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1、1 2-1、2-3 映射 基 础 巩 固 一、选择题 1下列从集合A到集合B的对应中为映射的是( ) AABN，对应法则f：xy|x2| BAR，B 0,1 ，对应法则f：xy 1 x0 0 x0 CABR，对应法则f：xyx DAZ，B Q ，对应法则f：xy1 x 答案 B 解析 A中元素 2 无象，排除A；C中一个x对应两个y，与映射定义不符，排除C； D中元素 0 无像，排除D，故只有B正确 2设f：AB是从集合A到集合B的映射，则下面的命题为真命题的是( ) AA中的每一个元素在B中必有像 BB中的每一个元素在A中必有原像 CB中的每一个元素在A中的原像唯一 DA中的不同元素的像必定
2、不同 答案 A 解析 由映射的定义可知，集合A中的每一个元素在B中必有像，故选A. 3已知 (x，y)在映射下的像是(xy，xy) ，则像 (1,2) 在f下的原像为 ( ) A( 5 2， 3 2) B( 3 2， 1 2) C( 3 2， 1 2) D( 3 2， 1 2) 答案 D 解析 根据题意得 xy1 xy2 ， x3 2 y 1 2 . 4设Ax|0 x2，By|1 y2，下列能表示从集合A到集合B的映射的是 ( ) 2 答案 D 解析 对于 A ，当x 0，y0?y|1 y2，不是从A到B的映射；对于B，当x2 时y0?y|1 y2，也不是从A到B的映射；对于C，当x0 时，y
3、1 且y 2，即集合 A中的一个元素0 与集合B中的两个元素1 和 2 相对应，所以也不是从A到B的映射；对于 D，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，所以是从A到B的映射 5(2012广州高一检测) 下列说法正确的有( ) 函数是从定义域到值域的映射；f(x) x21x是函数；函数y2x(x Z)的图像是一条直线 A0 个B1 个 C2 个D3 个 答案 B 解析 根据定义可知此命题是正确的； 要使f(x) 有意义，必须满足 x20， 1x0， 即 x2， x1， 故x?，定义中明确指出，函数建立在两个非空数集上，故此命题是错误的； 因为函数y2x的定义域是Z，故y2x(
4、xZ) 的图像是一些孤立的点，所以此命题 是错误的故应选B. 6下列各组中，集合P与M不能建立映射的是( ) AP0 ，M? BP1,2,3,4,5，M2,4,6,8 CP 有理数 ，M 数轴上的点 3 DP 平面上的点 ，M有序实数对 答案 A 解析 选项 A中，M?，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立 映射 二、填空题 7已知集合Aa，b，Bm，n ，则由A到B的一一映射的个数为_ 答案 2 解析 由题意可知如图： 共有 2 个一一映射 8a，b为实数，集合M b a，1 ， Na,0 ，f：xx表示把集合M中的元素x映射 到集合N中仍为x，则ab的值等于 _ 答案 1
5、解析 因为f：xx，MN， b a0， a1，故ab1. 三、解答题 9已知映射f：AB(x，y)|x R，yR， f：(x，y) (x2y 2,4xy) (1) 求A中元素 (5,5) 的像； (2) 求B中元素 (5,5) 的原像； (3)A中是否存在这样的元素(a，b) ，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若 不存在，请说明理由 解析 (1) x5，y5， (x2y2,4xy) (17,25) A中元素 (5,5) 的像是 (17,25) (2) 设元素 (5,5) 的原像是 (m，n) ，得 m2n25， 4mn5， m1， n1， 4 (5,5) 的原像是 (1,1) (3)
6、假设A中存在这样的元素(a，b) ，则由题意得 a2b2a， 4abb， a0， b 1， A中存在元素 (a，b) 使它的像仍是它自己，这个元素为(0 ， 1). 能 力 提 升 一、选择题 1 已知Ax|0 x4，By|0 y2， 下列对应不表示从A到B的映射的是 ( ) Af：xy 1 2x Bf：xy 1 3x Cf：xy 3 2x Df：xyx 答案 C 解析 对于 A，当 0x4 时，0 1 2x2， f：xy1 2x 能构成A到B的映射；对于 B,0 1 3x 4 3，也能构成集合 A到集合B的映射；对于C,0 3 2x6，而 0,6 0,2，所以 不能构成从A到B的映射；对于选
