五年级数学数学培优班题典五年级.pdf

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1、专题一速算与巧算 知识对对碰 做四则混合运算时，首先要全面审题，确定先算哪一步，再算哪一步，最后算哪一步，弄清四则混合 运算的运算顺序至关重要。另外，要全面观察题目的结构、特征，分析题目中数与数之间的运算关系，能 运用定律、性质的应尽可能选择简便方法。最后，计算时要做到做完一步，验算一步，以保证计算的准确 性。 四则混合运算题根据不同的题型有不同的速算技巧，包括加项法、拆项法、基准数法、凑整法等。 名题典中典13520028669 例 1( ) 计算 : 2002 + 98 + 997 + 9996 + 99995 例 2( ) 计算 :2002 -1999 +1996 -1993 +1990

2、 -1987 +16 -13 +10 -7 +4 例 3( ) 计算 :(1 +3 +5 +2001) - (2 +4 +6 +2000) 例 4( ) 计算： 1314 例 5( ) 计算 : 0.45 10 - (0.2 +6.37 +0.7)0.5 例 6( ) 计算：07.256.16.3)9.18.3(85.445. 0 例 7() 计算:999999777778 + 333333666666 例 8( )计算 : ( 1234567 + 2345671 + 3456712 + 4567123 + 5671234 + 6712345 +7123456)7 例 9( ) 计算 :(1+

3、0.23 +0.34) (0.23+0.34+0.65) - (1+0.23+0.34 +O.65) (0.23 +0.34) 例 10( ) 计算： 1816 1 1614 1 1412 1 1210 1 例 11( ) 计算： 765 1 654 1 543 1 432 1 321 1 魔法训练营 1计算： (12 34 9lO11)(27 252422) 2计算： 3.6 42.3 3.75 -12.50.423 28 3计算： (10.5 11.7 57 85) (1.7 l.9 3579ll 1315) 4计算： 8 7 98 7 6 87 6 5 76 5 4 65 4 3 54

4、5计算： 1009998 1 195 543 1 5 432 1 3 321 1 1 6计算： 2004 1 20042003 1 19511950 1 19501949 1 7计算： 90 19 72 17 56 15 42 13 30 1 20 9 12 7 6 5 1 i 8计算： 10297 1 1712 1 127 1 72 1 9. 计算 : 1.2343456.7 + O.1234 12345 + O.1234 53088 10. 计算:(1 +0.12+0.23)(0.12 +0.23+0.34) - (1+0.12 +0.23 5-0.34) (0.12 +0.23) 11.

5、 计算 :12.5 69+533.1+72 3.1 专题二小数的速算与巧算 知识对对碰 小数的速算与巧算，除了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还 可以利用小数本身的特点。计算时要注意审题，善于观察题目中数字的特征，灵活地运用小数的性质及运 算性质、运算技巧，确定合理简便的算法。 常用的运算技巧 1. 一个数 5=这个数 210 一个数 25=这个数 4100 一个数 125=这个数 81000 2. 一个数 5=这个数 2+10 一个数 25=这个数 4+100 一个数 125=这个数 81000 名题典中典 例 1( ) 计算 :2.71 +4.56 +5.4

6、4 +7.29 例 2( ) 计算 :4.75 +(2.25-3.5+5.9) 例 3( ) 计算 :0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9 例 4( ) 计算： l.125 +2.125+3.125+4.125+5.125+50.125 例 5( ) 计算:0.125 0.250.5 64 例 6( ) 计算： 8.6 99+8.6 例 7( ) 计算: 1990 198.9 - 1989198.8 例 8( ) 计算：053375. 012507875.6125875.6725.1 例 9( ) 计算：25.125.0841 例 10( ) 计

7、算：375. 1261.075.1301. 31375813 例 11( ) 比较下面两个积的大小：2344.14322.52345.14321. 5BA 例 12( ) 计算： 2889625.010 222888625.0625.0625.0 个个个 魔法训练营 1. 计算:5.76 1.1+57.7 0.8 2. 计算:ll22 +0.22 3300 +3304. 4+0.04455000 3. 计算:(1+1.2)+(2+1.22) +(3+1.2 3) + +(99+1.2 99)(100 +1.2100) 4计算： 1. 050 1.01. 01. 01 .01 .01. 01 .

