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1、试卷第 1 页，总 4 页 圆锥曲线加强练习 学校 :_姓名： _班级： _考号： _ 一、选择题（题型注释） 1设 O为坐标原点， P是以 F为焦点的抛物线 2 2(0)ypx p上任意一点，M是线段 PF上的点，且PM=2MF, 则直线 OM 的斜率的最大值为 （ A） 3 3 （B） 2 3 （C） 2 2 （D）1 2已知椭圆C1： 2 2 x m +y 2=1(m1) 与双曲线 C2： 2 2 x n y 2=1(n0) 的焦点重合， e 1，e2分 别为 C1，C2的离心率，则 Am n 且 e1e21 Bm n 且 e1e21 Cm n 且 e1e21 Dm n 且 e1e21
2、3已知 O为坐标原点，F 是椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点， A ，B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为 C上一点，且PF x轴. 过点 A的直线 l 与线段 PF交于点 M ，与 y 轴 交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点，则C的离心率为 （ A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 4已知 M （ 00 ,xy ）是双曲线C： 2 2 1 2 x y上的一点， 12 ,F F 是 C上的两个焦点，若 12 0MFMF ，则 0 y 的取值范围是（） （ A） （- 3 3 ， 3 3 ）（ B） （- 3 6 ， 3 6 ） （ C
3、） （ 22 3 ， 22 3 ）（D） （ 2 3 3 ， 2 3 3 ） 二、填空题（题型注释） 5已知双曲线E： 22 22 1 xy ab （a0，b0） ，若矩形ABCD 的四个顶点在E上， AB ， CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC| ，则 E的离心率是 _. 6 双曲线 22 22 1 xy ab (0a ， 0b) 的渐近线为正方形OABC 的边 OA ， OC所在的直线， 点 B为该双曲线的焦点. 若正方形OABC 的边长为2，则 a=_. 试卷第 2 页，总 4 页 三、解答题（题型注释） 7已知椭圆E： 22 22 10 xy ab ab （）的两个焦点与
4、短轴的一个端点是直角三角形的 三个顶点，直线l: 3yx与椭圆 E有且只有一个公共点T. （）求椭圆E的方程及点T 的坐标； （）设O是坐标原点，直线l平行于 OT,与椭圆 E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点 P.证明：存在常数，使得 2 PTPAPB，并求 的值 . 8双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 的左、 右焦点分别为 12 FF、，直线l过 2 F且与双曲线交于 AB、 两点 . （ 1）若l的倾斜角为 2 ， 1 F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （ 2）设3b，若l的斜率存在，且 11 ()0F AF BAB ，求l的斜率 . 9 已知椭圆C： 22
5、22 1 xy ab （ 0ab ） 的离心率为 3 2 ，( ,0)A a，(0,)Bb，(0,0)O， OAB的面积为 1. （）求椭圆C的方程； （）设P是椭圆 C上一点，直线PA与 y 轴交于点 M ，直线 PB与 x 轴交于点N. 求证：BMAN为定值 . 10设圆 22 2150xyx的圆心为A，直线l 过点 B（1,0 ）且与x 轴不重合， l 交圆 A于 C，D两点，过B作 AC的平行线交AD于点 E. （）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程； （）设点E的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1于 M,N两点，过 B且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P,Q 两点，求四边形MP
6、NQ 面积的取值范围. 11 （本小题满分12 分）在直角坐标系xoy中，曲线 C：y= 2 4 x 与直线ykxa（a 0）交与 M,N两点， （）当k=0 时，分别求C在点 M和 N处的切线方程； （） y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有OPM= OPN ？说明理由 . 12已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （a0,b0 ）的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 3， 直线 y=2 与 C的两个交点间的距离为6. （）求a,b ； 试卷第 3 页，总 4 页 （） 设过 2 F的直线 l 与 C的左、 右两支分别交于A、B两点， 且 11 | |AFBF，证明
