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1、导数及其应用知识点总结 1、函数fx从 1 x到 2 x的平均变化率： 21 21 fxfx xx 2、导数定义：fx在点 0 x处的导数记作 x xfxxf xfy x xx )()( lim)( 00 0 0 0 ； 3、函数yfx在点 0 x处的导数的几何意义是曲线 yfx 在点 00 ,xfx 处的切线的斜率 4、常见函数的导数公式： C0； 1 )( nn nxx；xxcos)(sin ；xxsin)(cos ； aaa xx ln)( ； xx ee )(； ax x a ln 1 )(log ； x x 1 )(ln 5、导数运算法则： 1fxg xfxgx ； 2fxg xfx
2、 g xfx gx ； 3 2 0 fxfx g xfx gx g x g x g x 6、在某个区间,a b内，若0fx，则函数yfx在这个区间内单调递增； 若0fx，则函数yfx在这个区间内单调递减 7、求解函数( )yfx单调区间的步骤： （1）确定函数( )yf x的定义域；（2）求导数 ( )yfx； （3）解不等式 ( )0fx，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ( )0fx，解集在定义域内的部分为减区间 8、求函数yfx的极值的方法是：解方程0fx当 0 0fx时： 1如果在 0 x附近的左侧0fx，右侧0fx，那么 0 fx是极大值； 2如果在 0 x附近的左侧0
3、fx，右侧0fx，那么 0 fx是极小值 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域（ 2）求函数的导数f(x) （3）求方程f (x)=0 的根 （4）用方程f (x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由 f (x)在方程 f (x)=0 的根左右的符号，来判断f(x) 在这个根处取极值的情况 10、求函数yfx在,a b上的最大值与最小值的步骤是： 1求函数yfx在,a b内的极值； 2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，f b比较，其中最大的一个是最大值，最 小的一个是最小值 1. 常见题型 小题： 函数的图象 函数的性质(单调性、奇偶性、
4、周期性、对 称性 ); 分段函数求函数值； 函数的定义域、值域（最值）； 函数的零点； 抽象函数； 二、大题： 1. 求曲线 ( )yf x= 在某点处的切线的方程； 2. 求函数的解析式 3. 讨论函数的单调性，求单调区间； 4. 求函数的极值点和极值； 5. 求函数的最值或值域； 6. 求参数的取值范围 7. 证明不等式； 8. 函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1) 曲 线 ( )yf x 在 0 xx 处 的 切 线 的 斜 率 等 于 0 ()fx ， 且 切 线 方 程 为 000 ()()()yfxxxf x 。 (2)若可导函数 ( )yf x 在 0
5、 xx 处取得极值，则 0 ()0fx 。反之，不成立。 (3)对于可导函数 ( )f x ，不等式 ( )fx 00（）的解集决定函数 ( )f x 的递增（减）区间。 (4)函数 ( )f x 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： xI ( )fx 0( 0) 恒成立（ ( )fx 不恒 为 0）. (5)函数 ( )f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于 ( )f x 在区间 I 上有极值，则可等价转化为 方程 ( )0fx 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 ( )fx 为二次函数且I=R ，则有 0）。 (6) ( )fx 在区间 I 上无极值等价于 ( )f x 在区
6、间在上是单调函数，进而得到 ( )fx 0或 ( )fx 0 在 I 上恒成立 (7)若 xI“? ， ( )f x 0 恒成立， 则 min ( )f x 0; 若xI ， ( )f x 0 恒成立， 则 max ( )f x 0 (8)若 0 xI ， 使得 0 ()f x 0， 则 max ( )f x 0； 若0 xI ， 使得 0 ()f x 0， 则 min ( )f x 0 . (9)设 ( )f x 与 ( )g x 的定义域的交集为D，若 x D ( )( )f xg x 恒成立，则有 min ( )( )0f xg x . (10)若对 11 xI 、 22 xI ， 12
7、 ()()f xg x 恒成立，则 minmax ( )( )f xg x . 若对 11 xI ， 22 xI ，使得 12 ()()f xg x ,则 minmin ( )( )f xg x . 若对 11 xI ， 22 xI ，使得 12 ()()f xg x ，则 maxmax ( )( )f xg x . （11）已知 ( )f x 在区间 1 I 上的值域为A,， ( )g x 在区间 2 I 上值域为B， 若对 11 xI , 22 xI ，使得 1 ()f x = 2 ()g x 成立，则 AB 。 (12)若三次函数f(x) 有三个零点， 则方程 ( ) 0f x 有两个不
8、等实根 12 xx、 ，且极大值大于0，极小值 小于 0. (13)证题中常用的不等式: ln1 (0)xxx ln+1(1)xxx（） 1 x ex 1 x ex ln1 (1) 12 xx x x 22 ln11 (0) 22 x x xx 3. 解题方法规律总结 1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数 单调性的问题， 又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象， 考虑判别式、 对称轴、区间端点函数值的符号等因素。 2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法： 子区间法；分离参数法；构造函数法。 3.
