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1、1 专题七概率与统计、 推理与证明、 算法初步、 框图、 复数 第二讲概率、随机变量及其分布列 1若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) 2若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则P(AB)1，即 P(A) 1P(B) 2 一般地，设 A，B 为两个事件， 且 P(A)0，称 P(B|A)P（AB） P（A） 为在事件 A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率特别地，对于 古典概型，由于组成事件A 的各个基本事件发生的概率相等，因此 其条件概率也可表示为：P(B|A)n（AB） n（A） . 1事件 A与事件 B相互独立 设 A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B
2、) ，则称事件 A 与事 件 B 相互独立，如果事件A 与 B相互独立，那么A 与 B，A 与 B，A 与 B也都相互独立 2独立重复试验 在 n 次独立重复试验中， 事件 A恰好发生 k 次的概率为 P(Xk) C k np k(1 p)n k，k0，1，2，, ， n. 3 4 5 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量() (2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典 概型，其基本事件是“发芽与不发芽”() (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反 面”，这三个结果是等可能事件() (4)某人射击时
3、命中的概率为0.5， 此人射击三次命中的次数X 服 从两点分布 () (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和 可以小于 1.() 1(2014 新课标 卷)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一 天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D) A.1 8 B.3 8 C.5 8 D.7 8 解析：由已知， 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加 公益活动共有2416 种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公 益活动有两类不同的情况：一天一人，另一天三人，有C1 4A 2 28 6 种不同的结果； 周六、周日各 2 人，有 C2 46 种不同的结果，故周
4、 六、周日都有同学参加公益活动有8614 种不同的结果，所以周 六、周日都有同学参加公益活动的概率为 14 16 7 8.故选 D. 2甲、乙、丙、丁4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取 胜的概率相等，现任意将这 4 个队分成两个组 (每组两个队 )进行比赛， 胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为(D) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D. 1 2 解析： 所有可能的比赛分组情况共有4 C2 4C 2 2 2！ 12 种，甲、乙 相遇的分组情况恰好有6 种故选 D. 3(2015 广东卷 )已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品， 现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率
5、为(B) A0.4 B0.6 C0.8 D1 解析： 记 3 件合格品为 a1，a2，a3，2 件次品为 b1，b2，则任取 2 件构成的基本事件空间为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1， b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共 10 个元素 记“恰有 1 件次品 ”为事件 A，则 A(a1，b1)，(a1，b2)，(a2， b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共 6 个元素 故其概率为 P(A) 6 100.6. 4(2015 新课标 卷)投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次 才能
6、通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮 7 是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A) A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 解析：3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C2 30.6 2(10.6)， 投中 3 次的概率为 P(k3)0.6 3，所以通过测试的概率为 P(k2) P(k3)C2 30.6 2(10.6)0.630.648.故选 A. 5已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示： X 1 0 1 2 P a b c 1 12 若 E(X)0，D(X)1，则 a 5 12，b 1 4 解析： 由题知abc 11 12，ac 1 6 0，
7、12a12c22 1 121，解得 a 5 12，b 1 4. 一、选择题 1若 xA，且 1 xA，则称 A 是“伙伴关系集合”，在集合 M 1，0， 1 3 ， 1 2，1，2，3，4 的所有非空子集中任选一集合， 则该 集合是“伙伴关系集合”的概率为(A) A. 1 17 B. 1 51 C. 7 255 D. 4 255 8 2电子钟一天显示的时间是从00：00 到 23：59，每一时刻都 由 4 个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23 的概 率为(C) A. 1 180 B. 1 288 C. 1 360 D. 1 480 解析：四个数字之和为23 的情况有： 09：5
8、9，18：59，19：58， 19： 49 四种， 基本事件总数为60241 440， 故所求概率为 P 4 1 440 1 360 . 3(2014 陕西卷 )设样本数据x1，x2，, ，x10的均值和方差分 别为 1 和 4，若 yixia(a 为非零常数， i1，2，, ， 10)，则 y1， y2，, ，y10的均值和方差分别为 (A) A1a，4 B1a，4a C1，4 D1，4a 解析：由题得：x1x2,x1010110；(x11)2(x21)2 , (x101)210440. y1，y2，,y10的均值和方差分别为： 均值 y 1 10(y1y2, y10) 1 10(x1a)(
