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1、因式分解的方法介绍 一、教学目标 1、知识目标 掌握因式分解的一些技巧, 并会运用解决实际相关问题. 2、能力目标 培养学生观察 , 比较,类推的能力 . 3、情感目标 激发学生探究数学的动力 , 提高学生学习数学方法技巧的兴趣. 二、教学重点难点 因式分解的技巧及其应用 三、教学方法 教师引导学生为主 四、教学过程 引入: 我们知道因式分解的常见方法有：提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法。( 对以上四种 方法通过提问学生来回忆旧知) 除了这四种常见的方法外，在数学竞赛中还要用到下面的一些方法，现例析如下： 一. 推广了的十字相乘法 根据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含
2、有字母的式子，可将较为复杂的多项式分解因式。 例分解因式： 22 6136xxyyxy ( 希望杯赛题 ) 解:原式 =(x 2+xy-6y 2)+(x+13y)-6 (提示学生为什么要这样合并 = (x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6 关键在于 x2+xy-6y 2可以分解 ) =(x+3y-2)(x-2y+3) 教学过程注意分析 : x+3y -2 3(x+3y)-2(x-2y) =x+13y x-2y 3 练习题 ：分解因式： 22 4x -4x-y +4y=3 (02 年重庆赛题 ) 二. 延拓了的公式法 在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式： (教学过程 :
3、 给出平方差公式 ,立方和与立方差公式 , 并作一定形式上的分析: 22 ()()xyxyxy 3322 ()()xyxyxxyy) 123221 ()() nnnnnnn xyxy xxyxyxyy 123221 ()() nnnnnnn xyxy xxyxyxyy 例已知乘法公式： 55432234 a +b =(a+b)(a -a b+a b -ab +b ) 55432234 a -b =(a-b)(a +a b+a b +ab +b ) 利用或者不用上述公式分解因式： 8642 x +x +x +x +1 ( 祖冲之杯赛题 ) 分析: 题目对比 55432234 a -b =(a-b
4、)(a +a b+a b +ab +b ) , 发现跟 432234 (a +a b+a b +ab +b ) 的类似找出规律 . 解: 102528642 x-1=(x ) -1=(x -1)(x +x +x +x +1) 1055 8642 2 x-1(x -1)(x +1) x +x +x +x +1= x -1(x-1)(x+1) 432432 432432 (x-1)(x +x +x +x+1) (x+1)(x -x +x -x+1) = x-1x+1 =(x +x +x +x+1)(x-x +x -x+1) 练习题 ：分解因式： 2315 1+x +x +x 三. 拓展了的分组分解
5、法 拆项（分组）法 把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法。 例分解因式： 42 x -7x +1 ( 祖冲之杯赛题 ) 解: 422222 222 22 =x +2x +1-9x (-7x-9x +2x ) =(x +1) -(3x) =(x +1+3x)(x+1-3x) 原式即把拆成 添项（分组）法 在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法。 例分解因式： 612 3x -x-1 6612 6126 3262 3636 :=x +2x -x -1 = x -(x -2x +1) =(x ) -(x -1) =(x -x +1)(x +x -1
6、) 解 原式 练习： 432 x +2x +3x +2x+1 (02 年河南赛题 ) 3 x -9x+8 ( 祖冲之杯赛题 ) 四. 换元法 换元法是一种重要的数学方法，在分解因式时，通过将原式的代数式用字母代替后，达到简化原式结构的目 的 例 1 分解因式： 2 (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x ( 天津赛题 ) 2 2 22 :=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)+x =(x +7x+6)(x+5x+6)+x 解 原式 2 m=x +6 令 2 22 2 22 22 =(m+7x)(m+5x)+x =m +12xm+36x =(m+6x) =(x +6+6x) =( x
7、+6x+6) 原式 例2 分解因式： 21 xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+)-(x+y-1) 2 （天津赛题） 22 : x+y=a,xy=b, =(b +2b+1)-a =(b+1+a)(b+1-a)=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y) =(x+1)(y+1)(x-1)(y-1) 解 设 原式 练习：分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 (x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1) ( 希望杯赛题 ) 五主元法： 主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数。重新按主元排列多项式，排除非主 元字母的干扰，从而简化问题 例分解因式：
8、 32222 2x -x z-4x y+2xyz+2xy -y z （天津赛题） 2232 22 2 :=(2x-z)y +(2xz-4x )y+(2x -x z) =(2x-z)y +2x(z-2x)y+x (2x-z) =(2x-z)(x-y) 解 原式 练习： 44422222 x -2x y+x y -2x +y -2x y +2y+1 六构造法 构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用到。在分解因式时，通过适当的构造，可简化 分解的难度。 例分解因式： 22 x +2xy-8y +2x+14y-3 22 :=x +2(y+1)x-8y +14y-3 解原式 1212 =
9、0, x +x =-2(y+1) (x ,xx)令原式其中分别为关于的方程两根 12 x =-(y+1)+k,x =-(y+1)-k () 设构造对偶式 2 22 12 22 12 xx =(y+1) -k =-8y +14y-3 k =(3y-2) ,x =2y-3,x =-4y+1 =(x-2y+3)(x+4y-1) 又 得 原式 练习： 分解因式： 22 x +5xy+x+3y+6y ( 河南赛题 ) 七待定系数法 待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后 根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。 例分解因式： 333
10、 x +y +z -3xyz 解：因为原式为轮换对称式，其分解后的因式也必然是轮换对称式。当x=-(y+z) 时，原式=0。所以原式含有 （x+y+z）的因式。余下的必为2 次对称式，设成 222 m(x +y +z )+n(xy+zy+zx) 333222 x +y +z -3xyz=(x+y+z)m(x+y +z )+n(xy+yz+zx) 比较三次项系数得m=1 又当 x=1,y=0,z=1 时 得：2=2（2+n） n=-1 222 =(x+y+z)(x+y +z -xy-yz-zx) 原式 练习：若 32 x +ax +bx+8有两个因式 x+1 和 x+2, 求（a+b）的值， （
11、武汉赛题） 八配方法 配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式。 例分解因式： 422 x +x +2ax+1-a（哈尔滨赛题） 4222 222 22 :=x +2x +1-x +2ax-a =(x +1) -(x-a) =(x +1+x-a)(x +1-x+a) 解 原式 练习 ： （ 22242 (1+y) -2x (1+y )+x (1-y) () 扬州赛题 九整体法 整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母来对待，从而便于因式分解的一种方法。 例分解因式： 42424 (x -4x +1)(x +3x +1)+10x (
12、)五羊杯赛题 分析：由于两个括号内都有 4 (x +1), 我们把 4 (x +1)看作一个整体，当作是一个字母来分解因式。 42424 422244 42244 4242 2242 2222 :=(x +1)-4x (x+1)+3x +10x =(x +1) -x (x +1)-12x +10x =(x +1) -x (x +1)-2x =(x +1-2x )(x +1+x ) =(x -1) (x +x +1) =(x+1) (x-1) (x +x+1)(x-x+1) 解 原式 十综合方法 我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问题。对上述方 法要灵活的运用。 例分解因式： 333 (x-2) -(y-2) -(x-y) ( 五羊杯赛题 ) 解：令 m=x-2,n=y-2 m-n=x-y 333 223 2222 =m -n -(m-n) =(m-n)(m +mn+n )-(m-n) =(m-n)(m +mn+n -m +2mn-n ) =3(m-n)mn =3(x-2)(y-2)(x-y) 原式 注：此题在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式的。 练习 ：分解因式： 333 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)