7、： 2 |AF、|AB、 2 |BF成等比数列 . 13 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 2 2 22 1(0) y x ab ab 的离心率为 2 2 ， 右顶点为A， 直线BC过原点O，且点 B在 x 轴的上方，直线AB与 AC分别交直线l：1xa于点 E、F. （ 1）若点 23B，求椭圆的方程及ABC的面积； （ 2）若B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为 1 k 、 2 k . 试问 12 kk 是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由； 求 AEF的面积的最小值. 14 已知椭圆C的两个焦点分别为 1( 1,0) F， 2(1,0) F， 短轴的两个端点分别为 1 B，
8、2 B （ 1）若 112 F B B为等边三角形，求椭圆C的方程； （ 2）若椭圆C的短轴长为2，过点 2 F的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且 11 F PFQ，求直线 l的方程 15已知椭圆E的中心在原点，离心率为 6 3 ，右焦点到直线 20xy 的距离为 2 （ 1）求椭圆E的方程； （ 2）椭圆下顶点为A，直线0ykxm k与椭圆相交于不同的两点M、N，当 AMAN时，求m的取值范围 16已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，过点1,0M的直线l与 椭圆交于PQ、两点 . 试卷第 4 页，总 4 页 （ 1）若直线l的斜率为1, 且 3 5 PMQM，求椭圆的标
9、准方程； （ 2）若（ 1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为，问为何值时， AP AQ取 得最大值，并求出这个最大值. 17已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半 轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x 轴直线 l 与椭圆 C相交于 A、B两点 （ 1）求椭圆C的方程； （ 2）求 OA OB 的取值范围； （ 3）若 B点在于 x 轴的对称点是E，证明：直线AE与 x 轴相交于定点 18 （2016 广东广州综合测试一，理 20）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 左顶点为A，左焦点为 1 2 0F，点2B 2,在椭圆C上，直线0ykx k与 椭圆C交于E
10、，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N （）求椭圆C的方程； （）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说 明理由 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 1 页，总 17 页 参考答案 1C 【解析】 试题分析：设 2 2, 2,PptptMxy（不妨设0t） ，则 21 2, 2., 23 p FPptptFMFP 22 2max 22 , 211212 23633 , 1 22212221 ,2 2 332 OMOM ppppp xtxt t ktk ptpttt t yy t 当且仅当时取等号， ，故选 C. 【考点】抛物线的简
11、单几何性质，平面向量的线性运算 【名师点睛】 本题考查抛物线的性质，结合题意要求， 利用抛物线的参数方程表示出抛物线 上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大 值，因此我们把斜率k用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出 最值，本题采用基本不等式求出最值 2A 【解析】 试题分析：由题意知 22 11mn，即 22 2mn，由于 m 1，n0，可得 m n， 又 22 2 1 2222222 111111 ()(1)(1)(1)(1) 2 mn e e mnmnnn = 42 42 21 1 2 nn nn ，故 12 1ee故选 A
12、【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质 【易错点睛】计算椭圆 1 C的焦点时，要注意 222 cab；计算双曲线 2 C的焦点时，要注 意 222 cab否则很容易出现错误 3A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 设 直 线l的 方 程 为()yk xa， 分 别 令xc与0x得 |()FMk ac，|OEk a. 设OE 的 中 点 为N， 则O B NF B M， 则 1 | | 2 | OE OB FMBF ，即 2(c) k aa k aac ，整理，得 1 3 c a ，所以椭圆C的离心率 1 3 e， 故选 A 【考点】椭圆的简单几何性质，三角形相似 本卷由系统自
13、动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 17 页 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c的值，进而求得e 的值； （2）建立, ,a b c的齐次等式，求得 c a 或转化为关于e的等式求解；（3）通过特殊值或 特殊位置，求出e 4A 【解析】由 题知 12 (3,0),( 3,0)FF ， 2 20 0 1 2 x y，所以 12 MFMF = 0000 (3,) ( 3,)xyxy = 222 000 3310xyy ，解得 0 33 33 y，故选 A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 52 【解析】