8、0 个 5. 计算 :2000 199.9 - 1999199.8 6在内填人一个数，使得下列等式成立。 0.271.5+1.5+1.5 0.32=0.77 1.5 7比较下面两个积的大小： A =9.8765433.456789 B=9.8765443.456788 8计算： 9999.8 4+999.8 4 +99.8 4+9.8 4. 9计算： 111111.1 6+11111.1 6+1111.1 6+111.1 6+11.1 6+1.1 6 10. 计算： 362.54+1.8 49.2 11. 如果把 0.0000025 记作 25000.0 05个 , 下面有两个小数，4000.

9、 0,25000. 0 0200302001个个 ba, 求：a+b 和 ab 的值。 12. 31.719 1.2708的整数部分是多少？ 13. 0.1 (0.2 0.3) (0.3 0.4) (0.4 0.5) (0.5 0.6) (0.6 0.7) (0.7 0.8) (0.8 0.9) =_. 14.1!+2!+3!+4!+2008! 的末两位数字之积是_。 15.(1+4.72+5.89) (4.72+5.89+6.90) -(1 +4.72+5.89+6.90)(4.72+5.89)=_。 专题三数的整除特征 知识对对碰 1.常见数整除的特征 (1)能被 11 整除的数的特征。奇

10、位数字之和与偶位数字之和相减（以大减小）的差是11 的倍数。 (2)能被 7（11 或 13）整除的数的特征：最后三位数与其余各位数所组成的数相减（以大减小），所得 差是 0，这个数既能被7 整除 ；也能被11（或 13）整除。如果所得的差是7（11 或 13）的倍数，这个数 就能被 7（11 或 13）整除。 (3)能被 3（或 9）整除的数的特征：各位数字之和为3（或 9）的倍数。 (4)能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数为4（或 25）的倍数。 (5)能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数为8（或 125）的倍数。 (6)能被 6 整除的数的特征：这个数既是2 的倍数，

11、又是3 的倍数。 2.数整除的性质 (1)如果数 a，b 都能被 c 整除，那么 (a+b) 与（ a-b ）也能被c 整除。 (2)如果数 a 能被数 b 整除， c 是整数，那么口c 也能被 b 整除。 (3)如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数c 整除，那么a 也能被 c 整除。 (4)如果数 a 能同时被数b、c 整除，而且b、 c 互质，那么a 一定能被积bc 整除。 名题典中题 例 1( ) 判断 25102 能不能被7或 11 或 13 整除。 例 2()在内填上适当的数字，使六位数43217能被 4（或 25）整除。 例 3( ) 自然数N由两种数字O和 8 组成，且是

12、15 的倍数。当N可能小时，它是15 的多少倍？ 例 4( ) 在 685 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5 整除，符合条件的最小六位 数是多少？ 例 5()已知一个五位数 l691 能被55 整除，那么符合题意的五位数是几？ 例 6( ) 四个学生同时做加法练习，老师在黑板上写出了一个六位数，然后把它的个位数字（不等于0） 拿到这个数最左边得到一个新的六位数，老师要求将这个新得的六位数与原来的六位数相加，结果，他们 四个人的得数分别是172536，568741，620708,845267 。问：在这些答案中哪一个可能是正确的？为什么？ 例 7( ) 试将 1，2，3，

13、4， 5，6，7 分别填人下面的方框中，每个数字只用1 次： 7 1 4 （这是一个三位数） （这是一个三位数） （这是一位数） 使得这三个数中任意两个都互质，其中一个三位数已填好，它是714。 例 8( ) 三个连续自然数在100 200 之间，其中最小的三位数能被3 整除，中间的能被5 整除，最 大的能被7整除，试写出所有这样的三个自然数。 例 9()如果下面这个41 位数 205209 5555 9999 个个 能被 7 整除，那么中间方格内的数字是几？ 例 10( )用 0，1，2， 9 十个数字，各用1 次，组成一个十位数。将这个十位数依次分成三 段，每一段不少于三位数。第一段的数分

