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1、数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 1 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章勾股定理 1、勾股定理 -已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即 222 cba 2、勾股定理的逆定理-由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a，b，c 有关系 222 cba，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数 ：满足 222 cba的三个正整数a，b， c，称为勾股数。 常见的勾股数有： （6,8,10 ） （3,4,5 ） （5,12 ，,13 ） （9,12,15 ） （7,24,25 ） （9,40,41 ） 规律：（1） 、短直角
2、边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且ab 时，如果 2 bca，那么 a,b,c就是一组勾股数. 如： （3,4,5 ） （5,12 ，,13 ） （7,24,25 ） （ 9,40,41 ） （2）大于 2 的任意偶数， 2n(n 1) 都可构成一组勾股数分别是： 22 2 ,1,1n nn 如： （6,8,10 ） （8,15,17 ） （10,24,26 ） 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/ 斜边上的高线/ 周长 / 面积 （ 2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/ 斜边上的高线/
3、 周长 / 面 积 （3）判定三角形形状： 222 abc锐角三角形， 222 abc直角三角形， 222 abc钝角三角形 判定直角三角形 a 找最长边； b. 比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c. 确定形状 第二章实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 2 2 0 2 00 00 2 2 3 3 . . 无理数的表示 算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即 那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为， 算术平方根为非负数 平方根 正数的平方根有个，它们互为相反数 的平方根是 负数没有平方根 定义：如果一个数的平
4、方等于，即，那么这个数就 叫做的平方根，记为 立方根 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 的立方根是 定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数 就叫做的立方根，记为 xaxa xaa a axa aa xaxax aa 3 0 .实数及其相关概念 概念有理数和无理数统称实数 分类 有理数 无理数 或 正数 负数 绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 数有限小数与无限循环小 负有理数 正有理数 有理数 实数 0 负实数 正实
5、数 实数 0 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 3 2、无理数： 无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 3 2,7等根号 a（a为非完全平方数或非立方数）。 （2）有特定意义的数，如圆周率（=3.14159265 )，或化简后含有 的数，如 3 +8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001 ； 0.585885888588885 (相邻两个 5 之间 8 的个数 逐次加 1 等； （4）某些三角函数值，如sin60 o 等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对
6、数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数 轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与 b 互为相反数，则有a+b=0，a= b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上， 一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a| 0） 。零的绝对值是它本 身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则 a0；若 |a|=-a ，则 a0。 3、倒数 如果 a与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1 和-1 。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不 可） 。 数学（八年级上
7、册）知识点总结（北师大版） 4 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算. 注意： （1）近似计算时，中间过程要多保留一位； （2）要求记忆： 414.12 732.1323 6.25 . 三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根和算术平方根： （1）概念：如果 2 xa，那么x是a的平方根，记作：a；读作“正、负根号a” ， 其中a叫做a的算术平方根，读作根号a。 （2）性质：当a0 时，a0；当a时，a无意义； 2 a a ； 2 aa。 （区分、） 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 性质：一个正数有两个平方根，它们
8、互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 注意：a的双重非负性： 0 0 a a （开平方的被开方数的条件） （算术平方根的非负性） 2立方根： （1）概念：若 3 xa，那么x是a的立方根（或三次方根），记作： 3 a； （2）性质： 33 aa； 3 3 aa； 3 a 3 a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意： 33 aa， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 区分： 平方根 、立方根的性质 根源： 开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只
9、有非 负数才可以开平方，因此一个非0 正数开平方后有2 个；而任何数的立方后的符号与原数的 符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1 个，符号与原数的符号也一 致。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 5 边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表 示的数大。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b 是实数， ,0baba,0babababa
10、0 （3）求商比较法：设a、b 是两正实数，;1;1;1ba b a ba b a ba b a （4）绝对值比较法：设a、b 是两负实数，则baba。 （5）平方法 ： 设0,0ab，则 22 abab 设0,0ab，则baba 22 。 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。 如：比较 3 6 2 与3.4；3 6与53 （ 6）倒数法 ：设0,0ab，则 11 ab ab ；设0,0ab，则 11 ab ab 规律：同号取倒（数）反向 五、算术平方根有关计算（二次根式） 1、含有二次根号“” ；被开方数a必须是非负数，即：0aa中。 2、性质： （1）非负性0a