9、 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含 参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函 数的最值，后者是求函数的值域。 4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关 单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有 正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确 定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x 赋值， 令 x 分别等于1、2、 .、n,把这些不定式累
10、加，可得要证的不定式。） 5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参 数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的 函数值，结合函数图象，确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。 例题 1 、（ 最 值 问 题 与 主 元 变 更 法 的 例 子 ）. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 32 ( )2f xaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是5，最小值是11. （）求函数( )f x的解析式； （）若1 ,1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围 . 2、（根分布与线性规划例子）已知函数 3
11、22 ( ) 3 f xxaxbxc () 若函数( )f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30xy平行 , 求)(xf的解析式； ( ) 当( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时, 设点(2,1)M ba所 在平面区域为S, 经过原点的直线L 将 S 分为面积比为1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程 . 解： (). 由 2 ( )22fxxaxb, 函数( )f x在1x时有极值,220ab (0)1f1c又( )f x在(0,1)处的切线与直线30xy平行 , (0)3fb故 1 2 a 3221 ( )31 32 f xxxx .
12、 7 分 () 解法一 : 由 2 ( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小 值, (0)0 (1)0 (2)0 f f f 即 0 220 480 b ab ab 令( ,)M xy, 则 2 1 xb ya 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx 故点M所在平面区域S为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3 (0,) 2 E, 2 ABC S 同时 DE 为 ABC 的中位线 , 1 3 DECABED SS 四边形所求一条直线L 的方程为 : 0x 另一种情况设不垂直于x 轴
13、的直线 L 也将 S分为面积比为1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为ykx, 它与 AC,BC 分别交于F、 G, 则0k, 1S 四边形 DEGF 由 220 ykx yx 得点 F 的横坐标为 : 2 21 F x k 由 460 ykx yx 得点 G 的横坐标为 : 6 41 G x k OGEOFD SSS 四边形 DEGF 6131 1 222 2 1 4121kk 即 2 16250kk 解得 : 1 2 k或 5 8 k(舍去 ) 故这时直线方程为: 1 2 yx 综上 ,所求直线方程为: 0x或 1 2 yx. . .12 分 () 解法二 : 由 2 ( )22fxxa
14、xb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小 值, (0)0 (1)0 (2)0 f f f 即 0 220 480 b ab ab 令( ,)M xy, 则 2 1 xb ya 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx 故点M所在平面区域S为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3 (0,) 2 E, 2 ABC S 同时 DE 为 ABC 的中位线 , 1 3 DECABED SS 四边形所求一条直线L 的方程为 : 0x 另一种情况由于直线BO 方程为 : 1 2 yx, 设直线 BO 与 AC 交于
