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1、动点问题 所谓“动点型问题 ”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开 放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键 :动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD 中，ADBC，B=90 ， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点 P 从 A 开始沿AD 边以 1cm/ 秒的速度移动，点Q 从 C 开始沿CB 向点 B 以 2 cm/ 秒的速度移动， 如果P，Q 分别从A，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当 t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2
2、、如图 2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边 DC 上，且DM=1 ，N 为对角线AC 上任意 一点，则DN+MN 的最小值为5 3、如图，在Rt ABC 中，ACB 90 ，B 60 ，BC 2点O是AC 的中点，过 点O的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB 边于点D 过点C作 CE AB交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为 （ 1）当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD 的长为； 当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为； （ 2）当90 时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由 l E C 解：（1）30， 1；60， 1.5；
3、O 0 （ 2）当 =90 时，四边形EDBC 是菱形 . = ACB=90 0 ，BC/ ED. CE/ AB, 四边形EDBC 是平行四边形 AB D 在 Rt ABC 中，ACB=90 0 ，B=60 0 ,BC=2, A=30 0 . AB=4,AC=2 3 . AO= 1 2 AC = 3 .在 Rt AOD 中，A=30 0 ，AD=2. O C BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC 是平行四边形，A B （备用图） 四边形EDBC 是菱形 4、在 ABC 中， ACB=90 ，AC=BC ，直线MN 经过点C，且 AD MN 于 D， BE MN 于 E. M D C M
4、C M C E N D E A 图 1 B A B E N 图 2 A N D 图 3 B (1)当直线MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADC CEB ； DE=AD BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图 3 的位置时，试 问DE 、 AD、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明. 解：（1） ACD= ACB=90 CAD+ ACD=90 BCE+ ACD=90 CAD= BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD ， CD=BE DE=CE+CD=
5、AD+BE (2) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE 又AC=BC ACD CBE CE=AD ， CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当 MN 旋转到图 3 的位置时，DE=BE-AD( 或 AD=BE-DE ， BE=AD+DE 等 ) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE ，又AC=BC ， ACD CBE ， AD=CE ， CD=BE ， DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上， 张老师出示了问 题：如图1，四边形ABCD 是正方形， 点E 是边BC 的中点AEF 90 ， 且EF 交正方形外角DCG 的平行线CF 于点F，求证：A
6、E=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路 ：取AB 的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 AME ECF ，所以AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研 究： （ 1）小颖提出：如图 2，如果把 “ 点E 是边BC 的中点 ” 改为“ 点E 是边BC 上（除B，C 外）的 任意一点 ” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF” 仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写 出证明过程；如果不正确，请说明理 由； （2）小华提出：如图 3， 点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结 论 “AE=EF” 仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程
7、；如果不正确，请说明理由 解：（1）正确A D 证明：在AB M AM EC ME上取一点，使，连 接 A D F BM BE BME 45 AME 135， M CF DCF 45 ECF 135是外角平分 线， AME ECF B E AEB BAE 90 AEB CEF 90， BAE CEF A M E B C（F ASA ） A E E F （ 2）正确 F C G B E 图1 A 证明：在BA的延长线上取一点N 使AN CE ，连接NE BN BE N PCE 45 N 四边形ABCD 是正方形，ADBE A D DAE BEA N A E C E F F B A F ANEEC
8、F （ ASA ） AE EF B C E G B C E G 图3 6、如图, 射线MB 上 ,MB=9,A 是射线MB 外一点 ,AB=5 且 A 到射线MB 的距离为3,动点P 从 M 沿射线 MB 方向以1 个单位 / 秒的速度移动，设 P 的运动时间 为t. 求（ 1） PAB 为等腰三角形的t 值；（2） PAB 为直角三角形的t 值； （ 3）若 AB=5 且ABM=45 ，其他条件不变，直接写出PAB 为直角三角形的t 值 7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC，E是AB 的中点，过点E 作EF BC 交CD 于点 F AB 4，BC 6，B 60 .求：（1）求点E
9、到BC 的距离； （ 2） 点P为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF 交BC 于点M， 过M 作MN AB交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x . 当点N 在线段AD 上时（如图 2） ，P M N的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长；若 改变，请说明理由； 当点N 在线段DC 上时（如图 3），是否存在点P ，使PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由 A D N A D AD E F E P F E P N F B C B C M 图 1 图 2 B M 图 3 C （第 25 题） A D A D F E F E B
10、C C B 图 5 （备用） 图 4 （备用） 解（ 1）如图1，过点 E 作EG BC 于点GE为AB 的中点， 1 BE AB 2 2 在RtEBG中，B 60 ，BEG 30 1 2 2 BG BE 1， EG 2 1 3 2 即点E到BC的距离为3 AD （ 2）当点 N 在线段AD 上运动时，PMN 的形状不发生改变 PM EF，EG EF，PM EG EF EF BC，EP GM ，PM EG 3同理MN AB 4 如图2，过点P 作PH MN 于H，MN AB， NMC B 60 ，PMH 30 1 3 PH PM 2 2 3 MH PM cos30 则 2 3 5 NH MN
