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1、高中数学学习材料 鼎尚图文 *整理制作 一等差数列基本概念 1等差数列定义 2.等差数列通项公式na=_ 或na=_. 3.等差数列前n 项和1) n S_2). n S_ 4.等差中项： 如果, ,a b c成等差数列，么b叫做,a c的等差中项，则有 _ 5.等差数列的判定方法 1)定义法： 2)中项公式法： 3)通项法：已知数列 n a的通项公式为 n apnq，则 n a为等差数列，其中首项为 1 a=_，公差 d=_ 。 4)前 n 项和法： 已知数列 n a的前 n 项和 2 n SAnBn，则na为等差数列，其中首项为 1 a=_，公差 d=_ ， 6.等差数列性质 1) 121
2、 2 nn aaaaa 2)当 * , ,m n p kN，且m npk，则 mnpk aaaa；特别当 2mnp时2 mnpaaa 特别注意“mnp时， mnp aaa”是不正确的 . 3) 数列 n a的前 n 项和为 n S，则 232 ., mmmmmSSSSS 成大差数列 4）当 n 为奇数时，1 2 nn Sna 二例题分析 【类型 1】求等差数列通项 【例 1】 .等差数列 n a中， 512 10,31aa，求 1, , n d aa. 【变式 1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数. 【例 2】 等差数列 n a中， 3813 12aaa， 38
3、13 24a a a，求通项公式na. 【变式 1】等差数列 n a中，515 10,25,aa则 25 a的值是 【变式 2】已知等差数列 n a 中 610 18aa 3 1a，则 13 a 【变式 3】 （09 年安徽文）等差数列 n a 中， 135 105aaa， 246 99aaa，则 20 a 【变式4】 (2008 年天津文4）若等差数列 n a的前5 项和 5 25S，且 2 3a，则 7 a 【例 3】 已知数列 n a中， 1 a=1， 1 (1) 2 n n na a n ，则数列 n a的通项公式为 _ 【变式1】已知数列 n a中， 1 a=2, 2 a=3，其前
4、n项和 n S满足 11 21 nnn SSS (n 2，nN*) ，则数列 n a 的通项公式为 ( ) A n a=n B n a= 2 n C n a= n-l D n a=n+l 【例 4】在数列 n a和数列 n b中，nS为数列 n a的前 n 项和，且满足 2 2nSnn，数 列 n b的前 n 项和n T满足 1 3 nn Tnb，且 1 1b （1）求数列 n a的通项公式 （2）求数列 n b的通项公式 【例 5】数列 n a中， 1 1 5 5 1, n n n a a aa，求数列 n a的通项公式； 【类型 2】求等差数列前n 项和 【例1】 （ 11 年天津文11
5、）已知 n a为等差数列，n S为其前n项和， * nN，若 320 16,20,aS则 10 S的值为 _ 【变式 1】如果 2 n Sanbnc是一个等差数列的前n 项和，其中a， b，c 为常数，则c 的值为 【例2】 （ 10 年全国文6）等差数列 n a中，345 12aaa，那么 n a的前7 项和 7 S 【变式 1】已知数列 n a、 n b都是公差为 1 的等差数列， 其首项分别为 1 a、 1 b， 且5 11 ba， * 11, Nba设 n bn ac（ * Nn） ，则数列 n c的前 10 项和等于 （） A55B70C85D100 【例 3】 n a通项公式为 2
6、 1 n a nn ，则 n S_ 【变式 1】 n a通项公式为 1 1 n a nn 则 n S 【变式 2】 n a通项公式为 1 1 n a nn ， 若其前 n 项和为 10， 则项数 n 为 【例 4】 等差数列 n a中，249 n an，前 n 项和记为nS，求nS取最小值时n 的值 . 【变式 】差数列 n a中，213 n an，则n时 n S有最大值； 【类型 3】等差数列性质的应用 【例 1】 （1）等差数列 n a中， 2 30,100, mm SS求 3m S的值 . （2）等差数列 n a中， 48 1,4SS，求 17181920 aaaa的值 . 【 例 2】
7、 （ 2009 年辽宁理科14）等差数列 n a 中， n a的前n 项和为 n S，如果 36 9,36SS，则 789 aaa 【变式 1】 （2009 年辽宁文）等差数列 n a中，na的前 n 项和为nS， 36 6,24,SS， 则 9a 【变式 2】已知等差数列 n a中， 123456 12,18,aaaaaa则 789 aaa 【变式 3】已知数列 n a 和 n b的前 n 项和分别为, nn AB，且 7 + 1 , 427 n n An Bn 求 11 11 a b 的值 . 【例 3】 等差数列 n a的前 n 项和记为 n S，若 2610 aaa为一个确定的常数，则
8、下列 各数中一定是常数的是（） C 6 SB 11 SC 12 SD 13 S 【变式 1】等差数列 n a中， 19 12,24,aa则 9 S（） C -36 B48 C54D72 【变式 2】等差数列 n a中，已知前15 项的和90 15 S，则 8 a等于（） A 2 45 B12 C 4 45 D 6 【变式 3】在等差数列 n a中，若 9 9,S则 46 aa 【类型 4】证明数列是等差数列 【例 1】 知数列 n a的前 n 项和为 21 + 2 n nnS，求通项公式na并判断是否为等差数列 【例 2】在数列 n a中， n nn aaa22,1 11 ,设 , 2 1n
9、n n a b证明n b是等差数列 【例 3】已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且满足)2(02 1 nSSa nnn ， 2 1 1 a， 求证：数列 n S 1 是等差数列；求数列 n a的通项公式。 【变式 1】数列 n a 中， 1 1 5 5 1, n n n a a aa ，判断 1 n a 是否为等差数列. 【例 4】 数列 n a 中， 1 4 4 n n a a， 1 2 n n a b ； 1） 求证 n b是等差数列； 2） 求 n a 的通项公式 . 【变式 1】已知数列 n a 满足 1 5 2 a， 1 1 41 2 2 n n n a an a （1）设 1 1 n n b a ，求证 n b 为等差数列； （2）求 n a通项；