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1、试卷第 1 页，总 5 页 历年高考专题汇编：函数与导数 12log510log50.25 A、0 B、1 C、2 D、4 2 2 2 (1 cos )x dx等于 ( ) A. B.2 C.-2 D.+2 3设 f(x) 为定义在R上的奇函数，当x 0 时， f(x)=2 x +2x+b(b 为常数 )，则 f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4 设定义在 R上的函数 fx满足213fxfx， 若12f， 则99f( ) （）13（）2（） 13 2 （） 2 13 75已知函数 3 ( )2 x f x， 1( ) fx是 ( )f x的反函数，若16mn（mn
2、+ R， ） ，则 11 ()( )fmfn的值为（） A2B1 C4 D10 6设正数a,b 满足4)( 2 2 lim baxx x , 则 nn nn nba aba 2 1 11 lim （） A0 B 4 1 C 2 1 D1 7已知函数y=13xx的最大值为M，最小值为m，则 m M 的值为 (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 8已知函数yx2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c （ A）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1 9已知以4T为周期的函数 2 1,( 1,1 ( ) 12 ,(1,3 mxx f x
3、 xx ，其中0m。若方程 3 ( )f xx恰有 5 个实数解，则m的取值范围为（） A 15 8 (, ) 33 B 15 (,7) 3 C 4 8 (,) 3 3 D 4 (,7) 3 10已知函数 2 ( )22(4)1f xmxm x，( )g xmx，若对于任一实数x，( )f x与 ( )g x至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 试卷第 2 页，总 5 页 A(0,2) B(0,8) C(2,8) D(,0) 11定义在 R上的函数)(xf既是奇函数， 又是周期函数，T是它的一个正周期. 若将方 程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为 （A）0 （B）1 （
4、C）3 （ D）5 12若函数( ),( )fxg x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足( )( ) x f xg xe，则有 （） A(2)(3)(0)ffgB(0)(3)(2)gff C(2)(0)(3)fgfD(0)(2)(3)gff 13设aR，若函数3 , ax yex xR有大于零的极值点，则 A3aB3aC 1 3 aD 1 3 a 14 设奇函数( )fx在(0)，上为增函数， 且(1)0f， 则不等式 ( )() 0 fxfx x 的 解集为（） A( 10)(1)，B(1)(0 1)， C(1)(1)，D( 1 0)(01)， 15函数 f(x)=)4323(1 1 22
5、xxxxn x 的定义域为 A(- , -4) 2,+ B(-4,0) (0,1) C -4,0（ 0，1） D 4，0（ 0，1） 16对于函数( )lg(21)f xx， 2 ( )(2)f xx，( )cos(2)f xx，判 断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)fx是偶函数； 命题乙：( )fx在()，上是减函数，在(2)，上是增函数； 命题丙：(2)( )fxf x在()，上是增函数 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（） 17设sinfxx，其中 0，则fx 是偶函数的充要条件是() （）01f（）00f（） 01f（） 00f 18设点P在曲线 1 2 x ye上，点Q
6、在曲线ln(2)yx上，则PQ最小值为（） A. 1ln 2 B. 2(1ln 2) C. 1ln 2 D. 2(1ln 2) 试卷第 3 页，总 5 页 19将函数21 x y的图象按向量a平移得到函数 1 2 x y的图象，则（） A( 11)，aB(11)，aC(11)，aD( 11)，a 20 函 数fx对 于 任 意 实 数 x满 足 条 件 1 2fx fx ， 若15,f则 5ff_。 21已知 t 为常数，函数txxy2 2 在区间 0 ，3 上的最大值为2，则t 22 直线 1y 与曲线 2 yxxa有四个交点， 则a的取值范围是. 23已知函数 1 1 2 x x y的图象
