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1、思维特训 (十一 )相似三角形中的辅助线作法归类 在添加辅助线时， 所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形， 或得到成比例的线段， 或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系 作辅助线的方法主要有以下几种： (1)作平行线构造“ A” 型或 “ X”型相似； (2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似 图 11S 1 类型一作平行线构造 “ A”型或 “ X” 型相似 1 如图 11S2，已知平行四边形ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，E 为 AB 延长线 上一点 ，OE 交 BC 于点 F， 若 AB a，BCb， BEc，求 BF 的长 图
2、11S 2 2 如图 11S3，在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线 ，CF 为任一直线 ， CF 交 AD 于点 E， 交 AB 于点 F. 求证： AE DE 2AF BF . 图 11S 3 3在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11S4， 在 ABC 中 ，D 是 BA 延长线上一动点，点 F 在 BC 上 ，且CF BF 1 2，连接 DF 交 AC 于点 E. (1)如图 ，当 E 恰为 DF 的中点时 ，请求出 AD AB的值； (2)如图 ，当 DE EF a(a0)时， 请求出 AD AB的值 (用含 a 的代数式表示 ) 思考片刻后 ，同学们纷纷表达
3、自己的想法： 甲：过点F 作 FGAB 交 AC 于点 G，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作 FGAC 交 AB 于点 G，构造相似三角形解决问题； 丙：过点D 作 DGBC 交 CA 的延长线于点G，构造相似三角形解决问题 老师说：“这三位同学的想法都可以” 请参考上面某一种想法，完成第 (1)问的求解过程 ，并直接写出第(2)问中 AD AB的值 图 11S 4 类型二作平行线转换线段的比 4 如图 11S5，B 为 AC 的中点 ，E 为 BD 的中点 ， 求AF AE的值 图 11S 5 5 如图 11 S6，已知等边三角形ABC，D 为 AC 边上的一动点 ，CDnDA，连接
4、 BD，M 为线段 BD 上一点 ，AMD60，连接 AM 并延长交BC 于点 E. (1)若 n1，则 BE CE_， BM DM _； (2)若 n2，如图 ，求证： BM6DM； (3)当 n_时，M 为 BD 的中点 (直接写出结果 ， 不要求证明 ) 图 11S 6 62017 朝阳已知： 如图 11S7，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，E 是 BC 的延长线上一点， 且 ADCE，连接 DE 交 AC 于点 F. (1)猜想证明：如图，在 ABC 中，若 ABBC，学生们发现： DFEF.下面是两位学生的证 明思路： 思路 1：过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G，可通
5、过证 DFG EFC 得出结论； 思路 2：过点 E 作 EHAB，交 AC 的延长线于点H，可通过证 ADF HEF 得出结论 请你参考上面的思路，证明 DF EF(只用一种方法证明即可) (2)类比探究：在 (1)的条件下 (如图 )，过点 D 作 DMAC 于点 M，试探究线段AM，MF ，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论 (3)延伸拓展：如图， 在 ABC 中 ，若 ABAC，ABC2BAC， AB BCm， 请你用尺规作 图在图中作出AD 的垂直平分线交AC 于点 N(不写作法 ，只保留作图痕迹)，并用含 m 的代数式 直接表示 FN AC的值 图 11S 7 类型三作垂直证
6、相似 7如图 11S8，在 ABC 中，C90，D 为边 AB 的中点 ，M，N 分别为边 AC，CB 上 的点 ，且 DM DN. (1)求证： DM DN BC AC； (2)若 BC6，AC 8, CM5，直接写出CN 的长 图 11S 8 8 如图 11S9，在 ABC 中，D 是 BC 边上的点 (不与点 B，C 重合 )，连接 AD. 问题引入： (1)如图 ，当 D 是 BC 边的中点时 ，SABDSABC_；当 D 是 BC 边上任意一点时 ， SABDSABC_(用图中已有线段表示 ) 探索研究： (2)如图 ，在 ABC 中，O 是线段 AD 上一点 (不与点 A，D 重合
