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1、试卷第 1 页，总 9 页 导数加强练习 学校 :_姓名： _班级： _考号： _ 一、选择题（题型注释） 1. 对于 R上可导的函数)(xf，若满足0)( )1(xfx，则必有（） A)1(2)2()0(fff B) 1(2)2()0(fff C)1(2)2()0(fff D)1 (2)2()0(fff 2已知点P是曲线 3 1 x x e y e 上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的 最小值是（） A 0 B 4 C 2 3 D 3 4 3已知函数( )f x在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx，则曲线( )yf x在点 (1, (1)f处的切线方程是（） A21
2、yx Byx C32yx D23yx 二、填空题（题型注释） 4已知 31 32 3 fxxxf，则 1f 5 2 1 1 (2)xdx x 三、解答题（题型注释） 6已知函数 2 1ln x fx x （）求函数fx的零点及单调区间； （）求证：曲线 ln x y x 存在斜率为 6的切线，且切点的纵坐标 0 1y 试卷第 2 页，总 9 页 7设函数( ), ln bx f xax e x 为自然对数的底数. （ 1）若曲线( )yf x在点 22 (,()ef e处的切线方程为 2 340xye，求实数,a b 的值； （ 2）当1b时，若存在 2 12 , ,x xe e，使 12 (
3、)()f xfxa成立，求实数a的最小 值 . 试卷第 3 页，总 9 页 8已知函数 21 ( )ln, 2 f xxaxx aR （ 1）若(1)0f，求函数( )f x的最大值； （ 2）令( )( )(1)g xf xax，讨论函数( )g x的单调区间； （ 3）若2a，正实数 12 ,x x满足 1212 ()()0f xf xx x，证明： 12 51 2 xx 试卷第 4 页，总 9 页 9 （本小题满分13 分）已知函数 x eaxxf)3()(（0a） ，其中e自然对数的底数。 （ 1）若函数图象在0x处的切线方程为230xy，求a的值； （ 2）求函数)(xf的单调区间；
4、 （ 3）设函数txxxgln 2 1 )(，当1a时，存在),0(x使得)()(xgxf成 立，求 t的取值范围 . 试卷第 5 页，总 9 页 10设函数 2 ln0fxaxbxx，若函数yfx在1x处与直线1y相 切 . ( ) 求实数,a b的值； ( ) 求函数yfx在 1 ,e e 上的最大值 . 11已知函数1 x fxeax， （a为实数），lng xxx （ 1）讨论函数 ( )fx 的单调区间； （ 2）求函数g x的极值； （ 3）求证：ln(0) x xxex 试卷第 6 页，总 9 页 12设函数( )ln1f xxx （）讨论( )f x的单调性； （）证明当(1,
5、)x时， 1 1 ln x x x ； （）设1c，证明当(0,1)x时，1 (1) x cxc. 试卷第 7 页，总 9 页 13已知函数 2 ( )(2)e(1) x f xxa x有两个零点 . （）求a 的取值范围； （）设x1，x2是( )f x的两个零点，证明： 12 2xx. 试卷第 8 页，总 9 页 14 （14 分） （2015?广东）设a1，函数 f （x）=（1+x 2）ex a （ 1）求 f（x）的单调区间； （ 2）证明 f （ x）在（， +）上仅有一个零点； （ 3）若曲线y=f （x）在点 P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n）处的切线与直线 OP
6、平行，（O是坐标原点） ，证明： m 1 试卷第 9 页，总 9 页 15 （本小题满分14 分） 已知函数axexf x （a为常数） 的图象与y轴交于点A，曲线xfy在点A处 的切线斜率为-1. （ I ）求a的值及函数xf的极值； （ II ）证明：当0x时， x ex 2 ； （ III）证明： 对任意给定的正数c，总存在 0 x，使得当， 0 xx，恒有 x cex 2 . 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 1 页，总 9 页 参考答案 1C 2 D 试题分析： max 443 ,10,1, 1 14 ()2 x x x yyyk e e e , 故选 D
7、. 3A 45 53ln 2 6 （）函数 2 1ln x fx x 的定义域为0x x 令0fx，得x e，故fx 的零点为 e 2 23 2 1 1ln2 2ln3 xxx xx fx x x （0x） 令0fx，解得 3 2 xe 当x变化时，fx，fx的变化情况如下表： 所以fx的单调递减区间为 3 2 0,e，单调递增区间为 3 2 ,e （）令 ln x g x x ，则 22 1 1 ln 1 ln xx x x gxfx xx 因为 11 44ln 2446 22 f ，0fe，且由（）得，fx在0,e内是减 函数， 所以存在唯一的 0 1 , 2 xe ，使得 006gxfx