7、与函数2kxy的图象恰有两个交点，则实数k 的 取值范围是 _. 24设1a，若仅有一个常数c 使得对于任意的aax2,，都有 2 ,aay满足方程 cyx aa loglog，这时，a的取值的集合为. 25方程 x 2+ 2x1 0 的解可视为函数yx+2的图像与函数y 1 x的图像交点的横坐 标，若 x4+ax4 0 的各个实根 x1，x2， ，xk (k 4) 所对应的点 (xi ,4 xi)（i1,2, , k）均在 直线 y x的同侧，则实数a 的取值范围是. 26已知定义在R 上的奇函数( )f x满足(4)( )fxf x，且在区间0, 2上是增函 数 , 若方程 f(x)=m(
8、m0) 在区间8 , 8上有四个不同的根，则 1234 _.xxxx 27已知( )(2)(3)fxm xmxm，( )22 x g x，若同时满足条件： xR，( )0f x或( )0g x，(, 4),( )( )0xf x g x 则 m的取值范围是 28已知函数( )f x，( )g x分别由下表给出 则(1)f g的值为；满足 ( )( )f g xg f x的x的值是 x123 ( )f x131 x123 ( )g x321 试卷第 4 页，总 5 页 29 设函数 13 ( )ln1 22 f xaxx x ，其中在aR，曲线( )yfx在点(1,(1)f处 的切线垂直于y轴
9、（）求a 的值； （）求函数( )f x极值 30已知函数)1lg()(xxf. （ 1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围； （6 分） （ 2）若)(xg是以2 为周期的偶函数，且当 10x 时，有)()(xfxg，求函数 )(xgy)2, 1(x的反函数 .（8 分） 31 已 知a，b是 实 数 ， 函 数 ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf)(xf和)(xg是 )(),(xgxf的导函数， 若0)()(xgxf在区间 I 上恒成立， 则称)(xf和)(xg在区间 I 上单调性一致 （ 1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间), 1上单调性一致 , 求实数 b 的取值
10、范 围； （ 2）设,0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以a，b为端点的开区间上单调性一致， 求 |a-b| 的最大值。 32若函数)(xfy在 0 xx处取得极大值或极小值，则称 0 x为函数)(xfy的极 值点。已知ab，是实数， 1 和 1是函数 32 ( )f xxaxbx的两个极值点 （ 1）求a和 b 的值； （ 2）设函数( )g x的导函数( )( )2gxf x，求( )g x的极值点； （ 3）设( )( ( )h xff xc，其中 22c，求函数( )yh x的零点个数 33 （本小题满分14 分）设函数 2 ( )ln(1)f xxbx, 其中0b. (I) 当
11、1 2 b时, 判断函数( )f x在定义域上的单调性; (II)求函数( )f x的极值点 ; (III)证明对任意的正整数n, 不等式 23 111 ln(1) nnn 都成立 . 34 （1）已知函数( )(1) (0) r f xrxxrx，其中 r 为有理数，且01r. 求( )f x 的最小值； （ 2）试用（1）的结果证明如下命题：设 12 0,0aa， 12 ,b b 为正有理数 . 若 12 1bb， 则 12 121 122 bb a aa ba b ； 试卷第 5 页，总 5 页 （ 3）请将（ 2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法 证明你所推广的命题. 注：当为正
12、有理数时，有求导公式 1 ()xx. 35已知 a0，bR，函数 3 42fxaxbxa b ( ) 证明：当0x1 时， ( ) 函数fx 的最大值为 |2a b| a； ( ) fx |2a b| a0； ( ) 若 1 fx 1 对 x0 ，1 恒成立，求ab 的取值范围 36 （本题 15 分）设 3 ( ) 3 x f x，对任意实数t，记 2 3 2 ( ) 3 t gxt xt （ I ）求函数 ( )( ) t yf xg x的单调区间； （ II ）求证：（）当0x时，( )f x g( )( ) t f xg x对任意正实数t成立； （）有且仅有一个正实数 0 x，使得 0
13、0 ()() xt gxgx对任意正实数t成立 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 1 页，总 19 页 参考答案 1C 【解析】 2log510log50.25 log5100log50.25 log525 2 2D 【解析】 2 sin(sin)sin()2 2222 2 x xx x 原式. 故选 D. 3D 【解析】因为f(x)为定义在 R上的奇函数 , 所以有 0 f(0)=2 +20+b=0, 解得b=-1,所以 当x0时 , x f(x)=2 +2x-1, 即f(-1)=-f(1)= 1 2 +2 1-1 =-3-（）, 故选 D. 【命题意图】本题考查