7、 )，连接 BO，CO，试猜想 S BOC与 SABC之比应该等于图中哪两条线段之比 ，并说明理由 拓展应用： (3)如图 ，O 是线段 AD 上一点 (不与点 A，D 重合 )，连接 BO 并延长交AC 于点 F，连接 CO 并延长交 AB 于点 E.试猜想 OD AD OE CE OF BF 的值 ，并说明理由 图 11S 9 9 如图 11 S10，已知一个直角三角形纸片ACB，其中 ， ACB90，AC4，BC3， E，F 分别是 AC，AB 边上的点 ，连接 EF. (1)如图 ， 若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠 ， 折叠后点 A 落在 AB 边上的点D 处， 且 S四
8、边形 ECBF3SEDF，则 AE_； (2)如图 ， 若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠 ， 折叠后点A 落在 BC 边上的点M 处， 且 MF CA，求 EF 的长； (3)如图 ，若 FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N，CN1， CE4 7，求 AF BF的值 图 11 S10 详解详析 1 解： 如图 ，过点 O 作 OMBC 交 AB 于点 M. O 是 AC 的中点 ，OMBC， M 是 AB 的中点 ，即 MB 1 2a， OM 是 ABC 的中位线 ， OM1 2BC 1 2b. OMBC， BEF MEO， BF MO BE ME ， 即 BF 1 2b c
9、a 2c ，BF bc a2c. 2 证明： 如图 ，过点 D 作 DGCF 交 AB 于点 G. DGCF，D 为 BC 的中点 ， G 为 BF 的中点 ，FG BG1 2BF. EF DG， AE DE AF GF AF 1 2BF 2AF BF . 3 解： (1)甲同学的想法：如图，过点 F 作 FG AB 交 AC 于点 G， AED GEF， AD GF ED EF . E 为 DF 的中点 ，EDEF，ADGF. FGAB， CGF CAB， GF AB CF CB. CF BF 1 2， CF CB 1 3， AD AB GF AB CF CB 1 3. 乙同学的想法：如图，
10、过点 F 作 FGAC 交 AB 于点 G， AD AG ED EF . E 为 DF 的中点 ，EDEF，ADAG. FGAC， AG AB CF CB. CF BF 1 2， CF CB 1 3， AD AB AG AB CF CB 1 3. 丙同学的想法：如图，过点 D 作 DGBC 交 CA 的延长线于点G， C G，CFE GDE， GDE CFE， GD CF ED EF . E 为 DF 的中点 ， EDEF， GDCF. DGBC， C G，B ADG， ADG ABC， AD AB DG BC. CF BF 1 2， CF BC 1 3. AD AB DG BC CF BC
11、1 3. (2)如图 ，过点 D 作 DGBC 交 CA 的延长线于点G， C G，CFE GDE， GDE CFE， GD CF ED EF . DE EF a， EDaEF， DGaCF. DGBC， C G，B ADG， ADG ABC， AD AB DG BC. CF BF 1 2， CF BC 1 3，即 BC3CF. AD AB DG BC aCF 3CF a 3. 4 解： 取 CF 的中点 G，连接 BG. B 为 AC 的中点 ， BG AF 1 2 ，且 BGAF. 又 E 为 BD 的中点 ，F 为 DG 的中点 ， EF BG 1 2， EF AF 1 4， AF AE
12、 4 3. 5 解： (1)当 n1 时， CDDA. ABC 是等边三角形， BDAC，BAC60， ADM 90. 又 AMD 60， MAD 30， BAE BAC MAD 30， 即 BAE EAD， AE 为 ABC 的中线 ， BE CE1. 在 AMD 中，DM 1 2AM(30角所对的直角边等于斜边的一半 ) BAM ABM30 ，AMBM， BM DM 2. (2)证明： AMD ABD BAE60， CAE BAE60， ABD CAE. 又 BAAC，BAD ACE60 ， BAD ACE(ASA) ， ADCE，CDBE. 如图 ，过点 C 作 CFBD 交 AE 的延