15、 H , 由 1 2 220 yx yx 得直线 L 与 AC 交点为 : 1 ( 1,) 2 H 2 ABC S, 111 2 222 DEC S, 11 22 22 11 1 22 HABOAOH SSS AB 所求直线方程为: 0x或 1 2 yx 3、（根的个数问题）已知函数 32 f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。 （）求 cd、 的值； （）若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110，求函数 f ( x ) 的解析式； （）若 0 x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。 4、（根的个数问题）已知函数 321 ( )
16、1() 3 f xxaxxaR （1）若函数( )f x在 12 ,xx xx处取得极值，且 12 2xx，求a的值及( )fx的单调区间； （2）若 1 2 a，讨论曲线( )f x与 2 15 ( )(21)( 21) 26 g xxaxx的交点个数 解：（ 1） 2 ( )21f xxax 1212 2 ,1xxa xx 22 121212 ()4442xxxxx xa0a 22 ( )211fxxaxx 令( )0fx得 1,1xx或 令( )0fx得11x ( )f x的单调递增区间为(, 1)，(1,)，单调递减区间为( 1,1) 5 分 （2）由题()(fxgx得 322 115
17、 1(21) 326 xaxxxax即 32 111 ()20 326 xaxax 令 32111 ( )()2( 21) 326 xxaxaxx6 分 2 ( )(21)2(2 )(1)xxaxaxa x令( )0x得2xa或 1x 7 分 1 2 a当22a即1a时 此时， 9 80 2 a，0a，有一个交点； 当22a即 1 1 2 a时， x 2 ( 2,2 )a2a(2 ,1)a1 ( )x0 ( )x 9 8 2 a 221 (32 ) 36 aaa 221 (32 )0 36 aa, 当 9 80 2 a即 9 1 16 a时,有一个交点； 当 9 800 2 aa，且即 9 0
18、 16 a时，有两个交点； 当 1 0 2 a时， 9 80 2 a，有一个交点 综上可知，当 9 16 a或 1 0 2 a时，有一个交点；当 9 0 16 a时，有两个交点 经典考点 考点 1: 导数概念 题型 1. 求函数在某一点的导函数值 例 1 设函数( )f x在 0 x处可导，则 x xfxxf x )()( lim 00 0 等于 A)( 0 xfB 0 ()fxC 0 ()f xD 0 ()f x 考点 2.求曲线的切线方程 例 2( 高明一中2009 届高三上学期第四次月考) 如图，函数)(xfy的图象在点P处的切线方程是 8xy，则)5()5(ff= . 点拨 :与切线有
19、关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可. 2.某质点的运动方程是 2 ) 12( ttS，则在 t=1s 时的瞬时速度为（） A 1 B 3 C7 D13 3.已知曲线C1:y=x 2 与 C2:y=(x2) 2,直线 l 与 C 1、C2都相切，求直线 l 的方程 . 解：设 l 与 C1相切于点P(x1,x12),与 C2相切于 Q(x2,(x22)2) 对于 C1：y=2x,则与 C1相切于点P 的切线方程为 yx1 2=2x 1(xx1),即 y=2x1xx1 2 对于 C2：y=2(x2),与 C2相切于点Q 的切线方程为y+(x2 2)2=2(x22)
20、(x x2), 即 y= 2(x2 2)x+x224 两切线重合，2x1=2(x22)且 x1 2 =x2 24,解得 x 1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 直线 l 方程为 y=0 或 y=4x4 考点 2 导数的运算 题型 2: 求导运算后求切线方程 例 2. (广州市 2008 届二月月考 )已知函数).(32 3 2 )( 23 Rxxaxxxf （1）若1a，点 P 为曲线)(xfy上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线 方程； （2）若函数),0()(在xfy上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a. 【解题思路】先按运算法则求导, 再按几何意义求切线方程
21、. 3. 重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题 （1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。 问题 1.设0a， 2 ( )1ln2 ln(0)f xxxax x令( )( )F xxfx，讨论( )F x 在 (0)， 内的单调 性并求极值； （2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数. 问题 2. 已知函数)(xf是),0(上的可导函数，若( )( )xfxf x在0x时恒成立 . （1）求证：函数 x xf xg )( )(在),0(上是增函数； （2）求证：当0, 0 21 xx时，有)()( 2121 xxfxxf.