14、函数的基本性质, 熟练函数的基础知识是解答好本题的关键. 4C 【解析】213fxfx且12f12f， 1313 3 12 f f ， 13 52 3 f f ， 1313 7 52 f f ， 13 92 5 f f ， 2 21 13 2 n fn n 为奇数 为偶数 ， 13 992 100 1 2 ff故选 C 【点评】此题重点考察递推关系下的函数求值； 【突破】此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 5A 【解析】由已知可得 1 2 1 log0fxx x，则 11 222 2loglog2log242fmfnmnmn，选 A 6B 【解析】： 2 2
15、 1 ()44242. 2 lim x a xaxbabab b 11 1 11 ()( ) 1 22 . 11 1 24 ( )2( )2 2 limlimlim nn nn nn nn nnn aa aa aab bb a ab a ba 【答案】 C 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 19 页 【解析】 定义域 10 31 30 x x x 13 1322 2 2 xx xx，当且 仅 当13xx即1x上 式 取 等 号 ， 故 最 大 值 为2 2M， 最 小 值 为2m， 2 2 m M 。 8A 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 因 为 2
16、 333(1)(1)yxxx, 所 以f(x)的 增 区 间 为 (, 1),(1,), 减区间为( 1,1), 所以 f(x)的极大值为f(-1),极小值为 f(1),因为函数y x 3 -3x+c 的图像与x 轴恰有两个公共点, 所以只须满足 ( 1)0 (1)0 f f ，即 130 1 30 c c , 所以22c. 选 A。 考点：导数在研究函数的极值和图像当中的应用. 点评：根据导数确定出其单调区间，从而得到其极大值，与极小值，然后函数yx 3 -3x+c 的图像与x 轴恰有两个公共点实质就是极大值大于零，极小值小于零. 9B 【解析】因为当( 1,1x时，将函数化为方程 2 2
17、2 1(0) y xy m ，实质上为一个半椭圆， 其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3x得图像， 再根据周期性作出函数其它部分 的图像， 由图易知直线 3 x y与第二个椭圆 2 2 2 (4)1(0) y xy m 相交， 而与第三个半椭 圆 2 2 2 (4)1(0) y xy m 无 公 共 点 时 ， 方 程 恰 有5个 实 数 解 ， 将 3 x y 代 入 2 2 2 (4 )1(0 ) y xy m 得 2222 (91)721350,mxm xm 令 2 9(0)tm t，则有 2 (1)8150txtxt 由 2215 (8 )4 15 (1)0,15,915,0
18、3 tt ttmmm得由且得 同样由 3 x y与第二个椭圆 2 2 2 (8)1(0) y xy m 由0可计算得7m 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 3 页，总 19 页 综上知 15 (,7) 3 m。 10 B 【解析】试题分析：当m 0 时，显然不成立, 当 m=0时，因 f （0）=10, 当 m 0 时，若 4 0 22 bm am , 即04m时结论显然成立； 若 4 0 22 bm am 时，只要 =4（4-m） 2-8m=4（m-8） （m-2） 0 即可，即 4 m 8, 则 0m 8, 故选 B 考点：一元二次函数，一元二次不等式，一元二次
19、方程之间的关系，以及分析问题解决问题 的能力 . 点评：解本小题的突破口是因为g(x)=mx 显然对任一实数x 不可能恒为正数, 所以应按0m 和0m分类研究， g(x) 的取值，进而判断出f(x)的取值，从而找到解决此问题的途径. 11 D 【解析】定义在R上的函数)(xf是奇函数，(0)0f，又是周期函数，T是它的一个正周 期，()()fTfT，()()()() 2222 TTTT fffTf， ()()0 22 TT ff，则n可能为 5，选 D。 12 D 【解析】用x代换 x 得：()(), x fxgxe即( )( ) x f xg xe， 解得： 2 )(, 2 )( xxxx
20、ee xg ee xf ，而)(xf单调递增且大于等于0，1)0(g， 选 D。 13 B 【 解 析 】 本 题 考 查 导 数 知 识 的 简 单 应 用 及 函 数 、 方 程 知 识 的 综 合 应 用 。 易 求 得 ( )3 ax fxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即( )30 ax fxae有正根。 当 有( )30 ax fxae成立时，显然有0a，此时 13 ln()x aa ，由0x我们马上就能 得到参数a的范围为3a 。 14 D 【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法。最好通过图象求解。 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答