13、长线于点F， FC BM CE BE AD CD 1 2， DM FC AD AC 1 3， 由得 DM BM 1 6，BM6DM. (3)M 为 BD 的中点 ，BMMD. BAD ACE， ADCE，CDBE. AMD ACE，BME BCD， AD AE MD CE ， BM BC ME CD ， ADMD AE CE ，CD BCME BM ， 由得CD 51 2 DA， n 51 2 . 6 解： (1)思路 1：如图 ，过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G. AB BC， A BCA. DGBC， DGA BCA，DGF ECF ， A DGA ，DADG. ADCE，DGC
14、E. 又 DFG EFC， DFG EFC， DF EF. 思路 2：如图 ，过点 E 作 EHAB，交 AC 的延长线于点H. AB BC， A BCA. EHAB， A H. ECH BCA， H ECH ，CEEH. ADCE，ADEH. 又 AFD HFE ， DFA EFH ， DF EF. (2)结论： MFAMFC.证明：如图， 由思路 1 可知： DA DG， DFG EFC， FGFC. DMAG， AM GM. MFFG GM， MFAM FC. (3)AD 的垂直平分线交AC 于点 N，如图所示 连接 DN，过点 D 作 DGCE 交 AC 于点 G.设 DGa，BCb，
15、则 ABAC mb，ADAG ma. ABC2BAC， 设 BACx，则 B ACB2x，5x180， x36， A36. NAND， A ADN36. ADG B72， NDG A36. 又 DGN AGD， GDN GAD， DG 2GN GA. 易知 DGDNANa， a2 (ma a) ma，两边同除以a，得 m2amaa0. DGCE， DGCEFGFCDG DA1m. CGmbma，FG 1 m1m(ba)， FNGNFGma a 1 m1m(ba) m 2aambma m1 mb m1， FN AC mb m 1 mb 1 m1. 7 解： (1)证明：如图 ，过点 D 作 DP
16、BC 于点 P，DQAC 于点 Q， DQM DPN 90. 又 C90 ，四边形CPDQ 为矩形 ， QDP90，即 MDQ MDP 90. DMDN， MDN 90，即 MDP NDP 90， MDQ NDP， DMQ DNP， DM DN DQ DP . D 为 AB 的中点 ，DQBC，DPAC， DQ 1 2BC，DP 1 2AC， DQ DP BC AC， DM DN BC AC. (2)由题意得AQCQ 4，MQCMCQ541， DQ1 2BC3， DP 1 2AC4. DMQ DNP， MQ NP DQ DP ， NP 4 3. 又 CPPB3，CN3 4 3 5 3. 8 解
17、： (1)12BDBC (2)猜想 SBOC与 SABC之比应该等于 ODAD. 理由：如图 ，分别过点O，A 作 BC 的垂线 OE，AF，垂足分别为E， F， OEAF， ODAD OEAF. SBOC1 2BCOE，S ABC 1 2BCAF， SBOCSABC 1 2BCOE 1 2BC AF OEAFOD AD. (3)猜想 OD AD OE CE OF BF 的值是 1.理由如下： 由(2)可知： OD AD OE CE OF BF SBOC SABC SBOA SABC SAOC SABC S BOCSBOASAOC SABC SABC SABC 1. 9 解： (1)将 ACB
18、 的一角沿EF 折叠 ，折叠后点A 落在 AB 边上的点D 处， EF AB，AEF DEF，SAEFSDEF. S四边形 ECBF3SEDF，SABC4SAEF. 在 RtABC 中， ACB90，AC4， BC3，AB5. EAF BAC，RtAEFRtABC， SAEF SABC (AE AB ) 2，即 (AE 5 ) 21 4，AE2.5. (2)连接 AM 交 EF 于点 O，如图 ， 将 ACB 的一角沿EF 折叠 ，折叠后点A 落在 BC 边上的点M 处 ，AEEM，AFMF， AFE MFE. MFCA， AEF MFE， AEF AFE，AE AF， AE EMMF AF，
19、 四边形AEMF 为菱形 设 AEx，则 EMx，CE4x. 四边形AEMF 为菱形 ， EMAB， CME CBA， CM CB CE CA EM AB ， 即 CM 3 4 x 4 x 5，解得 x 20 9 ， CM 4 3. 在 RtACM 中， AMAC 2CM24 10 3 . S菱形 AEMF 1 2EF AMAE CM， EF 2 4 3 20 9 410 3 4 10 9 . (3)如图 ，过点 F 作 FH BC 于点 H， ECFH， NCE NHF， CNNHCEFH ，即 1NH 4 7 FH ，FH NH47. 设 FH 4x，NH7x，则 CH7x 1，BH3(7x1)47x. FH AC， BFH BAC， BHBCFH AC，即 (4 7x)34x4，解得x 0.4， FH4x8 5，BH47x 6 5. 在 RtBFH 中，BF（ 6 5） 2（8 5） 22， AF ABBF523，AF BF 3 2.