11、 （2）)0()( 2 aaa（ 2 a中前提，被开方数0a） （3）aa 2 ,(0) ,(0) a a a a （ 2 a中隐含被开方数 2 0a） （4）)0,0(babaab； （)0,0(baabba） （前提根号要有意义） 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 6 （5）)0,0(ba b a b a ； （)0, 0(ba b a b a ） （前提式子和根号要有意义，） 拓展：三个重要非负数： 2 0,0,0aaa.注意： 非负数之和为0 它们都是0. 3、运算结果若含有“a”形式，必须满足： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开 方数中不含能开得尽方的因数或
12、因式 六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方 （2）实数的运算顺序 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3）运算律 加法交换律abba 加法结合律)()(cbacba 乘法交换律baab 乘法结合律)()(bcacab 乘法对加法的分配律acabcba)( （ 4） 与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完 全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数， 即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实
13、数填满。 第三章位置的确定 一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和 y 轴统称坐标 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 7 四三 二一 0x y 0x y P a b (+,-) (-,-) (-,+) (+,+) 0 x y B A C D x2 y2 x3 y3 y1 x1 x4 y4 0 x y A(x1,0) D(0,y4) B(0,y2) C(x3,0)
14、45 45 0 x y B A C D 轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第 一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意： x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点P,过点 P分别 x 轴、 y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、 y 轴对应的数a，b 分 别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。 点的坐标用（a， b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间 有“，”分开，横
15、、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对， 当 ba 时， （a， b）和（ b，a）是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 （1） 、各象限内点的坐标的特征 （结合图形，过点P分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数, x y在坐标轴的正 向为正，负向为负） 点 11 (,)Axy在第一象限 11 0,0xy 点 22 (,)Bxy在第二象限 22 0,0xy 点 33 (,)Cxy在第三象限 33 0,0xy 点 44 (,)Dxy在第四象限 44 0,0xy （2） 、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y) 在
16、 x 轴上0y，x 为任意实数 点 P(x,y) 在 y 轴上0x，y 为任意实数 点 P(x,y) 既在 x 轴上，又在y 轴上x，y 同时为零，即点P坐标为（ 0，0）即原点 （3） 、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y) 在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x 与 y 相等 点 P(x,y) 在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 （4） 、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 8 0 x y FE G H 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 （5） 、关于 x
17、 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P与点P关于 x 轴对称 （上下）横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点为P（x，-y ） 点 P与点P关于 y 轴对称 （左右）纵坐标相等，横坐标互为相反数， 即点 P（ x，y）关于 y 轴的对称点为P（-x ，y） 点 P与点P关于原点对称横、纵坐标均互为相反数， 即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P （-x ，-y ） 规律： 关于谁对称谁不变，另一个变相反； 关于原点对称，两个分别变相反。 (6) 、点到坐标轴及原点的距离（结合图形理解） 点 P(x,y) 到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)
18、到 x 轴的距离等于y （2）点 P(x,y) 到 y 轴的距离等于x （3）点 P(x,y) 到原点的距离等于 22 yx（由勾股定理可得） 三、坐标变化与图形变化的规律： 坐标（ x ， y ）的变化图形的变化 x a 或 y a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a 倍 x a ，y a 放大（缩小）为原来的 a 倍 x （ -1 ）或y （ -1 ）关于 y 轴或 x 轴对称 x （ -1 ），y （ -1 ）关于原点成中心对称 xa或ya，其中0a 沿 x 轴（）左（ +）右或 y 轴（ +）上（）下 平移 a 个单位 xa，ya，其中0a 沿 x 轴（）左（+）右平移 a 个单位，
19、 再沿 y 轴 （+）上（）下平移 a 个单 0 x y P(x,y)P(-x,y) x-x 0 x y P ( x ,y ) P ( x ,- y ) y - y 0 x y P(x,y) P(-x,-y) y -y x -x 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 9 第四章一次函数 一、函数： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值， 那么我们称y 是 x 的函数，其中x 是自变量， y 是因变量。 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 一般从 整式 （取全体实数） ，分式 （分母不为0） 、二
20、次根式（偶次根式） （被开方数为非负数） 、 实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法及其优缺点 （1）关系式（解析）法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表 示法叫做关系式（解析）法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接
21、起来。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，若两个变量x，y 间的关系可以表示成bkxy（k，b 为常数， k0）的形式，则 称 y 是 x 的一次函数（ x 为自变量， y 为因变量）。 特别地，当一次函数bkxy中的 b=0 时（即kxy） （ k 为常数， k0） ，称 y 是 x 的正比 例函数。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 10 3 2 1 0 0 0. 0k b b b 3 2 1 0 0 0. 0k b b b 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 、一次函数bkxy的图像是经过