14、别能被1，2，3 整除；第二段的数分别能被4，5，6 整除， 第三段的数分别能被7，8，9 整除，那么第一段的数是多少？（只要求写1 个答案） 魔法训练营 1 在 2579 这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11 整除，方格内应填_。 2 在下式中分别填入三个质数，使等式成立。 +=50 3 有 55 块糖分给甲、乙、丙三个人，甲分的块数是乙的2 倍，丙最少，但也多于10 块，三个人各分 到糖多少块？ 4 把 7， 14，20，21， 28，30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。 5 一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数51x，求x是多少。 6 用数字19

15、组成九位数，左起第一位能被1 整除，前两位能被2 整除，前三位能被3 整除前九 位能被 9 整除。已知第七位是7，求这个九位数。 7.173是个四位数，在中先后填人三个数字，所得到的三个四位数依次可被9，11， 6 整除，问先后 填入的三个数字的和是多少。 8 在内填上合适的数，使五位数736能被15 整除，共有几种不同的填法？ 9 小明的妈妈要到银行去取钱，可是她忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这 个六位数能同时被3、4、5 整除，且是符合条件中最小的一个。聪明的同学们，你能帮助小明的妈妈回忆 起存折的密码吗？ 10.有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字

16、组成一个四位数（例如1409） ，把其中能被3 整除 的四位数从小到大排列起来，第5 个数的末位数字是多少？ 专题四质数、合数及分解质因数 知识对对碰 1.概念 质数：一个数除了1 和它本身没有别的约数，这个数叫做质数，如5，7，29。 合数：一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，如20，45，30。 互质数：公约数只有1 的两个数叫做互质数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。如12=223。这时2 和 3 都是 12 的质因数。 2.性质 (1)任何大于 1 的合数都能表示成质数的乘积。 (2)1既不是质数，也不是合数； 质数有无限多个； 最小的

17、质数是2； 在质数中只有2 是偶数，其余的质数全是奇数； 每个质数只有两个约数：l 和它本身。 (3)如果一个质数是某个数的约数，就说这个质数是这个数的质因数。 (4)合数有无限多个； 最小的合数是4； 每个合数至少有三个约数。 (5)如 果 把 相 同 的 质 因 数 合 并 为 它 的 幂 ， 则 任 意 大 于1 的 整 数N 只 能 唯 一 地 表 示 成 ： 12 1212 ;(, n rrr nn NPPPr rr 是自然数， 它们分别是P1，P2，Pn的指数），此式称为的标准分解式。 3.分解质因数的方法 主要是短除法（在小学阶段），试除时一般从最小质数开始。 名题典中典 例 1

18、( ) 连续 9 个自然数中至多有几个质数？ 例 2( ) 边长为自然数，面积为165 的形状不同的长方形共有多少种？ 例 3( ) 某小学六年级(4) 班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3 个小组。 老师与学生 每人种同样棵数的树，一共种了364 棵。问六 (4) 班有学生多少人，每人种树多少棵？ 例 4( ) 五个相邻自然数的积是55440，求这五个自然数。 例 5( ) 如图 4-1，4 个小三角形的顶点处有6 个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上一个质数，它们的和 是 20，且每个小三角形顶点的数之和相等。问这6 个质数的积是多少？ 例 6( )100101102 2001

19、2002 的末尾有多少个连续的0？ 例 7( ) 已知xqp1，其中 p、q 为质数，且P、q 均小于 1000，x奇数，求x的最大值。 例 8( )a、b、 c 都是质数，如果(a +b)(b+c) =342 ，求 a、b、c。 例 9( ) 问 360 中共有多少个约数。 例 10( ) 一个整数a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，求a 的最小值与这个平方数。 例 11( ) 把后面8 个数 14，30，33，35，39，75，143，169 等分成两组，使每组中四个数的乘积相等。 例 12( ) 已知a(b+c)=209 ，请把 a,b,c各换成一个质数，使前面的等式成立。 魔法训

20、练营 1.2340有多少个约数？ 2有两个质数的和是33，求这两个质数的积。 3四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数三项的乘积是2910，这个学 生得第几名？分数是多少？ 4已知自然数1111155555 是两个连续奇数的积，这两个连续奇数的和是多少？ 5原价 5 元一本的书，降低几角钱出售，共得款235 元。那么售出书多少本？ 6有两个质数，它们的和既是一个小于100 的奇数，又是13 的倍数，这是两个怎样的质数？ 7a与 b 是两个大于1 的自然数， a+2b，a+4b，a+6b，a+8b，a+10b 都是质数。则a+b=_。 8两个相邻自然数的积是1980，求这两