22、 题型 3. 借助单调性处理不等关系 3.已知函数( )lnf xx,( )(0) a g xa x ,设( )( )( )F xf xg x （）求函数( )F x的单调区间； （）若以函数( )(0,3)yF x x图像上任意一点 00 (,)P xy为切点的切线的斜率 1 2 k恒成 立，求实数a的最小值； 例 3. ( 广东省深圳外国语学校2009 届高三上学期第二次统测) 已知函数( )lnf xxx. （）求( )f x的最小值； （）若对所有1x都有( )1f xax，求实数a的取值范围 . 【解题思路】先求极值再求端点值, 比较求出最大( 小) 值. 当区间只有一个极大( 小)
23、 值时 , 该值就是最 大( 小) 值 解析：( )f x的定义域为0( ，+)， 1 分 ( )f x的导数( )1lnfxx. 3 分 令( )0fx，解得 1 e x；令( )0fx，解得 1 0 e x. 从而( )f x在 1 0 e ，单调递减，在 1 e，+ 单调递增 . 5 分 所以，当 1 e x时，( )f x取得最小值 1 e . 6 分 （） 解法一： 令( )( )(1)g xf xax，则 ( )( )1lng xfxaax，8 分 若1a，当1x时，( )1ln10gxaxa， 故( )g x在(1)，+上为增函数， 所以，1x时，( )(1)10g xga，即(
24、 )1f xax. 10 分 若1a，方程( )0gx的根为 1 0 e a x， 此时，若 0 (1)xx，则( )0g x，故( )g x在该区间为减函数. 所以 0 (1)xx，时，( )(1)10g xga， 即( )1f xax，与题设( )1f xax相矛盾 . 13 分 综上，满足条件的a的取值范围是(1，. 14 分 解法二： 依题意，得( )1f xax在1)，上恒成立， 即不等式 1 lnax x 对于1)x，恒成立. 8分 令 1 ( )lng xx x ，则 2 1111 ( )1g x xxxx . 10 分 当1x时，因为 11 ( )10gx xx ， 故( )g
25、 x是(1)，上的增函数，所以( )g x的最小值是(1)1g， 13 分 所以a的取值范围是(1，. 14 分 6已知函数 3 ( )(0)f xaxcxd a是R上的奇函数，当1x时( )f x取得极值2. （1）求( )fx的单调区间和极大值； （2）证明对任意 12 ,x x( 1,1),不等式 12 |()()| 4f xf x恒成立 . 解析 （1）由奇函数定义，有()( ),fxf xxR. 即 33 ,0.axcxdaxcxdd因此， 3 ( ),f xaxcx 2 ( )3.fxaxc 由条件(1)2f为( )f x的极值，必有(1)0,f 故 2 30 ac ac ,解得1
26、,3.ac 因此 3 ( )3 ,f xxx 2 ( )333(1)(1),fxxxx( 1)(1)0.ff 当(, 1)x时，( )0fx，故( )f x在单调区间(, 1)上是增函数 . 当( 1,1)x时，( )0fx，故( )f x在单调区间( 1,1)上是减函数 . 当(1,)x时，( )0fx，故( )f x在单调区间(1,)上是增函数 . 所以，( )f x在1x处取得极大值，极大值为( 1)2.f （2）由 ( 1) 知， 3 ( )3 ( 1,1)f xxx x是减函数，且 ( )f x在 1,1上的最大值为( 1)2,Mf最小值为(1)2.mf 所以，对任意 12 ,( 1
27、,1),x x恒有 12 |()() |2( 2)4.f xf xMm 方法技巧 善于用函数思想不等式问题, 如本题 12maxmin |()() |( )( )f xf xf xf x. 综合拔高训练 6（东莞高级中学2009 届高三上学期11 月教学监控测试）已知函数f(x)=ax 3+bx23x 在 x=1 处 取得极值 . （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间 1，1 上任意两个自变量的值x1，x2，都有 |f(x 1) f(x2)| 4； （）若过点A（1，m ）（ m 2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围 . 解：（ I ）f (x)=3ax 2+2b
28、x3，依题意， f (1)=f ( 1)=0 ， 即, 0323 0323 ba ba 2 分 解得 a=1， b=0. f(x)=x 33x. 4 分 （II ） f(x)=x 33x, f (x)=3x23=3(x+1)(x 1) ， 当 1x1 时， f (x)0 ，故 f(x) 在区间 1，1 上为减函数， fmax(x)=f(1)=2 ，fmin(x)=f(1)=26 分 对于区间 1，1 上任意两个自变量的值x1，x2， 都有 |f(x1) f(x2)| |fmax(x) fmin(x)| |f(x 1) f(x2)| |fmax(x) fmin(x)|=2(2)=4 8 分 （I
