ( 1=2)。 10. 已知： 1=2，CD=DE ，EF/AB ，求证： EF=AC 过 C 作 CGEF交 AD 的延长线于点G CGEF，可得， EFDCGD DEDC FDE GDC（对顶角） EFD CGD EFCG A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E CGD EFD 又 EFAB EFD 1 1= 2 CGD 2 AGC 为等腰三角形， ACCG 又 EFCG EFAC 11. 已知： AD 平分 BAC ， AC=AB+BD ，求证： B=2 C 证明：延长AB 取点 E，使 AEAC，连接
8、 DE AD 平分 BAC EAD CAD AEAC ，AD AD AED ACD （SAS） E C AC AB+BD AEAB+BD AEAB+BE BD BE BDE E ABC E+BDE ABC 2E ABC 2C 12. 已知： AC 平分 BAD ， CEAB ， B+ D=180，求证： AE=AD+BE C D B A 在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF CEAB CEB CEF90 EBEF， CECE， CEB CEF B CFE B D 180， CFE CFA180 D CFA AC 平分 BAD DAC FAC 又 ACAC ADC AFC （SAS） A
9、D AF AEAFFEAD BE 12. 如图，四边形ABCD 中， AB DC，BE、CE 分别平分 ABC 、 BCD ，且点 E 在 AD 上。求证： BC=AB+DC 。 在 BC 上截取 BF=AB ，连接 EF BE 平分 ABC ABE= FBE 又 BE=BE ABE FBE（SAS） A=BFE AB/CD A+D=180o BFE+ CFE=180o D=CFE 又 DCE=FCE CE 平分 BCD CE=CE DCE FCE（AAS ） CD=CF BC=BF+CF=AB+CD 13.已知： AB/ED ， EAB= BDE ，AF=CD ， EF=BC，求证： F=C
10、 ABED，得： EAB+ AED= BDE+ ABD=180 度， EAB= BDE ， AED= ABD ， 四边形 ABDE 是平行四边形。 得： AE=BD ， AF=CD,EF=BC ， 三角形 AEF 全等于三角形DBC， F=C。 14. 已知： AB=CD ， A=D，求证： B=C 证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E， （当 ADBC 时， E 点是射线AB,DC 的交点）。则： AED 是等腰三角形。 AE=DE 而 AB=CD BE=CE ( 等量加等量，或等量减等量） BEC 是等腰三角形 B=C. 15. P是 BAC 平分线 AD 上一点， ACAB ，求证：
11、 PC-PBDE 。当 AEB 越小，则DE 越小。 证明： 过 D 作 AE 平行线与AC 交于 F，连接 FB 由已知条件知AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形，且 DFB 为等腰三角形。 RTBAE 中， AEB 为锐角，即 AEB45 RTAFB 中， FBA=90 -DBF 45 ABAF AB=CE AF=DE CEDE 49、 (10 分)如图，已知ABDC，AC DB，BECE，求证： AEDE. AB=DC,AC=DB，BC=BC ABC DCB ， A C E D B A B E C D ABC= DCB 又 BE=CE，AB=DC ABE DCE AE=DE 50如图
12、 9 所示， ABC 是等腰直角三角形，ACB 90，AD 是 BC 边上的中线，过C 作 AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADC BDE 作 CGAB,交 AD 于 H, 则 ACH=45 o ,BCH=45 o CAH=90 o -CDA, BCE=90 o -CDA CAH= BCE 又 AC=CB, ACH= B=45 o ACH CBE, CH=BE 又 DCH= B=45 o , CD=DB CFD BED ADC= BDE 51.已知： AB=10 ，AC=2 ，D 是 BC 中点， AD 是整数，求AD 证明 : 延长 AD 到 E,使 DE=AD,
13、 则三角形 ADC 全等于三角形EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2 4AD6 又 AD 是整数 ,则 AD=5 52.如图，在 ABC 中，AB=AC ，M 为 BC 的中点，点 D、 E 分别在 AB 、 AC 上，且 AD=AE 求证：MD=ME A D B C A B C D E F 图 9 证明： （法一） AB=AC ， B=C M 为 BC 的中点， BM=CM AB=AC ，AD=AE ， BD=CE 在DBM 和 ECM 中， BD=CE ， B=C，BM=CM DBM ECM MD=ME （法二） 连接 AM
14、， （1 分） AB=AC ，M 为 BC 的中点， AM 平分 BAC ， BAM= CAM 在ADM 和 AEM 中， AD=AE ， DAM=EAM ，AM=AM ， ADM AEM MD=ME 53在 ABC 中， ACB=90，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D，BEMN 于 E （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证：ADC CEB ； DE=AD+BE ； （2）当直线MN 绕点 C 旋转到图2 的位置时，求证：DE=AD-BE ； （3）当直线MN 绕点 C 旋转到图3 的位置时，试问DE 、AD、BE 具有怎样的等量关系？ 请写出这