21、个相邻的自然数。 9在下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字，被盖住的四个数字的总和是多少？ 10.在乘积 1000999998 32l 中，末尾连续有多少个零？ 11.用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次， 那么这 9 个数字最多能组成几个质数？ 12.有三个自然数， 最大的比最小的大6， 另一个是它们的平均数，而且这三个自然数的乘积是15400， 求这三个自然数。 专题五最大公约数和最小公倍数 知识对对碰 1. 基本知识 (1)约数与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最

22、大公约数。 自然数 a，b 的最大公约数记作(a ，b) ，例如 (12 ，8)=4， (4 ，6， 10) =2 。 如果 (a， b)=l ，则 a 与 b 互质。如果a 是 b 的倍数，则（ a，b）=b。 自然数 a 能被自然数b整除，则称a 是 b 的倍数， b 是 a 的约数。 (2)倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 一般用符号 a ，b 表示 a，b 的最小公倍数，例如：4 ，10 =20 。 (3)求解方法 求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。 求最小公倍数常用的方法：短除法

23、，分解质因数法，列举法，最大公约数法。 2.性质 (1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 如果（ a，b）=d，c|d ，那么 c|a ，c|b 。 (2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。 如果 (a， b)=d ，那么（ ad， bd） =1。 (3)若一个数c 能同时被两个自然数a，b整除， 那么 c 一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说， 一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。 (4) 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 例 1( ) 已知两个数分别是4 和 B，已知 4 =2235B=2 335，求A，B的最大

24、公约数。 例 2( ) 一箱图书可以平均分给2，3，4，5， 6 名小朋友，这箱图书最少有多少本？ 例 3( ) 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45 秒钟和 1 分 15 秒钟，三 人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？ 例 4( ) 在 1500 -8000之间能同时被12，18，24 和 42 四个数整除的自然数共有多少个？ 例 5( ) 将一块长3.57 米，宽 1.05 米，高 0.84 米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正 方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余） 例 6(

25、 ) 加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6 个零件，第二道工序 每个工人每小时可完成10 个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15 个零件，要使加工生产均衡，试 设计三道工序工人人数的分配方案。 例 7( ) 有 3 根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6 倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220 厘米。现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。 例 8( ) 四 (1) 班学生分组做游戏，如果每3 人一组就多出1 人，如果每4 人一组就多出2 人，如果每5 人一组就多出3 人。问：这个班至少有多少个学生？ 例 9( ) 一支队伍不超过

26、1000 人，列队时分别按2 人、3 人、4 人、5 人、6 人一排， 最后一排都缺1 人， 改为 7 人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？ 例 10( ) 用自然数a 去除 374，410，464，得到相同的余数。a 最大是多少？ 例 11( ) 两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。那么这两个数的和是 _。 魔法训练营 1A、B 两个数都恰恰只含有质因数3 和 5，它们的最大公约数是75，已知A有 12 个约数， B有 10 个约数，那么A、 B两数的和等于多少？ 2有 12 分米长的铁丝12 根， 18 分米长的铁丝9 根， 24 分米长的铁丝10 根。现在

27、要把它们截成一 样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？可以截成多少根？ 3有铅笔433 支、橡皮260 块，平均分配给若干小学生。学生人数在30 50 之间，分到最后余铅 笔 13 支、橡皮 8 块，问小学生究竟有多少人。 4把一张长147 厘米、宽105 厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:3 的长方形纸，且没 有剩余，问最少可截成几张。 5现有 252 个红球， 396 个蓝球， 498 个黄球。 把它们分组装在n 个袋子里， 要求每个袋子里都有红、 黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。求n 最大是几。 6一箱鸡蛋，两个两个

28、数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果 七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。 7六年级学生参加植树活动，人数在30 和 50 之间。如果分成3 人一组、 4 人一组、 6 人一组或8 人 一组，都恰好分完。六年级参加植树活动的学生有多少人？ 8用长 9 厘米、宽6 厘米、高7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少 块？ 9某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。已知该班有 2 1 的学生得优，有 3 1 的学生 得良，有 7 1 的学生得中，其余学生得下。该班学生人数不超过60 人，该班得下的学生有多少人？ 10.从甲地到乙地

