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1、- 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2 洛必达法则可处理 0 0 0 ，0 ，1 ， ， 0 0 ， 型。 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第2 步，由不等式恒成立来求参数 0 0 的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。则不适用，应从另外途径求极限。 洛必达法则简介： 4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为 止。 法则1 若函数f(x) 和 g(x) 满足下列条件：(1) lim 0 f x 及lim g x 0； x a x a (2) a f(x) g(x) g(x) 0在点的去心邻域内，与可导且 ；
2、 二高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数 x 2 f (x) e 1 x ax 。 (3) lim x a f x g x l ， （ 1）若a 0，求f (x) 的单调区 间； （ 2）若当x 0 时f (x) 0，求a的取值范围 那么lim x a f x g x = lim x a f x g x l 。 x x 原解：（ 1）a 0时，f ( x) e 1 x，f ( x) e 1. 法则2 若函数f(x) 和 g(x) 满足下列条件：(1) lim 0 f x 及lim g x 0； x x 当x ( ,0) 时，f ( x) 0 ；当x (0, ) 时，f (x) 0
3、 .故f (x) 在( ,0) 单调减 少，在 (2) A 0， f(x) 和 g(x) 在, A 与A, 上可导，且g(x) 0；(0, ) 单调增 加 (3) lim x f x g x l ， x （ II ）f (x) e 1 2ax x 由（ I）知1 e x ，当且仅当x 0 时等号成立.故 那么lim x f x g x =lim x f x g x l 。 f ( x) x 2ax (1 2a)x ， 法则3 若函数f(x) 和 g(x) 满足下列条件：(1) lim x a f x 及lim x a g x ；从而当1 2a 0 ， 即 1 a 时，f (x) 0 ( x 0
4、) ，而f (0) 0 ， 2 (2) 在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且g( x) 0； 于是当x 0 时，f ( x) 0 . (3) lim x a f x g x l ，x x 由e 1 x(x 0)可得e 1 x(x 0) .从而 当 1 a 时， 2 那么lim x a f x g x = lim x a f x g x l 。 x x x x x f ( x) e 1 2a(e 1) e (e 1)(e 2a) ， 故当x (0,ln 2a)时，f ( x) 0，而f (0) 0 ，于是当x (0,ln 2a)时，f (x) 0 . 利用洛必达法则求未定式的极
5、限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： - - 1 将上面公式中的xa，x换成x +，x - ，x a ，xa 洛必达法则也成立。 综合得a的取值范围 为, 1 2 - 原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： b 1, 另解 :（ II ）当x 0时，f (x) 0，对任意实数a,均在f (x) 0； 当x 0时，f (x) 0等价 于 x a e x 2 x 1 令 x g x e x 2 x 1 (x0), 则 x x g x x e 2 e x 2 ( )g x x e 2 e x 2 3 x ，令 x x x x x h x xe e x x ，则1 2 2 h
6、 x 0 xe e ，h x x e 0， 知h x 在0, 上为增 函 数，h x h 0 0 ； 知h x 在0, 上 为 增 函 数 ， a b 2 ln x 1 x 1 x f (x) 考虑函数h( x) 2l （）由（ ） 知 - - ，所 以 x l n x k 1 ( k 1 ) ( x 1 ) f ( x ) ( ) ( 2 l n x ) x 1 x 1 - - x x 。 2 (k 1)( x 1) 2x 2 x 。 - - h x h 0 0；g x 0， g(x)在0, 上为增函 数。 由洛必达法则知， x x x e e e x 1 1 lim lim lim 2 2
7、x 2 2 x x 0 x 0 x 0 故 a 1 2 综上，知a 的取值范围为 , 1 2 。 ， 2 2 k(x 1) (x 1) （ i）设k 0 ，由 知，当x 1时，h (x) 0，h（ x）递减。而h(1) 0 ； 1 2 x h（ x）0 k x l n x x 1 k x - - ）0，即f（ x） + . h (x) 2 x 故当x (0,1)时，h(x) 0，可得 1 1 2 x h(x) 0 当 x （ 1，+ ）时，h（ x） 0,且 x 1 时， f（ x）-（ ln x x 1 + 2 （ 2011 年全国新课标理）已知函数，曲线y f (x) 在点(1, f (1
8、)处的切线方程为x 2y 3 0。 （ ii ） 设00, - - 2 ） 时 ， （ ） （ + 1 + 2 x 0 , k - 1 x ） 故 1 当 x （ 1， 1 k . 1 k ）时， h（x） 0，可得 k 1 2 1 2 x x， 2 (k 1)(x 1) 2x 0 h （ x）0,而 h（ 1）=0，故当x 由于直线x 2y 3 0的斜率为 1 2 ，且过点(1,1)，故 f f (1) 1, 1 (1) , 2 即 （ 1，+ ）时， h（ x）0，可 得 1 综合得，k 的取值范围 为（- ， 0 原解在处理第（II ）时非常难 想到，现利用洛必达法则处理如 下： 另解：
9、（ II ）由题设可得，当x 0, x 1 时， k h 1 =0 h x 在0, 上为增函数 g (x) x sin x 0 ，所以g ( x) 在 (0, ) 2 上单调递减，且g (x ) 0 ， h 1 =0 所以g(x) 在 (0, ) 2 上单调递减，且g (x ) 0.因此g ( x) 在 (0, ) 2 上单调递减， 当x (0,1)时，h x 0，当x （ 1， + ）时，h x 0 且g ( x) 0，故 g(x) f ( x) 0 4 x ，因此f ( x) x sin x 3 x 在(0, ) 2 上单调递 减. 当x (0,1)时，g x 0，当x （1，+ ）时，g
10、 x 0 由洛必达法则有 g x 在0,1 上为减函数，在1, 上为增函数 x sin x 1 cos x sin x cos x 1 lim f (x) lim lim lim lim 3 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 3x 6x 6 6 ， 由洛必达法则知 xln x 1 ln x 1 lim lim lim g x 2 1 2 1 2 1 0 2 1 x 2x 2 x 1 x 1 x 1 即当x 0 时， 1 g(x) ，即有 6 1 f (x) . 6 k ，即 k 的取值范围为（- ，0 0 故 1 a 时，不等式 6 3 sin x x ax 对于x (0, ) 恒成 立. 2 - - 规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满 足： 可以分离变量； 分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； 的方法。 出现“ 0 0 ”型式子. 自编：若不等式 3 sin x x ax 对于x (0, ) 2 恒成立，求a 的取值范围.