21、案第 4 页，总 19 页 由( )f x为奇函数， 则( )()f xfx， 所以 ( )()2( ) 0 f xfxf x xx ， 即( )f x与 x 异号， 可以画出两个特殊图像( )yf x和 y=x，即答案为D。 15 D 【解析】要使函数有意义， 则有 2 2 22 0 320 340 32340 x xx xx xxxx 4,00,1x，故 D 为正确答案。 16 D 【解析】函数( )lg(21)f xx，函数(2)f x=lg(| 1)x是偶函数；且( )f x在 ()，上是减函数，在(2)，上是增函数； 但对命题丙：(2)( )f xfx= |1 lg(|1)lg(|2
22、 |1)lg |2 |1 x xx x 在 x( ,0) 时， (| 1)12 lglglg(1) (|2 | 1)213 xx xxx 为减函数，排除函数， 对于函数，( )cos(2)f xx函数(2)cos(2)f xx不是偶函数，排除函数 只有函数 2 ( )(2)f xx符合要求，选D。 17 D 【解析】sinfxx是偶函数由函数sinfxx图象特征可知 0x必是fx的极值点， 00f故选 D 【点评】 此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性， 函数的极值点与函数导数的 关系； 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 5 页，总 19 页 【突破】 画
23、出函数图象草图，数形结合， 利用图象的对称性以及偶函数图象关于y轴对称的 要求，分析出0x必是fx的极值点，从而 00f； 18 B 【解析】函数 1 2 x ye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于yx对称函数 1 2 x ye上 的点 1 (,) 2 x Pxe到直线yx的距离为 1 2 2 x ex d设函数 minmin 111ln 2 ( )( )1( )1ln 2 222 xx g xexgxeg xd 由图象关于yx对称得：PQ最小值为 min 22(1ln 2)d, 19 A. 【解析】以函数y=2 x 的图像为参照系，函数21 x y的图象向上平移了1 个单位，函数 1
24、2 x y的图象向左平移了一个单位，因此，只需把函数21 x y的图象向下平移一个单 位，再向左平移一个单位，即可得到函数 1 2 x y的图象，选A. 20 1 5 【解析】解：由 1 2fx fx 得 1 4( ) 2 fxf x fx ， 所以(5)(1)5ff， 则 11 5( 5)( 1) ( 12)5 ffff f 。 21 1 【解析】显然函数txxy2 2 的最大值只能在1x或3x时取到， 若在1x时取到，则221t，得1t或3t 1t，3x时，2y；3t，3x时，6y（舍去）； 若在3x时取到，则269t，得1t或5t 1t，1x时，2y；5t，1x时，6y（舍去） 所以1t
25、 22 (1, 5 ) 4 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 6 页，总 19 页 【解析】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思 想. 如图，在同一直角坐标系内画出直线1y与曲线 2 yxxa，由图可知， a 的取值 必须满足 1 , 41 1 4 a a 解得 5 1 4 a. 23(0,1)(1,4) 【解析】 2 11,1, 11 1,1,11 xxx xx y xxxx 函数2kxy过定点（ 0，-2 ） ，由数 形结合： 11,0114. ABAC kkkkkk或或 【考点定位】 本题考查函数的图像和性质，考查学生画图、
26、 识图以及利用图像解决问题的能 力. 242 【解析】由已知得 c a y x ，单调递减，所以当 ,2 xaa 时， 1 1 , 2 c ca ya x y (1,2)C (0, 2)AB O 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 7 页，总 19 页 所 以 1 1 2 2l o g2 2 3 a c c a a a a a a ， 因 为 有 且 只 有 一 个 常 数 c符 合 题 意 ， 所 以 2log 23 a ，解得2a，所以a的取值的集合为2. 25(, 6)(6,) 【解析】方程的根显然0x，原方程等价于 34 xa x ，原方程的实根是曲线 3 y
27、xa与 曲线 4 y x 的交点的横坐标；而曲线 3 yxa是由曲线 3 yx向上或向下平移| |a个单位而 得到的。若交点(xi ,4 xi )（i 1,2, ,k）均在直线yx 的同侧，因直线yx 与 4 y x 交点为： ( 2, 2),(2,2)；所以结合图象可得： 33 00 2 2 (, 6)(6,) 22 aa xaxaa xx 或. 26 -8 【解析】因为定义在R上的奇函数，满足(4)( )fxf x, 所以(4)()f xfx, 所以 , 由 )(xf为奇函数, 所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f, 由(4)( )f xf x知 (8)( )f xfx, 所以函数是以