14、 试题分析：假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则 2 ( ,) b A c a ， 2 ( ,) b B c a ，所以 2 2 | b AB a ，|2BCc，由23ABBC， 222 cab得离心率2e或 1 2 e（舍 去） ，所以 E的离心率为2. 【考点】双曲线的几何性质 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质. 本题中，利用特殊化思想，通过对特殊情况 的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度. 本题能较好地考查考生转化与化归思想、 一般与特殊思想及基本运算能力等. 62 【解析】 试题分析： 因为四边形OABC是正方形， 所以45AOB， 所以直线OA的方程为yx， 此
15、为 双 曲 线 的 渐 近 线 ， 因 此ab， 又 由 题 意 知2 2OB， 所 以 22222 (22)abaa，2a故答案为2 【考点】双曲线的性质 【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容. 对渐近线： (1) 掌握方程； (2) 掌握其倾斜角、斜率的求法；(3) 会利用渐近线方程求双曲线 方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类 似 . 因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为1 22 ByAx的形式，当0A，0B， BA时为椭圆，当0AB时为双曲线 . 7 （） 22 1 63 xy ，点
16、T坐标为（ 2,1 ） ； （） 4 5 . 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 3 页，总 17 页 【解析】 试题分析： 本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力 和数形结合的思想.第（）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关 于 x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E的方程；第（）问，利用 椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解. 试题解析：（）由已知，2ab，则椭圆E的方程为 22 22 1 2 xy bb . 由方程组 22 22 1, 2 3, xy bb yx 得 22
17、312(18 2)0xxb. 方程的判别式为 2 =24(3)b，由=0，得 2 =3b， 此时方程的解为=2x， 所以椭圆E的方程为 22 1 63 xy . 点 T 坐标为（ 2,1 ）. （）由已知可设直线l的方程为 1 (0) 2 yxm m， 由方程组 1 2 3 yxm yx ， ， 可得 2 2 3 2 1. 3 m x m y ， 所以 P点坐标为（ 22 2,1 33 mm ） ， 2 28 9 P Tm. 设点 A， B的坐标分别为 1122 (,)(,)A x yB xy，. 由方程组 22 1 63 1 2 xy yxm ， ， 可得 22 34(412)0xmxm.
18、方程的判别式为 2 =16(92)m，由0，解得 3 23 2 22 m. 由得 2 1212 4412 =, 33 mm xxx x. 所以 22 111 2252 (2)(1)2 3323 mmm PAxyx， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4 页，总 17 页 同理 2 52 2 23 m PBx， 所以 12 522 (2)(2) 433 mm PAPBxx 2 121 2 522 (2)(2)() 433 mm xxx x 2 25224412 (2)(2)() 43333 mmmm 2 10 9 m. 故存在常数 4 5 ，使得 2 PTPAPB.
19、【考点】椭圆的标准方程及其几何性质 【名师点睛】 本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能 力和数形结合的思想. 在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为 1122 (,),(,)xyxy，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得 1212 ,xxx x，再把 MAMB用 12 ,x x表示出来， 并代入 1212 ,xxx x的值， 这种方法是解析几何中的“设而不 求”法，可减少计算量，简化解题过程 8 （ 1）2yx； （ 2） 15 5 . 【解析】 试题分析：（ 1）设, xy，根据题设条件得到 24 4 13bb，从而解得 2 b的值
20、（2）设 11 ,xy， 22 ,xy，直线:l2yk x与双曲线方程联立，得到一元二次方 程，根据l与双曲线交于两点，可得 2 30k，且 2 36 10k再设的中点为 , xy，由 11 0F F 即 1 0F ，从而得到 1 1 F kk，进而构建 关于k的方程求解即可 试题解析：（ 1）设, xy 由题意， 2 ,0Fc， 2 1cb， 2224 1 ybcb， 因为 1 F 是等边三角形，所以23 cy， 即 24 4 13bb ，解得 2 2b 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 5 页，总 17 页 故双曲线的渐近线方程为2yx （2）由已知， 12,0