8、 当,xe时，0fx 所以曲线 ln x y x 存在以 00 ,x g x为切点，斜率为6的切线 由 0 02 0 1ln 6 x gx x 得： 2 00 ln16xx 所以 2 00 00 000 ln161 6 xx g xx xxx 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 9 页 因为 0 1 2 x，所以 0 1 2 x ， 0 63x 所以 00 1yg x 7 （ 1）由已知得0,1xx， 2 (ln1) ( ) ln bx fxa x . 则 22 22 22 bee feae且 2 3 44 b fea，解之得1,1ab. （2）当1b时，
9、 2 ln1 ( ) ln x fxa x = 22 11111 lnlnln24 aa xxx , 所以当 2 11 ln2 xe x 时， max 1 4 fxa. 而命题“若存在 2 12 ,x xe e ，使 12 ()()f xfxa成立”等价于 “当 2 ,xe e时，有 minmax fxfxa”. 又当 2 ,xe e 时， max 1 4 fxa，所以 max 1 4 fxa. 问题等价于： “当 2 ,xe e 时，有 min 1 4 fx” 当 1 4 a时，fx在 2 , e e 上为减函数，则 2 22 min 1 24 e fxfeae，故 2 11 24 a e
10、. 当 1 4 a时，由于 2 111 ln24 fxa x 在 2 ,e e上的值域为 1 , 4 aa . 当00aa时，0fx在 2 ,e e恒成立，故fx在 2 , e e上为增函数， 于是 min 1 4 fxfeeae，不合题意 . 当0a即 1 0 4 a时，由 fx的单调性和值域知，存在唯一 2 0 ,xe e使 0fx，且满足：当 0 ,xe x时，0fx，fx为减函数；当 2 0, xx e时， 0fx，fx为增函数；所以 0 00 min 0 1 ln4 x fxfxax x ， 2 0 ,xe e. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 3 页，
11、总 9 页 所以 2 00 1111111 ln4ln4244 a xxee ，与 1 0 4 a矛盾 . 综上得a的最小值为 2 11 24e . 考点： 1. 导数的几何意义；2. 导数与函数的单调性、最值；3. 函数与不等式；4. 等价转换思 想应用 . 8 （ ） 因 为(1)10 2 a f， 所 以2a， 此 时 2 ( )ln,0f xxxx x， 2 121 ( )21(0) xx fxxx xx ， 由( )0fx，得1x，所以( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 故当1x时函数有极大值，也是最大值，所以( )fx的最大值为(1)0f （2） 21 (
12、)( )(1)ln(1)1 2 g xf xaxxaxa x， 所以 2 1(1)1 ( )(1) axa x g xaxa xx 当0a时，因为0x，所以( )0gx 所以( )g x在(0,)上是递增函数， 当0a时， 2 1 ()(1) (1)1 ( ) a xx axa x a gx xx ， 令( )0g x，得 1 x a ，所以当 1 (0,)x a 时，( )0gx，当 1 ( ,)x a 时，( )0g x， 因此函数( )g x在 1 (0,)x a 是增函数，在 1 (,)x a 是减函数 综上，当0a时，函数( )g x的递增区间是(0,)，无递减区间； 当0a时，函数
13、( )g x的递增区间是 1 (0,) a ，递减区间是 1 (,) a （3）当2a， 2 ( )ln,0f xxxx x 由 1212 ()()0f xf xx x，即 22 11122212 lnln0xxxxxxx x， 从而 2 1212 xxxx 1212 xxln xx 令 12 txx，则由( )lnttt得， 1 ( ) t t t 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4 页，总 9 页 可知，( ) t在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增，所以( )(1)1t， 所以 2 1212 ()()1xxxx，因为 12 0,0xx， 因此
14、 12 51 2 xx成立 考点： 1、导数在函数研究中的应用；2、最值，单调区间. 9 （ 1）由已知， x e a xaxf) 3 1()( / ， 1分 切线230xy的斜率为2，即2) 3 10()0( 0/ e a af， 2分 解得5a； 3分 （2）由（ 1） x e a xaxf) 3 1()( / ， 0 x e . 若a0，由 )( / xf0 可得x a 3 1，)( / xf0 可得x a 3 1 )(xf的单增区间为) 3 1,( a ，单减区间为), 3 1( a 5分 若a0，由)( / xf0 可得x a 3 1，)( / xf0 可得x a 3 1 )(xf的