28、8 为周期的周期函数, 又因为)(xf在区间 0,2上是增函数 , 所以)(xf在区间 -2,0上也是增函数. 如下图所示 , 那么方程f(x)=m(m0) 在区间8 ,8上 有四个不同的根 1234 ,x xx x, 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 8 页，总 19 页 不妨设 1234 xxxx, 由对称性知 , 12 4( 4)( 4)12xx, 34 4xx, 所以 1234 8xxxx. 【考点定位】本小题考查函数的基本性质, 如奇偶性、周期性、对称性，同时考查了数形结 合的思想方法. 27 （-4,0 ） 【解析】根据 ( )220 x g x可解得
29、x， =2x是( )g x的极值点。 当21时，( )0g x ， =1x不是( )g x的极值点。 ( )g x的极值点是2。 （3）令( )=f xt，则( )( )h xf tc。 先讨论关于x的方程( )=f xd根的情况：2, 2d 当=2d时，由（ 2 ）可知，( )=2f x的两个不同的根为I 和一 2 ，注意到( )f x是奇函数， ( )=2f x的两个不同的根为一和2。 当2d ，(1)= ( 2)=20fdfdd ，于是( )f x是单调增函数，从而( )(2)=2f x f。 此时( )=f xd在2，无实根。 当1 2x，时( )0f x ，于是( )f x是单调增函
30、数。 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 12 页，总 19 页 又(1)0fd ，= ( )y f xd的图象不间断， ( )=f xd在（ 1 , 2 ）内有唯一实根。 同理，( )=f xd在（一 2 ，一 I ）内有唯一实根。 当1 1x，时，( )0f x ，(1)0fd ，= ( )y f xd的图象不间断， ( )=f xd在（一 1，1 ）内有唯一实根。 因此，当=2d时，( )=f xd有两个不同的根 12 xx，满足 12 =1=2xx，；当2d 时 ( )=f xd有三个不同的根 315 xxx， ，满足2=3, 4, 5 i x i，。 现考虑
31、函数( )yh x的零点： ( i ）当=2c时，( )=f tc有两个根 12 tt，满足 12 =2tt1，。 而 1 ( )=f xt有三个不同的根， 2 ( )=f xt有两个不同的根，故( )yh x有 5 个零点。 ( 11 ）当2c 时，( )=f tc有三个不同的根 345 ttt， ，满足2=3, 4, 5 i t i，。 而=3,( ) 4, = 5 i f xti有三个不同的根，故( )yh x有 9 个零点。 综上所述，当=2c时，函数( )yh x有 5 个零点；当2c 时，函数( )yh x有 9 个零点 【考点定位】 本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值
32、和最值中的应用，考查较 全面系统， 要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解。本题主要考查数 形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位 考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大。 33(I) ( )g x在 1 , 2 上递增， 在 1 1, 2 上递减， 当 1 2 b 时, 函数 ( )f x 在定义域 1,上单调递增。 (II) 0b时，( )f x在1,上有唯一的极小值点 2 112 2 b x； 1 0 2 b时，( )f x有一个极大值点 1 112 2 b x和一个极小值点 2 112 2 b x； 1 2 b时，函数( )
33、fx在1,上无极值点。 (III) 证明见解析 【解析】解：(I) 函数 2 ( )ln(1)f xxbx的定义域为1,. 2 22 ( )2 11 bxxb fxx xx ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 13 页，总 19 页 令 2 ( )22g xxxb，则( )g x在 1 , 2 上递增，在 1 1, 2 上递减， min 11 ( )() 22 g xgb. 当 1 2 b时， min 1 ( )0 2 g xb， 2 ( )220g xxxb在1,上恒成立 . ( ) 0,fx 即当 1 2 b时, 函数( )f x在定义域 1,上单调递增。 （
34、II ）分以下几种情形讨论： （1）由（ I ）知当 1 2 b时函数( )f x无极值点 . （2）当 1 2 b时， 21 2() 2 ( ) 1 x fx x ， 1 1, 2 x时， ( )0,fx 1 , 2 x 时， ( )0,fx 1 2 b时，函数( )f x在1,上无极值点。 （3）当 1 2 b时，解 ( )0fx得两个不同解 1 112 2 b x， 2 112 2 b x. 当0b时， 1 112 1 2 b x， 2 112 1 2 b x， 12 1,1,xx 此时( )f x在1,上有唯一的极小值点 2 112 2 b x. 当 1 0 2 b时， 12 ,1,x