21、F ， 22,0F 设 11 , xy， 22 , xy，直线:l2yk x显然0k 由 2 2 1 3 2 y x yk x ，得 2222 34430kxk xk 因为l与双曲线交于两点，所以 2 30k，且 2 36 10k 设的中点为, xy 由 11 ()0F AF BAB 即 1 0F ，知 1 F ，故 1 1 F kk 而 2 12 2 2 23 xxk x k ， 2 6 2 3 k yk x k ， 12 3 23 F k k k ， 所以 2 3 1 23 k k k ，得 2 3 5 k，故l的斜率为 15 5 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量
22、的数量积 【名师点睛】 本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题 .解答此类题目时，利用, , ,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方 程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解. 本题能较好地考查考生的逻辑 思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. 9 （）1 4 2 2 y x ； （）见解析 . 【解析】 试题分析：（）根据离心率为 3 2 ，即 3 2 c a ，OAB的面积为1，即1 2 1 ab，椭圆 中 222 cba列方程组进行求解； （）根据已知条件分别求出BMAN ,的值， 求其乘积 为定值
23、. 试题解析：（）由题意得 , , 1 2 1 , 2 3 222 cba ab a c 解得1,2 ba. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 6 页，总 17 页 所以椭圆C的方程为1 4 2 2 y x . （）由（）知，) 1 ,0(),0,2(BA， 设 ),( 00 yxP，则44 2 0 2 0 yx. 当0 0 x时，直线PA的方程为)2( 2 0 0 x x y y. 令0x，得 2 2 0 0 x y yM ，从而 2 2 11 0 0 x y yBM M . 直线PB的方程为1 1 0 0 x x y y. 令0y，得 1 0 0 y x xN
24、，从而 1 22 0 0 y x xAN N . 所以 2 2 1 1 2 0 0 0 0 x y y x BMAN 22 8844 22 48444 0000 0000 0000 0000 2 0 2 0 yxyx yxyx yxyx yxyxyx 4. 当 0 0 x时，1 0 y，,2, 2 ANBM 所以4BMAN. 综上，BMAN为定值 . 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力 【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1) 从特殊入手，求出定点、定值、定线， 再证明定点、定值、定线与变量无关；(2) 直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去 变量，从而得到定点
25、、定值、定线. 应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求 方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 10 （）1 34 22 yx （0y） （）)38 ,12 【解析】 试题分析：利用椭圆定义求方程；（）把面积表示为x 斜率 k 的函数，再求最值。 试题解析：（）因为|ACAD，ACEB /，故ADCACDEBD， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 7 页，总 17 页 所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA. 又圆A的标准方程为16) 1( 22 yx，从而4| AD，所以4|EBEA. 由题设得)0 , 1(A，)0, 1 (B，2| AB，
26、由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： 1 34 22 yx （0y）. （）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(kxky，),( 11 yxM，),( 22 yxN. 由 1 34 )1( 22 yx xky 得 01248) 34( 2222 kxkxk. 则 34 8 2 2 21 k k xx， 34 124 2 2 21 k k xx. 所以 34 )1(12 |1| 2 2 21 2 k k xxkMN. 过点)0, 1 (B且与l垂直的直线 m： )1( 1 x k y，A到m的距离为 1 2 2 k ，所以 1 34 4) 1 2 (42| 2 2 2 2 2 k k k P
27、Q. 故四边形MPNQ的面积 34 1 112| 2 1 2 k PQMNS. 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)38 ,12. 当l与x轴垂直时，其方程为1x，3| MN，8| PQ，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为 )38,12 . 考点：圆锥曲线综合问题 11 （）0axya或0axya（）存在 【解析】 试题分析：（）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而 不求思想即将ykxa代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出 M,N的坐标 和 P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ， PN的斜率之和