15、个等量关系，并加以证明 （1）证明： ACB=90 ， ACD+ BCE=90 ， 而 AD MN 于 D，BEMN 于 E， ADC= CEB=90 ， BCE+ CBE=90 ， ACD= CBE 在 Rt ADC 和 Rt CEB 中， ADC= CEBACD= CBEAC=CB ， Rt ADC Rt CEB （AAS ） ， AD=CE ，DC=BE ， DE=DC+CE=BE+AD； （2）证明：在 ADC 和 CEB 中， ADC= CEB=90 ACD= CBEAC=CB ， ADC CEB （AAS ） ， AD=CE ，DC=BE ， DE=CE-CD=AD-BE； （3）
16、DE=BE-AD 证明的方法与（2）相同 54如图所示，已知AE AB ，AFAC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ； （2）EC BF 证明： (1)AE AB，AFAC ?EAB=90 =FAC? EAB+ BAC= FAC+ BAC 又 EAC= EAB+ BAC， BAF= FAC+BAC EAC= BAF 在EAC 与BAF 中， AE=AB EAC= BAFAF=AC ? EAC BAF EC=BF (2) AE AB EAB=90 AEB+ ABE=90 AEC+ CEB+ ABE=90 CEB+ ABE+ =90 （由全等可知 AEC= ABF ） EMF
17、=90 ECBF 55如图： BE AC，CFAB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ； （2）AMAN。 证明： （1） BE AC，CFAB A E B M C F ABM+ BAC=90 ， ACN+ BAC=90 ABM= ACN BM=AC ，CN=AB ABM NAC AM=AN （2） ABM NAC BAM= N N+BAN=90 BAM+ BAN=90 即 MAN=90 AMAN 56已知：如图ACBD，AE 和 BE 分别平分 CAB 和 DBA ，CD 过点 E 求证： （1）AEBE； （2）AB=AC+BD 证明： （1） AC BD， CAB+
18、DBA=180 （1 分） 又 AE 和 BE 分别平分 CAB 和 DBA ， EAB=12 CAB ， EBA=12 DBA ， EAB+ EBA=12( CAB+ DBA)=90 ， AE BE （4 分） （2）在 AB 上截取 AF=AC ，连接 EF， 在CAE 和FAE 中AC=AF CAE= FAEAE=AE ， CAE FAE ， 则 CEA= FEA ， （8 分） 又 CEA+ BED= FEA+ FEB=90 ， FEB= DEB ， 在DEB 和FEB 中DEB= FEBEB=EB DBE= FBE ， DEB FEB （ASA ） ， （10 分） BD=BF ，
19、AB=AF+FB=AC+BD （12 分） F BC A M N E 1 2 3 4 57、如图 ,已知 : AD 是 BC 上的中线,且 DF=DE 求证 :BECF 证明： AD 是 BC 上的中线， BD=DC 又 DF=DE （已知）， BDE= CDF （对顶角相等） ， BED CFD （SAS ） E=CFD （全等三角形的对应角相等） CF BE（内错角相等，两直线平行） 58、已知：如图，ABCD，DEAC，BF AC，E，F 是垂足，DEBF 求证： ABCD 证明： （1） DE AC，BFAC， 在 RtDCE 和 Rt BAF 中， AB=CD ，DE=BF ， Rt
20、 DCE Rt BAF （HL） ， AF=CE ； （2）由（ 1）中 Rt DCE Rt BAF ， 可得 C= A， AB CD 59、如图，已知 1=2， 3=4，求证： AB=CD 设对角线交点为O 3=4 BO=CO 在ABO 与DCO 中 1=2（已知） BO=CO （已证） AOB= DOC （对顶角） ABO 全等于 DCO 所以 AB=CD 60、如图，已知ACAB ，DB AB，ACBE，AE BD，试猜想线段CE 与 DE 的大小与位置关系，并 证明你的结论 . 解： CE=DE ，CEDE，理由如下： AC AB，DBAB ， AC=BE ，AE=BD ， CAE E
21、BD CEA= D D+DEB=90 ，A C E D B A D E C B F . 3 4 2 1 D C B A CEA+ DEB=90 即线段 CE 与 DE 的大小与位置关系为相等且垂直 61、如图，已知ABDC，ACDB，BECE ，求证： AE DE. 证明： AB=DC ，AC=DB ，BC=BC ， ABC DCB （SSS ） ABC= DCB AB=DC ，BE=CE ， ABE DCE（SAS ） AE=DE 62如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB 90，AD 是 BC 边上的中线， 过 C 作 AD 的垂线， 交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证
22、： ADC BDE 解：作 CH AB 于 H 交 AD 于 P， 在 RtABC 中 AC=CB ，ACB=90 ， CAB= CBA=45 HCB=90 -CBA=45 =CBA 又中点 D， CD=BD 又 CHAB， CH=AH=BH 又 PAH+ APH=90 ， PCF+ CPF=90 ， APH= CPF ， PAH= PCF 在APH 与 CEH 中 PAH= ECH ，AH=CH ， PHA= EHC ， APH CEH （ASA ） PH=EH ， 又 PC=CH-PH ，BE=BH-HE ， CP=EB 在PDC 与EDB 中 PC=EB ，PCD= EBD ，DC=DB ， PDC EDB （SAS ） ADC= BDE A B E C D A B C D E F 图 9