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1、导数与函数专练(一) 作业 (二十七 ) 1(2016 河北五一名校联盟)已知函数 f(x)xlnxa，g(x)x1 x(lnx) a1，aR. (1)若 f(x)0 在定义域内恒成立，求a 的取值范围； (2)当 a 取(1)中的最大值时，求函数g(x)的最小值； (3)证明不等式 n k1 1 （2k1）（ 2k2） ln 2n1 2n1 (nN * ) 解析(1)由题意知 f(x)的定义域是 (0， )，f(x)11 x x1 x ， 当 x(0，1)时， f(x)0，f(x)单调递增， f(x)minf(1)1a， 1a0，a1，故 a的取值范围是 (，1 (2)当 a1 时， g(x
2、)x 1 x(lnx) 2，g(x)的定义域是 (0， ) g(x)1 1 x 22lnx 1 x x 22xlnx1 x2 ， 令 h(x) x22xlnx 1，h(x)2(xlnx1)， 由(1)知， h(x)的最小值是h(1)0， h(x)0，h(x)在(0， )上单调递增，又h(1)0， 当 x(0，1)时， h(x)0，g(x)0，g(x)单调递增， g(x)ming(1)2. (3)由(2)得，当 x1 时， g(x)g(1) ，x1 x(lnx) 22，即 ( x 1 x)(lnx) 2，开平方得 x 1 x lnx. 令 x 2 k2 2 k11(kN *)，则 2k2 2k1
3、 2k1 2k2 1 （2k1）（ 2k2）ln 2k2 2k1， n k1 1 （2k 1）（ 2k2） ln 22 21ln 2 22 221ln 2 n2 2n1ln 2（2 01） 21 2（21） 221 2（2 n11） 2n1 ln 2n 1 2n1. 2(2016 东北四市联考 )已知函数 f(x)e1 xcosx. (1)判断函数f(x)在(0， 2 )上的单调性； (2)证明：对于 ? x1， 1 2，总有 f(x1)2f(x) cos(x1)0. 解析(1)由题 f(x) e1 x cosxe1 xsinx e1x(sinxcosx)， 因为 x(0， 2 )，所以 f(
4、x)0. 要证原不等式成立，只要证ex 22e1x(sinxcosx)0，ex22e1x(sinxcosx)， 即 e2x 12 2sin(x 4 )在1，1 2上恒成立 首先构造函数g(x)2x222sin(x 4 )，x1，1 2， 因为 g( x)222cos(x 4 )22 2 2 cos(x 4 )， 可得，当 x1，0时， g(x)0，即 g(x)在1，0上是减函数， 当 x(0，1 2时， g(x)0，即 g(x)在(0， 1 2上是增函数， 所以在 1，1 2上， g(x)ming(0)0，所以 g(x)0. 所以 22sin(x 4 ) 2x2，当且仅当x0 时等号成立 其次
5、构造函数h(x)e2x 1(2x2)，x1，1 2， 因为 h(x)2e2x 1 22(e2x11)， 可见当 x1， 1 2时， h(x)0，即 h(x)在1， 1 2上是减函数， 当 x( 1 2， 1 2时， h(x)0，即 h(x) 在( 1 2， 1 2上是增函数， 所以在 1， 1 2上， h(x) minh( 1 2)0，所以 h(x)0， 所以 e 2x12x2，当且仅当 x 1 2时等号成立 综上所述， e2x 12x22 2sin(x 4 )， 因为取等条件不一致， 所以 e2x 12 2sin(x 4 )在1， 1 2上恒成立， 所以对于 ? x1， 1 2，总有 f(x
6、1)2f(x) cos(x1)0 成立 3(2016 衡水调研 )已知函数 f(x)(x 36x23xt)ex，tR. (1)若函数 f(x)在点 (0，f(0) 处的切线与y4x3 平行，求 t 的值； (2)若函数 yf(x) 有三个不同的极值点，求t 的取值范围； (3)若存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式 f(x) x 恒成立，求正整数m 的最大值 解析(1)因为函数 f(x)(x36x23xt)ex， 所以 f(x)(x33x29x3t)ex. 函数 f(x)在点 (0，f(0) 处的切线斜率为f(0)3t， 由题意可得 3t4，解得 t1. ( 2)f(x)(x 33x2