28、用a表示出来，利用直线PM ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 8 页，总 17 页 PN的斜率为0, 即可求出,a b关系，从而找出适合条件的P点坐标 . 试题解析：（）由题设可得(2, )Ma a，( 2 2, )Na，或( 2 2, )Ma，(2, )Na a. 1 2 yx，故 2 4 x y在x=2 2a处的到数值为a，C在(2 2 , )a a处的切线方程为 (2)yaa xa，即0axya. 故 2 4 x y在x=-2 2a处的到数值为-a，C在( 2 2 , )a a处的切线方程为 (2)yaa xa，即0axya. 故所求切线方程为0axya或
29、0axya. （）存在符合题意的点，证明如下： 设 P（0，b）为复合题意得点， 11 (,)M x y， 22 (,)N xy，直线 PM ，PN的斜率分别为 12 ,k k. 将ykxa代入 C得方程整理得 2 440xkxa. 1212 4 ,4xxk x xa. 12 12 12 ybyb kk xx = 1212 12 2()()kx xabxx x x = ()k ab a . 当ba时，有 12 kk=0，则直线 PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故 OPM= OPN ，所以(0,)Pa符合题意 . 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 【答案】
30、（）1,2 2ab（）见解析 【解析】（）由题设知3 c a ，即 22 2 9 ab a ，故 22 8ba . 所以 C的方程为 222 88xya. 将 y=2 代入上式，求得 2 1 2 xa. 由题设知， 2 1 26 2 a，解得 2 1a. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 9 页，总 17 页 所以1,2 2ab. （）由（）知， 1( 3,0) F， 2(3,0) F，C的方程为 22 88xy. 由题意可设l的方程为(3)yk x，| | 2 2k ，代入并化简得 2222 (8)6980kxk xk. 设 11 (,)A x y， 22 (,)
31、B xy，则 1 1x， 2 1x， 2 122 6 8 k xx k ， 2 122 98 8 k xx k . 于是 2222 111111 |(3)(3)88(31)AFxyxxx， 2222 122222 |(3)(3)8831BFxyxxx 由 11 | |AFBF得 12 (31)31xx，即 12 2 3 xx. 故 2 2 62 83 k k ，解得 24 5 k，从而 12 19 9 xx. 由于 2222 211111 |(3)(3)8813AFxyxxx， 2222 222222 |(3)(3)8831BFxyxxx. 故 2212 | | 23()4ABAFBFxx，
32、221212 | 3()9-116AFBFxxx x. 因而 2 22 | | |AB|AFBF，所以 2 |AF、|AB、 2 |BF成等比数列 . （1）利用待定系数法求解，利用已知条件建立含义,a b的等量关系，进而确定曲线方程； (2) 利用直线与曲线联立方程组，借助韦达定理和弦长公式将 2 |AF、|AB、 2 |BF表示出 来，然后借助 2 22 | | |AB|AFBF证明等比中项。 【考点定位】 本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查舍而不求的思想以及计 算能力 . 13 （1） 2 2 1. 84 y x 2 6S（2） 1 2 2 2 【解析】 本卷由系统自动生成
33、，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 10 页，总 17 页 试题分析：（ 1）根据题意的离心率及点B的坐标，建立方程，求出a 的值，即可求ABC的 面积； （2） 12 k k为定值，证明 2 12 2 b k k a ，由（ 1）得 22 2ab，即可得到结论；设 直线 AB的方程为y=k1（x-a ） ，直线 AC的方程为y=k2（x-a ） ，令 x=a+1 得，求出 AEF的面 积，结合的结论，利用基本不等式，可求AEF的面积的最小值 试题解析：（ 1）由题意得 22 22 2 2 23 1. ab a ab ， 解得 22 8,4.ab 椭圆的方程为 2 2 1. 84 y
34、x ,3 分 ABC的面积 1 2232 6 2 ABCAOBSSa . ,4 分 （2） 12 kk 为定值，下证之： 证明：设 000 ()(0)B xyy，则 00 ()Cxy，且 22 00 22 1 xy ab . ,5 分 而 2 2 0 2 22 000 12 22222 00 00 (1) x b yyy ba kk xaxa xaxaa ,7 分 由离心率 22 2 2 ab e a ，得 22 2.ab 所以 2 12 2 1 2 2 b kk b ，为定值 . ,8 分 由直线的点斜式方程，得直线AB的方程为 1( )yk xa ，直线AC的方程为 2( )ykx a .
