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1、人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 1 / 10 几何证明 -常用辅助线 ( 一) 中线倍长法 : 例 1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图， ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证： AD 2 1 (AB+AC) 分析：要证明AD 2 1 (AB+AC) ，就是证明 AB+AC2AD ，也就是证明两条线 段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中 的三条线段共点， 没有构成一个三角形， 不能用三角形三边关系定理， 因此应该 进行转化。待证结论AB+AC2AD 中，出现了 2AD，即中线
2、 AD 应该加倍。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连 CE，则 AE=2AD 。 在ADB 和EDC 中， AD= DE ADB= EDC BD= DC ADBEDC(SAS) AB=CE 又在ACE 中， AC+CEAE AC+AB2AD ，即 AD 2 1 (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法 。 它可以将分居中线两旁的两条边AB、 AC 和两个角 BAD 和CAD 集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。 课题练习 :ABC中， AD是BAC的平分线，且BD=CD ，求证 AB=AC B C D A E C D A B 人
3、教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 2 / 10 例 2:中线一倍辅助线作法 ABC 中方式 1： 延长 AD 到 E， AD 是 BC 边中线使 DE=AD ， 连接 BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD于 F，延长 MD到 N， 作 BEAD的延长线于E 使 DN=MD ， 连接 BE 连接 CD 例 3： ABC 中， AB=5 ， AC=3 ，求中线 AD 的取值范围 例 4：已知在 ABC 中， AB=AC ，D 在 AB 上， E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF ，求证： BD=CE D A BC E D
4、A BC F E D C B A N D CB A M F E C A B D 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 3 / 10 课堂练习：已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且BE=AC ，延长 BE 交 AC 于 F，求证： AF=EF 例 5：已知：如图，在 ABC中，ACAB ，D、E在 BC上，且 DE=EC ，过 D作 BADF / 交 AE于点 F，DF=AC. 求证： AE 平分BAC 课堂练习：已知CD=AB ， BDA= BAD ， AE 是 ABD的中线，求证：C=BAE 作业： 1、在四边形
5、ABCD 中， ABDC ，E为 BC边的中点，BAE= EAF，AF 与 DC 的延长线 相交于点F。试探究线段AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 F E D A B C 第 1 题图 A B F D E C ED A BC F E A B C D 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 4 / 10 2、已知：如图，ABC 中，C=90 ，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证： CT=BE. 3：已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E
6、是 AD 上一点，且BE=AC ，延长 BE 交 AC 于 F，求证： AF=EF 4：已知 CD=AB ， BDA= BAD ， AE 是 ABD的中线，求证：C=BAE 5、在四边形ABCD 中， ABDC ，E为 BC边的中点，BAE= EAF，AF 与 DC 的延长线 相交于点F。试探究线段AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 D A B C M T E F E D A B C ED A BC F E A B C D 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 5 / 10 A D B C E 图 2-1 （二）截长补短法 例1.
7、已知，如图 1-1 ， 在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC. 求证：BAD+BCD=180. 分析： 因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角， 图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长补短法”来实现. 证明： 过点D作 DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图 1-2 BD平分ABC，DE=DF， 在RtADE与RtCDF中， CDAD DFDE RtADERtCDF(HL), DAE=DCF. 又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180， 即BAD+BCD=180 例2. 如图 2-1 ，ADB
8、C，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB. 求证：CD=AD+BC. A BC D 图 1-1 F E D CB A 图 1-2 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 6 / 10 例3. 已知，如图3-1 ， 1= 2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD. 求证：BAP+BCP=180. 例4. 已知：如图4-1 ，在ABC中，C 2B， 1 2. 求证：AB=AC+CD. A BC D P 1 2 N 图 3-1 D C B A 1 2 图 4-1 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短
9、法（无答案） 7 / 10 作业： 1、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE. 2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE C E D B A （三）其它几种常见的形式： 1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形。 例：如图 1：已知 AD为ABC的中线，且 12, 34, 求证： BE CF EF 。 F E D CB A A B C D EF N 1图 1 23 4 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 8 / 10 2、有以线段中点
10、为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全 等三角形。 例： ：如图 2：AD 为ABC的中线，且 12，34，求证： BE CF EF 练习：已知 ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证 EF 2AD 。 3、延长已知边构造三角形： 例如：如图 6：已知 AC BD ，AD AC于 A ，BC BD于 B， 求证： AD BC 2图 A B C D EF M 1 23 4 A BCD E F 4图 A B CD E 6图 O 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 9 / 10 4、连接
11、四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解 决。 例如：如图 7：AB CD ，AD BC 求证： AB=CD 。 5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 8：在 RtABC中，AB AC ，BAC 90， 12，CE BD 的延长于 E 。求证： BD 2CE 6连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD相交于 O点，且 ABDC ，AC BD ，求证： A D。 A BC D 7图 1 2 3 4 D CB A 110图 O 人教版八年级上册几何证明 -常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法（无答案） 10 / 10 九、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图 10：AB DC ， AD 求证： ABC DCB 。 10图 D C B A M N