7、 9x3t)ex， 令 g(x)x33x29x3t，则方程 g(x) 0 有三个不同的根 又 g(x)3x26x93(x2 2x3)3(x1)(x3)， 令 g(x)0，得 x 1 或 x3. 且 g(x)在区间 (，1)，(3， )上单调递增， 在区间 (1，3)上单调递减， 故原题等价于 g（ 1）0， g（3）0， t240，r(2)2e20，r(3) e30；当 xx0时，有 ( x)0， (2)e250， (3)e360，(4)e450， (5)e520， (6)e6 30 ；当 x6 时，恒有 (x)0)， 使函数 f(x)在此区间上存在极值点和零点？若存在， 求出实数 t 的取值
8、范围， 若不存在，请说明理由； (3)如果对任意的x1，x2e 2， )，有 |f(x 1)f(x2)|k| 1 x1 1 x2|，求实数 k 的取值范围 解析(1)f(x) 1 x x（ alnx） x 2 1alnx x 2 . f(x) 在点 (1，f(1)处的切线与x 轴平行， f(1) 1a ln1 12 0. a1， f(x) 1lnx x ，x0.f(x) lnx x2 ， 当 00，当 x1 时， f(x)1 时， f(x) 1lnx x 0， 当 x0 时， f(x)，由 (1)得 f(x)在(0，1)上单调递增，由零点存在原理，知f(x)在区间 (0，1)上存在唯 一零点，
9、 函数 f(x)的图像如图所示 函数 f(x)在区间 (t， t2 3)(t0) 上存在极值点和零点， 01， f（t） 1lnt t 1， tx2e2， 则原不等式 ? f(x2)f(x1)k( 1 x2 1 x1)? f(x 2) k x2f(x 1) k x1? 函数 F(x) f(x) k x 在e2， )上单调递减 又 F(x) f(x) k x 1lnx x k x， F(x)klnx x2 0 在e 2， )上恒成立， klnx 在e2， )上恒成立 在e2， )上， (lnx)minlne22，k2. 导数与函数专练(二) 作业 (二十八 ) 1(2016 河南八校质检 )已知
10、函数 f(x)xlnx ，g(x) 1 8x 2x. (1)求 f(x)的单调区间和极值点； (2)是否存在实数m，使得函数h(x) 3f（x） 4x mg(x) 有三个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围； 若不存在，请说明理由 解析(1)f(x)lnx1， 由 f(x)0，得 x1 e；f(x)0，得 03；由 (x)0， 156ln38m0) ， 于是 f(x)有两个极值点等价于二次方程x 2axa0 有两正根， 设其两根为x1，x2，则 a24a0， x1x2a0， x1x2a0， 解得 a4，不妨设 x10，在 (x1，x2)上 f(x)0. 因此 x1，x2是 f(x)的两个极值
11、点，符合题意 所以 a的取值范围是 (4， ) (2)f(x1)f(x2)alnx1 1 2x1 2ax1alnx 21 2x 22ax2 alnx1x2 1 2(x 12x22)a(x1x2) alnx1x2 1 2(x1x2) 2x1x2a(x1x2) a(lna 1 2a1)， 于是 f（x1） f（x2） x1x2 lna1 2a1， 令 (a) lna 1 2a1，则 (a) 1 a 1 2. 因为 a4，所以 (a)0，故不等式 f(x1)f(x2) 1 e时， f(x)在(0， 1 a)上单调递减，在 (1 a，e上单调递增 f(x)minf(1 a)1lna3，所以 ae 2，
12、符合题意 当 1 ae，即 00 时， f(x)0， f(x)在(0， )上是增函数 故 f(x)在 x0 处取得最小值f(0)0，即 f(x)0. (2)由已知 x0， e x10. ()当 1 ，则 x x1 1 2时，由 (1)知， e x1x， x1ex. g(x)( 1)(e x1)x e x ( 1)(e x1)x( ex 1)x ( 1x)( e x1)x ( 1x)( e x1) (1ex) (2 1x)( e x1) 当 0x 2 1 时， g (x)0，此时 g(x)在(0， 2 1 )上是减函数， g(x)g(0) 0，即 f(x)0，不符合题设条件 综上可知，实数 的取值范围为 0，1 2