9、x2a), (x10a) 1 10(x1x2, x10)10a 1010a 10 1a. 方差 1 10(y1 y ) 2(y 2 y ) 2, (y10 y )2 1 10(x 1a)(1 9 a)2(x2a)(1a)2, (x10a)(1a) 1 10(x11) 2(x 2 1)2,(x101)2 40 104.故选 A. 4高二某班共有 60 名学生，其中女生有20 名，三好学生占 1 6， 而且三好学生中女生占一半 现在从该班同学中任选一名参加某一座 谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 (C) A.1 6 B. 1 12 C.1 8 D. 1 10 解析： 设
10、事件 A 表示“任选一名同学是男生 ”， 事件 B 表示 “任 选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A) 依题意得 P(A)40 60 2 3，P(AB) 5 60 1 12. 故 P(B|A)P（AB） P（A） 1 12 2 3 1 8. 5(2015 福建卷改编 )如图，点 A 的坐标为 (1，0)，点 C 的坐标 为(2，4)，函数 f(x)x 2，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取 自阴影部分的概率等于(A) 10 A.5 7 B.7 9 C. 5 12 D. 7 13 解析： 由题意知，阴影部分的面积 S 1 2(4x2)dx(4x1 3x 3)|2 15 3， 所
11、求概率 P S S矩形ABCD 5 3 14 5 12. 6有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组， 每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣 小组的概率为 (A) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D. 3 4 二、填空题 7位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动 一个单位长度， 移动的方向为向上或向右， 并且向上、向右移动的概 率都是 1 2，质点 P 移动 5 次后位于点 (2，3)的概率是 5 16 解析： 点 P 移动 5 次后到达点 (2，3)可看作是 5 次移动中选择 2 次右移、3 次上移，故有 C2 5种不同的移动方法，
12、而所有的移动方法有 2 5 种，故所求的概率为PC 2 5 2 5 5 16. 8(2015 江苏卷 )袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中 1 只 白球， 1 只红球， 2 只黄球从中一次随机摸出2 只球，则这 2 只球 颜色不同的概率为 5 6 解析：由古典概型概率公式， 得所求事件的概率为PC 2 4C 2 2 C2 4 5 6. 11 三、解答题 9(2014 全国大纲卷 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用 某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相 互独立 (1)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，
13、求X 的数学期望 分析：(1)首先用字母表示有关的事件，Ai表示事件：同一工作 日乙、丙恰有 i 人需使用设备， i0，1，2；B 表示事件：甲需使用 设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3 人需使用设备 将 D 分解为互斥事件的和； DA1BCA2BC A2B CA 2B C， 再利用互斥事件的概率加法公式计算 P(D)； (2)X 的可能取值为 0，1，2，3，4，先用分解策略分别求P(X i)(i0，1，2，3，4)，最后利用离散型随机变量数学期望公式求E(X) 的值 解析： 记 Ai表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备， i0，1，2；B 表示事件：
14、甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设 备；D 表示事件：同一工作日至少3 人需使用设备 (1)DA1BCA2BC A2B CA2BC，又 P(B) 0.6，P(C)0.4，P(Ai)Ci20.52，i0，1，2， P(D)P(A1BCA2B C A 2B CA2BC) P(A1 B C)P(A2 B C )P(A 2 B C)P(A 2 B C)P(A1)P(B)P(C) P(A2)P(B)P(C )P(A 2)P( B )P(C)P(A2)P(B) P(C)0.31. (2)X 的可能取值为 0，1，2，3，4. P(X0)P(B A 0 C )P(B )P(A0)P(C )(10.6)0
15、.5 2(1 12 0.4)0.06， P(X1)P(B A0C BA 0 C B A 1C )P(B)P(A0)P(C ) P( B )P(A0)P(C) P( B )P(A1)P( C )0.6 0.5 2 (10.4)(1 0.6)0.5 20.4(10.6)20.52(10.4)0.25， P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.5 20.60.40.06， P(X3)P(D)P(X4)0.25， P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.06 0.250.250.060.38. 数学期望E(X) 0P(X0)1P(X1)2P(X2) 3P(X3)4P(X
16、4)0.2520.3830.2540.062. 10甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、 乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与 轮空者进行比赛， 而前一局的失败者轮空 比赛按这种规则一直 进行到其中一人连胜两局或打满6 局时停止设在每局中参赛者胜负 的概率均为 1 2，且各局胜负相互独立，求： (1)打满 3 局比赛还未停止的概率； (2)比赛停止时已打局数 的分布列与期望E() 解析： 令 Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜 (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式 知，打满 3 局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)P(B1C2
17、A3) 1 2 3 1 2 3 1 4. (2) 的所有可能值有2，3，4，5，6，且 P( 2)P(A1A2)P(B1B2) 1 2 2 1 2 2 1 2， 13 P( 3)P(A1C2C3)P(B1C2C3) 1 23 1 23 1 4， P( 4)P(A1C2B3B4)P(B1C2A3A4) 1 2 4 1 2 4 1 8， P( 5)P(A1C2B3A4A5)P(B1C2A3B4B5) 1 25 1 25 1 16， P( 6)P(A1C2B3A4C5)P(B1C2A3B4C5) 1 25 1 25 1 16. 故 的分布列为： 2 3 4 5 6 P 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 从而 E()21 23 1 44 1 85 1 166 1 16 47 16 .