7、项D,0x2，能构成从A到B的映射 2(2012东营高一检测) 已知集合Ma，b，c ，N 1,0,1，若f是MN的映 射，且f(a) 0，则这样的映射共有( ) A4 个B6 个 C9 个D27 个 分析 通过本题考查映射的概念同时又加深了像与原像的关系理解，是一道“源于 课本，高于课本”的好题 答案 C 解析 f(a) 0. 本题就转化为Mb，c到N1,0,1的映射个数问题 当f(b) 1 时f(c) 可以等于 1,0,1三种情况 同理当f(b) 0 或 1 时，f(c) 也各有三种情况 共构成 9 个映射，故选C. 二、填空题 3下列对应是集合A到集合B的一一映射的是_( 填正确序号 )
8、 (1)AN，B 1,1 ，xA，yB，f：xy( 1) x； (2)Ax|0 x3，By|0 y1，f：xy 1 3x； (3)Ax|0 x1，By|y1，f：xy 1 x； (4)A 三角形 ，B R，f：三角形与它面积的对应 5 答案 (2) 解析 (1)(2)(4)为映射， (3) 不是映射 ( 因为 (3) 中集合A中的元素0 没有像 )，只有 (2) 是一一映射 4已知映射f：AB，其中集合A3，2， 1,1 ，2,3,4 ，集合B中的元素都是 A中元素在映射f下AB的像，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a| ，则集合B 中的元素个数是_ 答案 4 解析 | 3| 3，|
9、2| 2，| 1| 1， 3,3 3，2,2 2，1,1 1,4 4，B中元素有4 个 三、解答题 5下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？ (1)ABN，f：x|x3| ； (2)Ax|x是三角形 ，B x|x是圆 ，f：三角形的内切圆； (3)AR，B 1 ，f：xy 1； (4)A 1,1 ，B 1,1 ，f：xy 1 x. 解析 (1) 当xN时，则 |x3| N，即A中的元素在B中都有像，所以(1) 是映射， 也是函数 (2) 由于A，B不是数集， 所以 (2) 不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2) 是A到B的映射 (3)A中的每一个数都与B中的数 1 对
10、应，因此， (3) 是A到B的函数，它是A到B的映 射 (4) 取x 0，y 1 0没有意义，即 A中元素 0 在B中没有像，所以(4) 不是函数，也不是 映射 规律技巧总结：(1) 函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射 (2) 有的同学问：关系式y 1 是y关于x的函数，那么关系式x 1 是y关于x的函数 吗？对于关系式x1，显然有x1 ，yR，则 1 与全体实数建立对应关系，不符合函数 的定义，因此，“x1”不是y关于x的函数 6从集合A到B的映射是f：xy x 2x1，从集合 B到C的映射是f：yzy 2 4y，则A中元素 1 在C中的像是什么？C中的元素0 对应A中的原像是什么
11、？ 解析 A中元素 1在B中对应的元素为 1 21 1 1 3， B中元素 1 3在 C中对应的元素是( 1 3) 2 6 4 1 3 11 9 ，故A中元素 1 在C中的像是 11 9 . C中的元素0 在B中的原像是0 或 4. B中的元素0 在A中的原像是0；B中的元素4 在A中的原像是 4 7，所以 C中的元素0 在A中的原像是0 或 4 7. 7设集合AB(x，y)|xR，yR ，f是A到B的一个映射， 并满足f：(x，y) ( xy，xy) (1) 求B中元素 (3， 4)在A中的原像； (2) 试探索B中元素满足什么条件时在A中存在原像？ 解析 (1) 由题意知 xy3， xy 4， 解得 x 1， y3， 或 x 3， y1. 所以B中元素 (3， 4) 在A中的原像为 ( 1,3) 和( 3,1) (2) 设任意 (a，b) B，则它在A中的原像 (x，y) 应满足 xya xyb ，由得y xb代入式并化简，得x 2 bxa0 当且仅当 b 24a0 时， 方程有实根， 所以，只有当 B中元素 (a，b) 满足b 24a0 时，在A中才有原像