29、原来每隔45 米安装一根电线杆，加上两端的共53 根。现在改为每隔60 米安装一根， 除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？ 11.甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。甲校用的汽车，每车坐 15 人；乙校用的汽车，每车坐13 人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛， 这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽 车。问最后两校共有多少人参加竞赛。 12.有一个电子钟，每走9 分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12 时整，电子钟既响铃又亮灯， 问：下一次既响铃又亮灯是几时？ 13.大雪后

30、的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小 飞每步长48 厘米，爷爷每步长72 厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40 个脚 印，求花圃的周长。 14.有两个油桶，一个容积为27 升，另一个容积为15 升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒 出 6 升油来？ 逻辑学的用处 有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个 干干净净，你认为哪一个该去洗澡？” “当然是脏的那个。”学生说。 “不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡！” 这就是数学家的逻辑学。 专题六带余除法及同

31、余 知识对对碰 1. 如果 a 是整数， b 是自然数，必有唯一的整数q 和唯一的整数r, 使得： a =b q +r(rb) 其中 r 叫做a 除以 b的余数，q叫做a 除以 b 的不完全商。 一个整数a除以自然数b 时的余数只有0，1，2，3， b-1 这 b 种可能。 2. 在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么，余数也能被这个自然数整除。 3. 在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。 4. 如果两个整数a,b 除以同一个自然数m所得的余数相同， 那么就说 a,b 对于 m是同余的，记作 ab( modm ) 5.

32、一个数除以11 的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11 的余数相 同。 6. 一个数除以4 的余数，与它的末两位除以4 的余数相同。 7. 一个数除以8 的余数，与它的末三位除以8 的余数相同。 8. 一个数除以9 的余数，与它的各位数字之和除以9 的余数相同。这个余数也叫做这个数的“弃九数”或 “九余数”。 9. 同余的主要性质： (1) 反射性 a( modm); (2) 对称性若ab(modm )，则ba( modm ) ; (3) 传递性若 a b(modm), b (modm) , 则 ac(modm) ; (4) 若 a b(modm ),c d(m

33、odm) ,则a+cb+d(modm), a-c b-d(modm), acbd(modm) 名题典中典 例 1( ) 一排吊灯， 3 个 3 个地数剩2 个， 4 个 4 个地数剩3 个， 6 个 6 个地数剩5 个，这排吊灯至少有多 少个？ 例 2( ) 四盏灯如图6-1 所示组成舞台彩灯，且每30 秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色， 第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，这样一直进行下去，请问开灯1 小时四盏灯 的颜色如何排列？ 例 3( )523 除以一个数所得的不完全商是10，并且除数与余数的差是5，求除数和余数。 例 4( ) 自然数m除 13511、139

34、03 和 14589，余数都相同，m的最大值是多少？ 例 5( ) 一个数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。 例 6( ) 求 143 89 除以 7 的余数。 例 7( ) 5555 5555573 个 的余数是多少？ 例 8( )70 个数排成一排，除了两头的两个数以外，每个数的3 倍恰好等于它两边两个数的和。这一 行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问：最右边的一个被6 除的余数是几？ 例 9( ) 两个代表团从甲地乘车到乙地。每辆车可乘35 人。两代表团各坐满若干辆车后，第一代表团 剩下的成员15 人与第二代表团剩下的成员正好又坐满

35、一辆车。会后，第一个代表团的每个成员分别与第 二个代表团的每个成员都拍一张照留念。如果每个胶卷可拍35 张照片。那么第一个代表团的每个成员拍 完照片后，相机中的胶卷还可拍几张照片？ 魔法训练营 1一个小于200 的数，它除以11 余 8，除以 13 余 10，那么这个数是_。 2. 1998 3 除以 7 余数是 ( ) A1B.2 C.3 D6 3求乘积 3437 4143 除以 13 所得的余数？ 4今天是星期五，再过365 364 天是星期几？ 5用一个正整数去除另一个整数，商是33，余数是52，已知被除数、除数、商、余数的和是2143， 求被除数和除数各是多少。 6某班学生分组做游戏，