35、 x ( )fx在 12 1,xx都大于 0 ， ( )fx在 12 (,)x x上小于 0 ， 此时( )f x有一个极大值点 1 112 2 b x和一个极小值点 2 112 2 b x. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 14 页，总 19 页 综上可知，0b时，( )f x在1,上有唯一的极小值点 2 112 2 b x； 1 0 2 b时，( )f x有一个极大值点 1 112 2 b x和一个极小值点 2 112 2 b x； 1 2 b时，函数( )fx在 1,上无极值点。 （III） 当1b时， 2 ( )ln(1).f xxx 令 332 ( )(
36、 )ln(1),h xxf xxxx则 32 3(1) ( ) 1 xx h x x 在0,上恒正， ( )h x在0,上单调递增，当0,x时，恒有( )(0)0h xh. 即当0,x时，有 32 ln(1)0,xxx 23 ln(1)xxx， 对任意正整数 n，取 1 x n 得 23 111 ln(1) nnn 34 （1）函数( )f x 在1x处取得最小值(1)0f. （2）见解析 （3） （2）中命题的推广形式为：设 12 , n aaa 为非负实数， 12 , n bbb 为正有理数 . 若 12 1 n bbb，则 12 121 122 n bbb nn na aaa ba ba
37、 b 证明见解析 【解析】本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归 纳推理能力有较高要求。 （1） 11 ( )(1) rr fxrrxrx，令( )0fx，解得1x. 当01x时，( )0fx，所以( )f x 在 (0,1)内是减函数； 当1x时，( )0fx，所以( )f x 在 (1,) 内是增函数 . 故函数( )f x 在 1x 处取得最小值(1)0f. （2）由（ 1）知，当(0,)x时，有( )(1)0f xf，即(1) r xrxr 若 1 a ， 2 a 中有一个为0，则 12 121 122 bb aaa ba b 成立； 若 1 a， 2
38、 a 均不为 0，又 12 1bb ，可得 21 1bb，于是 在中令 1 2 a x a ， 1 rb ，可得 1 11 11 22 ()(1) b aa bb aa ， 即 11 1 121 121(1) bb a aa bab，亦即 12 121 122 bb aaa ba b . 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 15 页，总 19 页 综上，对 12 0,0aa， 1 b ， 2 b 为正有理数且12 1bb，总有 12 121 122 bb aaa ba b . （3） （2）中命题的推广形式为： 设 12 , n aaa 为非负实数， 12 , n b
39、bb 为正有理数 . 若 12 1 n bbb，则 12 121 12 2 n bbb nnna aaa ba ba b . 用数学归纳法证明如下： （1）当1n时， 1 1b，有 11 aa ，成立 . （2）假设当nk时，成立，即若 12 , k a aa 为非负实数， 12 , k b bb 为正有理数， 且 12 1 k bbb，则 12 121 12 2 k bbb kkk a aaa ba ba b . 当1nk时，已知 121 , kk a aaa为非负实数， 121 , kk b bbb为正有理数， 且 121 1 kk bbbb，此时 1 01 k b，即 1 10 k b，
40、于是 111212 121121() kkkk bbbbbbbb kkkka aa aa aaa= 12 11111 1111 121() k kkkkk bbb bbbbb kkaaaa. 因 12 111 1 111 k kkk bbb bbb ，由归纳假设可得 12 111 111 12 k kkk bbb bbb k aaa 12 12 111 111 k k kkk bbb aaa bbb 1 122 1 1 kk k a ba ba b b ， 从而 112 121 kk bb bb kk a aa a 1 1 1 1 122 1 1 1 k k b b kk k k aba ba
41、 b a b . 又因 11 (1)1 kk bb，由得 1 1 1 1 122 1 1 1 k k b b kk k k a ba ba b a b 1 122 111 1 (1) 1 kk kkk k a ba ba b bab b 1 12211kkkk a ba ba bab， 从而 1 12 121 kk bbbb kka aa a1 12211kkkk a ba ba bab. 故当1nk时，成立 . 由（ 1） （2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立. 说明：（3）中如果推广形式中指出式对2n成立，则后续证明中不需讨论1n的情况 . 35( ) 见解析； ( ) 1 3，