15、单增区间为), 3 1( a ，单减区间为) 3 1,( a 7分 （3）当1a时，由（ 1）可知)(xf在区间)2,0(上单增，在区间),2(上单减 则 2 max )2()(efxf 8分 由txxxgln 2 1 )(知 x x x xg 2 21 2 1 )( / 易知)(xg在区间)2, 0(上单减，在区间), 2(上单增。 则txg1ln-1)( min 11分 则存在),0(x使得)()(xgxf成立等价于 minmax )()(xgxf 即te2ln1 2 ，即 12ln, 2 et （ 13分 【考点定位】 本题主要考查导数的计算，导数的几何意义及应用导数研究函数的单调性、极
16、 值，考查辅助函数证明不等式，意在考查考生的运算能力、分析问题、解决问题的能力、转 化与化归思想及创新意识 10 ( )2 a fxbx x ,1分, 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 5 页，总 9 页 函数yfx在1x处与直线1y相切 . 120, 11, fab fb ,3分, 解得：2,1ab,4分, ( ) 由( ) 得， 2 2 2 1 2 2ln,2 x fxxxfxx xx 。 令0,0,1fxxx,5分, 当 1 ,1 ,0,1,0xfxxefx e ，1x为 函 数yfx的 极 大 值 点，,8分, 又 2 11 11,21ff ee ， 2 2
17、1,fee max 11fxf,10 分 考点：函数导数的几何意义；函数导数与单调性最值 11 （1）由题意得 x fxea 当0a时， 0fx恒成立，函数fx在 R上单调递增， 当0a时，由 0fx可得lnxa，由 0fx可得lnxa， 故函数fx在ln ,a上单调递增，在,ln a上单调递减 . （2）函数g x的定义域为0,， 1 1gx x ， 由 0gx可得01x；由 0gx，可得1x. 所以函数g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减， 故函数g x在1x取得极大值，其极大值为ln111. 当1a时，1 x fxex，由（ 1）知，1 x fxex在ln10x处取得极小 值，也是
18、最小值，且 min 0fx，故 10 x ex 0x，得到 1 x ex 0x. 由（ 2）知，lng xxx在lx处取得最大值，且 max 1g x， 故ln1xx0x，得到ln1xxx0x. 综上ln x xxe0x. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 6 页，总 9 页 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 12 （）由题设，( )fx的定义域为(0,)， 1 ( )1fx x ，令( )0fx，解得1x. 当01x时，( )0fx，( )f x单调递增；当1x时，( )0fx，( )fx单调递减 . （）由（）知，( )f x在1x处取得最
19、大值，最大值为(1)0f. 所以当 1x 时，ln 1xx . 故当(1,)x时，ln1xx， 11 ln1 xx ，即 1 1 ln x x x . （）由题设1c，设 ( )1(1) x g xcxc，则( )1ln x g xccc，令( )0g x， 解得 0 1 ln ln ln c c x c . 当 0 xx时，( )0g x，( )g x单调递增；当 0 xx时，( )0g x，( )g x单调递减 . 由（）知， 1 1 ln c c c ，故 0 01x，又(0)( 1 )0gg，故当01x时，( )0g x. 所以当(0,1)x时，1 (1) x cxc. 【考点】利用导
20、数研究函数的单调性、不等式的证明与解法 【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性， 再利用单调性进行证明； （2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或 最值来证明 13 （） ( )(1)e2 (1)(1)(e2 ) xx fxxa xxa （）设0a，则( )(2)ex f xx，( )f x只有一个零点 （） 设0a，则当(,1)x时，( )0fx；当( 1 ,)x时，( )0fx所以( )f x 在(,1)单调递减，在(1,)单调递增 又(1)ef，(2)fa，取b满足0b且ln 2 a b ，则 223 ( )(2)(1)()0
21、 22 a f bba ba bb ， 故( )f x存在两个零点 （）设0a，由( )0fx得1x或ln( 2 )xa 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 7 页，总 9 页 若 e 2 a，则ln( 2 )1a，故当(1,)x时，( )0fx，因此( )f x在(1,)单调递 增又当1x时( )0f x，所以( )f x不存在两个零点 若 e 2 a， 则ln ( 2 ) 1a，故当(1,ln( 2 )xa时，( )0fx； 当( l n ( 2 ) ,)xa时， ( )0fx因此( )f x在(1,ln( 2 )a单调递减， 在(ln( 2 ),)a单调递增 又