36、如果每3 人一组就多出2 人，如果每5 人一组就多出3 人，如果每7 人一 组就多出4人，问这个班至少有多少个学生。 7四位数 2 81 被 17 除余 3，则百位数字应该代表几？ 8一个两位数被它的各位数字的和去除能得到的最大余数是多少？ 9两个整数相除，商是12，余数是8，并且被除数与除数相差822，求这两个整数。 10.小张在计算有余数的除法时，把被除数113 错写成 131，结果商比原来多3，但余数恰好相同，那 么，该题的余数是多少？ 11一个布袋中装有小球若干个，如果每次取3 个，最后剩1 个；如果每次取5 个或 7 个，最后都剩 2 个，布袋中至少有小球多少个？ 12.所有自然数如

37、图6-2 排列，问300 位于哪个字母下面。 13. 求 3333 5555+ 55553333 被 7 除的余数。 添添看 在“999”中添一个数字，使形成的四位数可以被四位数“1357” 整除。你知道这个数字是几吗？ 好，告诉你，它是“4”，即 “9499”。 验证： 94991357 =7 在“888”中添上两个数字，形成的五位数可以被“1357”整除，有趣的是得数就是你所填写的那两 个数构成的两位数。 好了，你来添添看！ 专题七分数计算 知识对对碰 1. 有关概念 最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数，也叫做既约分数。 分数化简：根据分数的基本性质，把一个分数化为最简分数的过

38、程，叫做分数化简。 约分：把一个分数的分子和分母都除以它们的公约数（1 除外），化成与原来分数相等的分数，这种运 算叫做约分。 2.分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0 的数，分数值的大小不变。 分数的基本性质是通分的基础和依据。 3. 约分方法 (1)逐次约分法。把分数的分子和分母逐次除以它们的公约数，直到得出一个最简分数为止。 (2)一次约分法。把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，就得到一个最简分数。 (3)辗转相除法。当分子和分母都比较大时，一般先用辗转相除法求它们的最大公约数再约分。 4. 比较分数的大小 对于分数 a b 和 c d 来说，如果adbc，则 c

39、 d a b ; 如果adbc，则 c d a b ; 如果,adbc则 c d a b 。 名题典中典 例 1( ) 一个分数的分子扩大为原来的2 倍，分母不变，分数值会发生什么变化？如果分数的分母扩大为 原来的 2 倍，分子不变，分数值会发生什么变化？ 例 2( ) 计算：)01.0 25 4 (379625 例 3( ) 计算：48) 4 3 6 5 12 11 ( 例 4( ) 化简： 525252 252252 525525 252525 例 5( ) 化简： 35217201241062531 211471284642321 例 6( ) 计算： 8 7 4 6 3 5 2 1 例

40、 7( ) 把下面各分数化成小数。 125 11 25 24 25 11 20 17 20 9 例 8( ) 比较 33335 33331 和 22227 22224 的大小。 例 9( ) 一个真分数，分子、分母是两个连续自然数，如果分母加3，这个分数是 5 4 ，求原分数。 例 10( ) 分母是1998 的最简真分数有多少个？ 例 11( ) 比 7 2 大，比 3 1 小，分子是17 的分数共有多少个？ 魔法训练营 1写出所有分子是l ，分母是两位数，而且只能化成不循环部分有一位数字、循环节最少位数是2 的 混循环小数的分数来。 2指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小

41、数？哪些能化成混循环小数？有限 小数的位数、不循环部分数字的个数、循环节最少位数各是几？ 40 3 , 14 3 , 77 88 , 12 5 , 37 75 , 505 4 3计算： 10098 1 64 1 53 1 42 1 31 1 4不求值比较 1991 1988 1990 1990 1989 1991和 1991 1988 1989 1990 1989 1992 的大小。 5要使 43 3743 37 29 A 成立，那么A最多可能表示为多少个不同的自然数？ 6在分数 301 151 , 201 100 , 35 17 , 9 4 , 7 3 中，最大数是哪一个？ 7比较 6543

42、21 218191 和 456789 152347 的大小。 8比 1 大，比 2004 小，分母是10 的最简分数有多少个？ 9观察下面一串分数： , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 , 1 3 , 2 2 , 3 1 , 1 2 , 2 1 , 1 1 ，则 30 17 是第几个分数？ 10. 分母不大于50，分子不大于5 的最简真分数有多少个？ 11. 分母是 20 的所有最简真分数的和是多少？ 12. 化简： 1055844633422211 151051284963642321 13. 化简： 2004100 2003100 20042004200420040420042