29、II）f (x)=3x 23=3(x+1)(x 1) ， 曲线方程为y=x 33x，点 A（1，m ）不在曲线上 . 设切点为M （x0，y0），则点M的坐标满足.3 0 3 00 xxy 因) 1(3)( 2 00 xxf，故切线的斜率为 1 3 )1(3 0 0 3 02 0 x mxx x， 整理得0332 2 0 3 0 mxx. 过点 A（1，m ）可作曲线的三条切线， 关于x0方程332 2 0 3 0 mxx=0 有三个实根 . 10 分 设 g(x0)= 332 2 0 3 0 mxx，则 g(x0)=6 0 2 0 6xx， 由 g(x0)=0 ，得x0=0 或x0=1. g
30、(x0) 在（， 0），（ 1， +）上单调递增，在（0，1）上单调递减. 函数 g(x0)= 332 2 0 3 0 mxx的极值点为x0=0，x0=1 12 分 关于 x0方程 332 2 0 3 0 mxx=0 有三个实根的充要条件是 0)1 ( 0)0( g g ，解得 3m 2. 故所求的实数a 的取值范围是3m 2. 14 分 7（广东省北江中学2009 届高三上学期12 月月考） 已知 x x xgexxaxxf ln )(,0(,ln)(，其中e是自然常数，.aR （）讨论1a时, ( )f x的单调性、极值； （）求证：在（）的条件下， 1 ( )( ) 2 f xg x;
31、（）是否存在实数a，使( )f x的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解：（）xxxfln)(， x x x xf 11 1)( 1 分 当10x时， / ( )0fx，此时( )f x单调递减 当ex1时， / ( )0fx，此时( )f x单调递增 3 分 ( )f x的极小值为1) 1(f 4 分 （）( )f x的极小值为1，即( )f x在, 0(e上的最小值为1， 0)(xf， min ( )1f x 5分 令 2 1ln 2 1 )()( x x xgxh， x x xh ln1 )(， 6 分 当ex0时，0)(xh，( )h x在,0(e上单调递增 7 分
32、 minmax |)(|1 2 1 2 1 2 11 )()(xf e ehxh 在（ 1）的条件下， 1 ( )( ) 2 f xg x 9 分 （）假设存在实数a，使xaxxfln)(（, 0(ex）有最小值3， /1 ( )fxa xx ax1 9 分 当0a时，)(xf在,0(e上单调递减，31)()( min aeefxf， e a 4 （舍去），所以， 此时)(xf无最小值 . 10 分 当e a 1 0时，)(xf在) 1 ,0( a 上单调递减，在, 1 (e a 上单调递增 3ln1) 1 ()( min a a fxf， 2 ea，满足条件 . 11 分 当e a 1 时，
33、)(xf在,0(e上单调递减， 31)()( min aeefxf， e a 4 （舍去），所以， 此时)(xf无最小值 .综上，存在实数 2 ea，使得当,0(ex时( )fx有最小值 3. 21. （本题满分12 分）已知函数xxaxfln) 2 1 ()( 2 .（ Ra ） （）当1a时，求)(xf在区间 1，e上的最大值和最小值； （）若在区间（1，+）上，函数)(xf的图象恒在直线axy2下方，求a的取值范围 解析：（）当1a时，xxxfln 2 1 )( 2 ， x x x xxf 11 )( 2 ；2 分 对于x1， e，有0)(xf，)(xf在区间 1，e上为增函数，3 分
34、2 1)()( 2 max e efxf， 2 1 )1()( min fxf.4 分 （）令xaxxaaxxfxgln2) 2 1 (2)()( 2 ，则)(xg的定义域为（0， +） . 5 分 在区间（ 1，+）上，函数)(xf的图象恒在直线axy2下方等价于0)(xg在区间（ 1，+ ）上恒成立 . x xax x axxa x axaxg 1) 12)(1(12)12(1 2)12()( 2 若 2 1 a，令0)(xg，得极值点1 1 x， 12 1 2 a x，6 分 当1 12 xx，即1 2 1 a时，在（ 2 x，+) 上有0)(xg， 此时)(xg在区间 ( 2 x，+) 上是增函数，并且在该区间上有 )(xg()(2xg，+) ，不合题意；7 分 当1 12 xx，即1a时，同理可知，)(xg在区间 (1， +) 上，有 )(xg() 1(g，+)，也不合题意；9 分 若 2 1 a，则有012a，此时在区间 (1，+) 上恒有0)(xg， 从而)(xg在区间 (1， +) 上是减函数；11 分 要使0)(xg在此区间上恒成立，只须满足0 2 1 )1(ag 2 1 a， 由此求得a的范围是 2 1 ， 2 1 . 综合可知，当a 2 1 ， 2 1 时，函数)(xf的图象恒在直线axy2下方 . 12 分