11、MH 4 2 2 B G 图 1 N A D P E H F C 在RtPNH 中， 2 2 2 2 5 3 PN NH PH 7 2 2 B G M 图 2 C PMN 的周长=PM PN MN 3 7 4 当点N 在线段DC 上运动时，PMN 的形状发生改变，但MNC 恒为等边三角形 当PM PN 时，如图3，作PR MN 于R，则MR NR 类似， 3 MR MN 2MR 3MNC 是等边三角形， MC MN 3 2 此时，x EP GM BC BG MC 6 1 3 2 A D A D A D N P P F E F（ P） E F E N R N B C B C B C G G M
12、G M M 图 5 图 3 图 4 当MP MN 时，如图4，这时MC MN MP 3此时，x EP GM 6 1 3 5 3 当NP NM 时，如图5，NPM PMN 30 则PMN 120 ，又MNC 60 ， PNM MNC 180 因此点P 与F重合，PMC 为直角三角形 MC PM tan30 1此时，x EP GM 6 1 1 4 综上所述，当x 2或4 或5 3 时，PMN 为等腰三角形 8、如图，已知 ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D 为AB 的中点 (1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由 C 点向
13、A 点运动 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后， BPD与 CQP 是否全等，请说明理由； 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少 时，能够使BPD与 CQP 全等？ （ 2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经 过多长时间点P 与点Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？ 解：（1）t 1秒，BP CQ 3 1 3厘米， A AB 10厘米，点D 为AB 的中点，BD 5厘米 D Q 又PC BC BP，BC 8 厘米，PC 8 3 5厘米，PC BD B C P 又
14、AB AC ， B C ，BPD CQP vP vQ ， BP CQ ， 又 BPD CQP ，B C ，则BP PC 4， CQ BD 5 ， t 点P，点Q 运动的时间 BP 4 3 3 v Q CQ t 5 15 4 4 3 秒，厘米 / 秒。 15 4 x 3x 2 10 x ，解得 80 3 （ 2）设经过x秒后点 P 与点Q 第一次相遇，由题意，得 秒 80 3 80 3 厘米80 2 28 24，点P、点Q 在AB 边上相遇，点P 共运动了 80 3 秒点P与点Q 第一次在边AB 上相遇 经过 9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4， BAD=120 ，AEF 为正三角形，点
15、E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且E、F 不与BCD 重合 （ 1）证明不论E、F 在BCCD 上如何滑动，总 有BE =CF； （ 2）当点E、F 在BCCD 上滑动时，分别探 讨四边形AECF 和 CEF 的面积是否发生变化？如果不 变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 【答案】解：（1）证明：如图，连 接AC 四边形ABCD为菱形，BAD=120 ， BAE+ EAC=60 ，FAC+ EAC=60 ， BAE= FAC。 BAD=120 ， ABF=60 。 ABC和ACD为等边三角形。 ACF=60 ，AC=AB。ABE= AFC。 在 ABE和 ACF中， B
16、AE=FAC，AB=AC， ABE= AFC， ABE ACF（ASA）。BE=CF。 （ 2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下： 由（ 1）得 ABEACF，则SABE=S ACF。 S 四边形 AECF=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC，是定值。 作AHBC于H点，则BH=2 ， 11 22 S四边形SBC AHBCABBH43。 AECFABC 22 由“ 垂线段最短” 可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直 时，边AE最短 故 AEF的面积会随着AE的变化而变化，且 当AE最短时，正三角形AEF的面积会 最小， 又S CEF=S四边形
17、AECFS AEF，则此时 CEF的面积就会最大 SCEF=S 四边形 AECFS AEF 1 22 43232 333 2 。 CEF的面积的最大值是3。 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性 质。 【分析】（ 1）先求证AB=AC，进而求证 ABC、ACD 为等边三角形，得ACF =60 ，AC=AB，从 而求证ABE ACF，即可求得BE=CF。 （ 2）由 ABEACF 可得S ABE =S ACF ，故根据S 四边形 AEC F= S AEC +S ACF=SAEC+ S ABE=S ABC 即可得四边形AECF 的面积是定值。当
18、正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短 AEF 的 面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，根据S CEF =S 四边形AECF SAEF ，则CEF 的面积就会最大。 10、如图，在 AOB 中， AOB=90 ， OA=OB=6 ，C 为 OB 上一点， 射线CDOB 交 AB 于点 D， OC=2 点 P 从点A 出发以每秒个单位长度的速度沿AB 方向运动，点Q 从点C 出发以每秒2 个单位长度的速 度沿CD 方向运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达到点B 时停止运动，点Q 也随之停止过点P 作 PE OA 于点 E， PF O
19、B 于点 F ，得到矩形PEOF 以点Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ， 斜边MN OB，且MN=QC 设运动时间 为t （单位：秒） （ 1）求 t=1 时 FC 的长度 （ 2）求MN=PF 时 t 的值 （ 3）当 QMN 和矩形PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与 t 的函数关系式 （ 4）直接写出 QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值 考点 ： 相似形综合题 分析：（ 1）根据等腰直角三角形，可得， OF=EP=t ，再将t=1 代入求出FC 的长度； （ 2）根据MN=PF ，可得关于t 的方程6t=2t ，解方程即可求解； （ 3）
20、分三种情况：求出当1 t 2 时；当2 t 时；当 t 3 时；求出重叠（阴影）部分图形面 积 S 与 t 的函数关系式； （ 4）分 M 在 OE 上；N 在 PF 上两种情况讨论求得QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点 时 t 的值 解答：解：（1）根据题意，AOB 、 AEP 都是等腰直角三角形 ，OF=EP=t ， 当 t=1 时， FC=1 ； （ 2） AP= t， AE=t ， PF=OE=6 t MN=QC=2t 6t=2t 解得 t=2 故当 t=2 时， MN=PF ； （ 3）当 1 t 2 时， S=2t 2 4t+2 ； 当 2 t 时， S=t 2 +30t 32； 2 当t 3 时， S=2t +6t ； （ 4） QMN 的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或 点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数 思 想 ， 方程 思想，分类思想的运用，有一定的难度 您好，欢迎您阅读我的文章，本WOR文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。