43、00420200420042004 2003200320032003032003200320200320032003 个 个 14. 分子与分母都是不为0 的自然数，而且分子、分母的和是十位上数字为2 的两位数的质数，如果分母 增加 17，则得到的新分数化简后得 7 1 ，求原来的分数？ 15 48 7a 是最简真分数，a 可取的整数有多少个？请写出从小到大排的第五个数。 专题八完全平方数 知识对对碰 1. 基本概念 一个数如果是某一个整数的平方，那么就称这个数为完全平方数。 完全平方数具有下列性质 性质 1：任何一个完全平方数的个位数字只能是0、1：4、5、6、9。 性质 2：个位数字是2、

44、3、7、8 的数一定不是完全平方数。 性质 3：奇数平方的十位数字必是偶数。 性质 4：个位数字与十位数字均为奇数的数一定不是完全平方数。 性质 5：完全平方数被2 或 3 或 4 除的余数是0 或 1。 性质 6：完全平方数被8 除的余数为0 或 1或 4。 性质 7：在相邻两个完全平方数之间的数一定不是完全平方数。 2.判断完全平方数的方法 (1)完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。 (2)完全平方数的个位数字为6 时，其十位数字必为奇数。 (3)凡个位数字是5 但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数。 (4)末尾只有奇数个0 的自然数不是完全平方数。 (5)个位数字

45、为1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 (6)任何偶数的平方一定能被4 整除。 (7)任何奇数的平方被4（或 8）除余 1，即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。 (8)一个完全平方数被3 除的余数是0 或 1。 即被 3除余 2 的数一定不是完全平方数。 名题典中典 例 1( ) 试问：在324，897， 211，247，546 中，哪些数是完全平方数？ 例 2( ) 用 300 个 2 和若干个O组成的整数有没有可能是完全平方数？ 例 3( ) 已知一个自然数减去50 是一个完全平方数，而这个自然数加上39 也是一个完全平方数，求这 个自然数。 例 4( )

46、能否找到一个自然数n，使得 n 和 n+2004 都是完全平方数。 例 5( ) 一个四位正整数，加上 400 后就成为一个自然数的完全平方数，这样的四位数的个数是（） A. 8 B. 32 C. 64 D. 128 例 6( ) 已知一个自然数的平方的十位数字是6，求这个平方数的个位数字是多少。 例 7( ) 下式中的“香港” ， “中国”均代表一个两位自然数，那么香港=_，中国 =_。 （香港） 2+1997=（中国）2+1949 例 8( ) 试证明在11，111，1111，中没有完全平方数。 例 9( ) 一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数（如果它的十位数是零，就只用个位数字）去

47、 除这个四位数得到一个完全平方数（即一个自然数的平方），且这个平方数正好是四位数的前两位数加1 后平方。试写出所有具有上述性质的四位数。 魔法训练营 1试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。 2有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两 个数。 3求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。 4能不能找到自然数n，使凡， n +97 都是完全平方数？ 5. 2904是否为完全平方数？ 6有多少个小于2004 的数，使得它们与72 相乘均为完全平方数？ 7试证不论o、6 是什么整数，35a -

48、45b +2都不可能是完全平方数。 高僧下棋 在古代印度，一位高僧十分精通棋术，国王正好也喜欢下棋。有一天，国王把这位高僧召到宫里，要 与他对奕。国王对他说：“听说你棋术十分高超，所以把你请来与我下棋。你不要因为我是国王就不敢赢 我，你要拿出真本事来。如果你赢了我，我可以答应你提出的任何条件。”高僧说： “既然陛下恩准，我 就斗胆与陛下下上几盘。不过如果我赢了你，我只有一个小小的要求。”国王说： “刚才我说了，你可以 提任何条件，我将满足你的要求。”高僧说： “我的要求很简单，这棋盘上不是有64 个格吗？我赢你一 盘，你在第一个格给我一粒米，赢两盘，第二个格里给我两粒米，赢三盘， 给我四粒米， 四盘给我八粒米 每一盘都比前一盘多一倍，直到这第六十四格。”国王一听哈哈大笑，说：“ 这还不容易，我国库里有的 是米，这点米连九牛一毛也没有。”高僧说： “陛下可不要反悔。”国王说： “一