35、 令 1xa，得 1Eyk ，2Fyk . 所以， AEF的面积 21 11 | 1. 22 AEF SEFkk,10 分 由题意，直线AB的斜率 0 1 0 0 0 y k xa . 由， 2 1 1 . 2 k k 于是， 11 11 1111 |() 2222 AEF Skk kk 1 1 211 2 () () 222 k k ， 当且仅当 1 1 1 2 k k ，即 1 2 2 k时取等号 . ,11 分 所以， AEF的面积的最小值为 2 2 . ,12 分 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用 14 （1） 2 2 3 31 4 x y（2）710xy或710xy 本卷由
36、系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 11 页，总 17 页 【解析】 试题分析：（ 1）由 112 FB B为等边三角形可得a=2b，又 c=1，集合 222 abc可求 22 ,ab， 则椭圆 C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合 c=1 求出椭圆方程，分过点 F2 的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根 与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 11 F PFQ 转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求 试题解析： （1） 112 F B B为等边三角形， 则 2 222 22 2 4 33
37、 3 11 1 3 a abbcb ab c b ,2 椭圆C的方程为： 2 23 31 4 x y；,3 （2）容易求得椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y，,5 当直线l的斜率不存在时，其方程为1x，不符合题意；,6 当直线的斜率存在时，设直线l的方程为1yk x， 由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 214210kxk xk，设 1122 ,P xyQ xy， 则 2 2 121222 21 4 , 2121 k k xxx x kk ，,8 111122 1,1,F PxyFQxy 11 F PFQ ， 11 0F P FQ， 即 2 1212121212 111
38、11xxy yx xxxkxx 2 222 12122 71 1110 21 k kx xkxxk k ,10 解得 21 7 k，即 7 7 k， 故直线l的方程为710xy或710xy. ,12 考点： 1. 椭圆的标准方程及其性质；2. 直线与椭圆的位置关系 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 12 页，总 17 页 15 （1） 2 2 1 3 x y（2） 1 (,2) 2 【解析】 试题分析：（1）由题已知椭圆方程；)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C，利用条件离心率为 6 3 ， 及 右焦点到直线20xy的距离为 2，易求出 , ,a
39、b c的值，得出方程 （2）由题可先让直线0ykxm k方程与（ 1）中的椭圆方程联立，（有交点0） 再设出,M N两点坐标并用根与系数的关系表示出,k m，再结合条件AMAN ，可表示 出,k m的关系式，再代入0，可求出m的取值范围 试题解析：（ 1）设椭圆的右焦点为( ,0)c，依题意有 |2 | 2 2 c 又0c，得2c , 又 26 3 c aa ，3a 22 1bac椭圆E的方程为 2 2 1 3 x y （2） 椭圆下顶点为(0,1)A， 由 22 33 ykxm xy 消去y， 得 222 ( 31 )633 0kxk m xm 直线与椭圆有两个不同的交点 222222 36
40、4(31)(33)12(31)0k mkmkm，即 22 31km 设 1122 (,),(,)M x yN xy，则 2 121222 633 , 3131 kmm xxx x kk 12122 2 ()2 31 m yyk xxm k MN中点坐标为 22 3 (,) 31 31 kmm D kk AMAN，ADMN，1 ADMN kk，即 2 2 1 31 1 3 31 m k k km k 得 2 321km把 2 321km代入 22 31km， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 13 页，总 17 页 得 2 210 211 m mm ，解得 1 2 2
41、 mm的取值范围是 1 (,2) 2 考点：（1）椭圆的性质及方程思想；（2）直线与椭圆的位置关系及代数运算能力； 16 （1） 2 2 1. 4 x y（2） 最大值为 33 4 . 【解析】 试题分析：（1）由题可设出椭圆方程；)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C，先利用条件离心率为 3 2 ， 可推出, ,a b c的关系。再结合过点1,0M且1k的直线与椭圆方程联立，并设出交点 PQ、 的坐标，利用条件 3 5 PMQM，可得Q点坐标，再代入椭圆方程，可得。 （2）可先按倾斜角为是否为直角，分别设过点M直线l方程并与（ 1）中的椭圆方程联 立，通过设出直线与椭圆的交点