22、当1x时， ( )0f x，所以( )f x不存在两个零点 综上，a的取值范围为(0,) （）不妨设 12 xx， 由 （）知 12 (,1),(1,)xx， 2 2(,1)x，( )f x在(,1) 单调递减，所以 12 2xx等价于 12 ()(2)f xfx，即 2 (2)0fx 由于 2 22 222 (2)e(1) x fxxa x，而 2 2 222 ()(2)e(1)0 x f xxa x，所以 22 2 222 (2)e(2)e xx fxxx 设 2 ( )e(2)e xx g xxx，则 2 ( )(1)(ee ) xx g xx 所以当1x时，( )0gx，而(1)0g，
23、故当1x时，( )0g x 从而 22 ()(2)0g xfx，故 12 2xx 【考点】导数及其应用 【名师点睛】 对于含有参数的函数单调性、极值、 零点问题 , 通常要根据参数进行分类讨论, 要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简. 解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当 的函数 , 利用导数研究函数的单调性或极值破解. 14解：（1）f （ x）=e x（x2+2x+1）=ex（x+1）2 f （ x）0， f （x）=（ 1+x 2）exa 在（， +）上为增函数 （2）证明：由（1）问可知函数在（，+）上为增函数 又 f （0）=1a， a1 1a 0 f （0） 0当 x+时，
24、f （ x） 0 成立 f （x）在（， +）上有且只有一个零点 （3）证明： f （x）=e x（x+1）2， 设点 P（ x0， y0）则） f （x）=e x0（x 0+1） 2， y=f （x）在点 P处的切线与x 轴平行， f （x0）=0，即： e x0（x 0+1） 2=0， x0=1 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 8 页，总 9 页 将 x0=1 代入 y=f （x）得 y0=， ,10分 令； g（m ）=e m （ m+1 ） g（m ）=e m （ m+1 ） ， 则 g （m ）=e m 1，由 g （m ） =0得 m=0 当 m （
25、0，+）时， g （m ） 0 当 m （， 0）时， g （m ） 0 g（m ）的最小值为g（ 0）=0,12分 g（m ）=e m （ m+1 ）0 e m m+1 e m （m+1 ） 2（ m+1 ）3 即： m ,14分 点评： 本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用， 在高考中属于压轴题 目，有较大难度 15 （ I ） 由( ) x f xeax， 得() x fxea. 又(0)11fa, 得2a. 所 以 ( )2 ,()2 xx f xex fxe. 令( )0fx, 得ln 2x. 当ln 2x时, ( )0,( )fxf x 单调递减 ; 当ln 2x
26、时, ( )0,( )fxf x单调递增 . 所以当ln 2x时, ( )fx取得极小值 , 且极小值为 ln2 (ln 2)2ln 22ln 4,( )fef x无极大值 . （II ） 令 2 ( ) x g xex, 则( )2 x g xex. 由（I ）得( )( )( ln2 )0g xf xf, 故( )g x 在 R上单调递增 , 又(0)10g, 因此 , 当0x时, ( )(0)0g xg, 即 2x xe. （ III）若1c, 则 xx ece. 又由（ II ）知，当0x时 , 2x xe. 所以当0x时 , 2x xce. 取 0 0x, 当 0 (,)xx时，恒有
27、 22 xcx. 若01c, 令 1 1k c , 要使不等式 2x xce成立，只要 2x ekx成立 . 而要使 2x ekx 成 立 ， 则 只 要 2 ln()xkx, 只 要2 l nl nxxk成 立 . 令( )2lnlnh xxxk, 则 22 ( )1 x h x xx . 所 以 当2x时 , ( )0, ( )h xh x在(2,)内 单 调 递 增 . 取 0 1616xk,所以( )h x在 0 (,)x内单调递增.又 0 ()162ln(16 )ln8(ln 2)3(ln)5h xkkkkkkk.易知 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 9 页，总 9 页 ln,ln 2,50kk kk. 所 以 0 ()0h x. 即 存 在 0 16 x c , 当 0 (,)xx时 ， 恒 有 2x xc e. 综上，对任意给定的正数c，总存在 0 x,当 0 (,)xx时, 恒有 2x xce. 考点： 1. 函数的极值.2. 构建新函数证明不等式.3. 开放性题 .4. 导数的综合应用.5. 运算能 力.6. 分类讨论的数学思想. 有不同的方式，只要正确，均相应给分. 注: 对 c 的分类不同