42、【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 16 页，总 19 页 ( ) ( ) 2 122fxax b 当 b0 时， 2 122fxaxb 0 在 0 x1 上恒成立， 此时 fx 的最大值为： 1423fababab |2a b| a； 当 b0 时， 2 122fxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断， 此时 fx 的最大值为： max 2 max(0)1 max()3 32 baba fxffbaab ab ba ， ，（），() ， |2a b| a； 综上所述：函数fx 在 0x1
43、上的最大值为 |2a b| a； ( ) 要证 fx |2a b| a0，即证 g x f x |2a b| a 亦即证 g x 在 0 x1 上的最大值小于( 或等于 )|2a b| a， 3 42g xaxbxab ，令 2 1220 6 b gxaxbx a 当 b0 时， 2 122gxaxb0 在 0x1 上恒成立， 此时 g x 的最大值为：03gabab |2a b| a； 当 b0 时， 2 122gxaxb在 0x1 上的正负性不能判断， max max()1 6 b gxgg a ，（ ） 4 max2 36 4 6 36 6 2 b babba a b ba bab a
44、ba ba ， ， ， |2a b| a； 综上所述：函数g x 在 0x1 上的最大值小于( 或等于 )|2a b| a 即 fx |2a b| a0 在 0x1 上恒成立 ( ) 由( ) 知：函数fx 在 0 x1 上的最大值为|2a b| a， 且函数fx 在 0x1 上的最小值比(|2a b| a) 要大 1 fx 1 对 x0 ，1 恒成立， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 17 页，总 19 页 |2a b| a1 取 b 为纵轴， a 为横轴 则可行域为： 2 1 ba ba 和 2 31 ba ab ，目标函数为zab 作图如下： 由图易得：当目
45、标函数为za b 过 P(1，2)时，有 max 3z， min 1z 所求 ab 的取值范围为：1 3， 36 （I ）函数的单调递增区间是(2)，(2)， 单调递减区间是( 2 2)， （II ）证明见解析 【解析】（I ）解： 3 16 4 33 x yx 由 2 40yx，得 2x 因为当(2)x，时，y0， 当( 2 2)x，时，0y， 当(2)x，时，0y， 故所求函数的单调递增区间是(2)，(2)， 单调递减区间是( 2 2)， （II ）证明：（i ）方法一： 令 23 3 2 ( )( )( )(0) 33 t x h xfxgxt xt x，则 本卷由系统自动生成，请仔细校
46、对后使用，答案仅供参考。 答案第 18 页，总 19 页 2 2 3 ( )h xxt， 当0t时，由( )0h x，得 1 3 xt， 当 1 3 ()xx ，时，( )0h x， 所以( )h x在(0)，内的最小值是 1 3 ()0h t 故当0x时，( )( ) t f xg x对任意正实数t成立 方法二： 对任意固定的0x，令 2 3 2 ( )( )(0) 3 t h tgxt xt t，则 11 33 2 ( )() 3 h ttxt， 由( )0h t，得 3 tx 当 3 0tx时，( )0h t 当 3 tx时，( )0h t， 所以当 3 tx 时， ( )h t 取得最
47、大值 331 () 3 h xx 因此当0x时，( )( )f xg x对任意正实数t成立 （ii ）方法一： 8 (2)(2) 3 t fg 由（ i ）得，(2)(2) tt gg对任意正实数t成立 即存在正实数 0 2x，使得(2)(2) xt gg对任意正实数t成立 下面证明 0 x的唯一性： 当 0 2x， 0 0x，8t时， 3 0 0 () 3 x f x， 00 16 ()4 3 x gxx， 由（ i ）得， 3 0 0 16 4 33 x x， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 19 页，总 19 页 再取 3 0 tx，得3 0 3 0 0 () 3 x x gx， 所以 3 0 3 0 000 16 ()4() 33 x x x gxxgx， 即 0 2x时，不满足 00 ()() xt gxg x对任意0t都成立 故有且仅有一个正实数 0 2x， 使得 00 ()0() xt gxg x对任意正实数t成立 方法二：对任意 0 0x，00 16 ()4 3 xgxx， 因为 0 () t g x关于t的最大值是 3 0 1 3 x，所以要使 00 ()() xt gxg x对任意正实数成立的充分必 要条件是： 3 00 161 4 33 xx， 即 2 00 (2) (4)0xx， 又因