42、，再利用 AP AQ，建立关于 k的关系式，观察可运用均值 不等式求出最大值。 试题解析：（ 1）设椭圆方程为： 22 22 +10 xy ab ab 由 3 2 c e a 得 3 2 ca，又知 222 abc，故 22 4ab 从而椭圆方程简化为： 222 44xyb. 直线:1lyx，设 1122 ,Q,P x yxy 由 222 1 44 yx xyb 消去x得： 22 52120yyb 故 12 2 5 yy 由 3 5 PMQM知： 12 3 () 5 yy 由得 2 1y. 易知 2 1x, 故0,1Q, 将其代入椭圆方程 222 44xyb得 2 1b 因此，椭圆方程为： 2
43、 2 1. 4 x y （2）当=90时，直线: x1l. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 14 页，总 17 页 由 2 2 1 1 4 x x y 得 3 2 P （-1 ，）， 3 2 Q（-1 ，-） 故 33 3,3, 22 APAQ 333 =9. 44 AP AQ 当90时，设直线:(1)lyk x， 1122 ,Q,P x yxy 由 2 2 (1) 1 4 yk x x y 得 2222 1+48440kxk xk 22 121222 844 , 1414 kk xxx x kk 2 12122 2 333333 =22=. 1 144 4+ k
44、 AP AQxxy y k k 综上可知：当=90时，AP AQ最大，最大值为 33 4 . 考点：（1）直线与椭圆的位置关系及方程思想。 （2）直线与椭圆的位置关系及函数思想和均值不等式的运用； 17 （1）（2） （ 3）证明见解析 【解析】 试题分析：（ 1）由题意知，利用点到直线的距离公式可求b，结合 a 2=b2+c2 可求 a， 即可求解 （2）由题意设直线l 的方程为y=k（x4） ，联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1） ，B （x2， y2） ，根据方程的根与系数关系求出x1+x2， x1x2，由0 可求k 的范围，然后代入 OAOB=x1x2+y1y2= 中即可得关于k 的
45、方程，结合k 的范围可求 OAOB的范围 （3）由 B ，E关于 x 轴对称可得E（x2， y2） ，写出 AE的方程，令y=0，结合（ 2）可求 （1）解：由题意知，即 b= 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 15 页，总 17 页 又 a 2=b2+c2 a=2，b= 故椭圆的方程为 （2）解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=k（x4） 由可得： （ 3+4k 2）x232k2x+64k212=0 设 A（x1，y1） ，B （x2，y2） ，则 =32 2k44（3+4k2 ） （64k 2 12） 0 x1+x2=，x1x2= OA OB=
46、x1x2+y1y2= = = = OA OB） （3）证明： B， E关于 x 轴对称 可设 E（x2， y2） 直线 AE的方程为 令 y=0 可得 x= y1=k（ x14） ，y2=k（x24） 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 16 页，总 17 页 =1 直线 AE与 x 轴交于定点（ 1，0） 考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程 18 （） 22 1 84 xy （）以MN为直径的圆经过两定点 1 2,0P， 2 2,0P 【解析】（）设椭圆C的方程为 22 22 1 (0) xy ab ab ， 因为椭圆的左焦点为 1 2
47、 0F，所以 22 4ab 因为点 22B,在椭圆C上，所以 22 42 1 ab 由解得，2 2a，2b所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy （）因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为22,0 因为直线(0)ykx k与椭圆 22 1 84 xy 交于两点E，F， 设点 00 ,Exy（不妨设 0 0x） ，则点 00 ,Fxy 联立方程组 22 , 1 84 ykx xy 消去y得 2 2 8 12 x k 所以 0 2 2 2 12 x k ，则 0 2 2 2 12 k y k 所以直线AE的方程为 2 2 2 112 k yx k 因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N， 令 0x 得 2 2 2 112 k y k ，即点 2 2 2 0, 112 k M k 同理可得点 2 2 2 0, 112 k N k 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 17 页，总 17 页 所以 2 22 2 2 12 2 22 2 11211 2 k kk MN k kk 设MN的中点为 P，则点P的坐标为 2 0,P k 则以MN为直径的圆的方程为 2 2 2 xy k 2 2 2 12k k ， 即 22 2 2 4xyy k 令0y，得 2 4x，即2x或2x 故以MN为直径的圆经过两定点 1 2,0P， 2 2,0P