22、点（0，b）的直线；正比例函数kxy的图像是经 过原点（ 0，0）的直线。 、由于一次函数ykxb的图象是一条直线，所以一次函数ykxb的图象也称为直 线ykxb。 、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数ykxb的图象时，只要描出：与x轴的交 点（令0y，求出 b x k ） ，与y轴的交点（令0x，求出yb） ，即（ (0, ),(,0) b b k 两点即可，画正比例函数ykx的图象时，只要描出点（0，0） ， （1，k）即可。 、k的正负决定直线的倾斜方向 ，k的大小决定直线的倾斜程度 ，即k越大，直线与x轴相 交的锐角度数越大（直线陡），k越小，直线与 x 轴的相交的锐角度数越小（直
23、线缓）。 、b的正负决定直线与y轴交点的位置。 当0b时，直线与y轴的交于正半轴上。当0b时，直线与y轴交于负半轴上。 当0b时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 4、一次函数、正比例函数的图象和性质。 当k0 时，y随x的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势； 当k0 时，y随x的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。 函数图象性质 一次函数 ykxb （1）当0k时，y随x的增大而增 大，图象必经过一三象限。 0b 时，过一二三象限 0b 时，只过一三象限 0b时，过一三四象限时 （2）当 0k 时，y随x的增大而减 小，图象必过二四象限。 0b 时，过一二四象限 0b
24、 时，只过二四象限 0b 时，过二三四象限 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 11 正比例函数 ykx x y y x 0 0 图象过原点 当0k时，y随x的增大而增大， 图象必过一三象限 当0k时，y随x的增大而减小， 图象必过二四象限。 5、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kxy（k0）中的常数k。确定一个一 次函数，需要确定一次函数定义式bkxy（k0）中的常数k 和 b。解这类问题的一般方法是 待定系数法。 （1） 、确定正比例函数及一次函数表达式的条件 由于正比例函数(0)ykx k中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对
25、, x y的值或一 个点）就可求得k的值。 由于一次函数(0)ykxb k中有两个待定系数, k b，需要两个独立的条件确定两个关于,k b 的方程，求得,k b的值，这两个条件通常是两个点或两对 , x y的值。 （2）待定系数法 先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。 （3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 设函数表达式为ykxb。 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 求出kb与的值，得函数表达式。 6、一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数， k0）的形式而一次函数解 析
26、式形式正是y=kx+b（k、b 为常数， k0） 当函数值0y时，?即 kx+b=0 就与一元一次方程完全 相同 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b 为常数， k0）的形式所以解一元一 次方程可以转化为：当一次函数值0y时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 12 7、一次函数ykxb的图象与坐标轴交点求法： 与x轴的交点：令0y，求出 b x k ，得(,0) b k ； 与y轴的交点：令0x，求出yb，得(0, )b 第五章二元一次方程组 1、二元一次方程 含有两个未知数
27、，并且所含未知数的项的次数都是1 的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 4 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 5、二元一次方程组的解法 （1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 （无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”， 所谓之“消元” ） 6、一次函数与二元一次方程（组）的关系： （1）一次函数与二元一次方程的关系： 每个二元一次方
28、程都可以看成一次函数，直线 y=kx+b 上任意一点的坐标(, )m n都是它所对应的 二元一次方程0kxyb的解 xm yn （2）一次函数与二元一次方程组的关系： 求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。 二元一次方程组 111 222 a xb yc a xb yc 的解 xm yn 可看作两个一次函数 11 11 ac yx bb 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 13 和 22 22 ac yx bb 的图象的交点(, )m n。反之，可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次 函数图象的交点 当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）
29、平行即无交点时， 说明相应的二元一次方程组无解。 7、在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤： 设未知数 （在设未知数时，大多数情况只要设问题为x或y；但也有时也须根据已知条件及等量 关系等诸多方面考虑） ； 寻找等量关系 （一般地， 题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列 出方程）。 8、 处理问题的过程可以进一步概括为： 解答 检验 求解 组方程 抽象 分析 问题)( 第六章数据的代表 1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数 2、平均数 （1）平均数：一般地，对于n 个数, 21n xxx我们把)( 1 21n xxx n 叫做这 n 个数的
30、算术平均数，简称平均数，记为x。 （2）加权平均数： 、一组数据, 21n xxx的权分加为 123 , n w www，则称 112233 123 nn n x wx wx wx w wwww 为这 n个数的加权平均数。 （如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而三 项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为： 72 450 388 1 431 ） 数学（八年级上册）知识点总结（北师大版） 14 、如果n个数中， 1 x出现 1 f次， 2 x出现 2 f次， k x出现fk次（ 1 2 f fn k f） ， 那么这n个的平均数可表示为 1 122 xf
31、xfxf kk x n ，这样的平均数x叫加权平均数，其中 12 , k fff叫做权。 如：某小组在一次数学测试中，有3 人为 85 分， 2 人为 90 分， 5 人为 100 分，则该小组的平均分 为： 85 390 2100 5 93.5 325 3、众数 众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。 4、中位数 中位数指的是n 个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间位置的一个数据 （或最中间两个数据的平均数）。 众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数 首先 要将数据按大小顺序排列，而且要注意当 数据个数为 奇数时 ，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时 ，居于中间的两个数据的 平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。