《广东省2016年全国卷适应性考试理科数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省2016年全国卷适应性考试理科数学试题(解析版).pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 2016 年适应性考试 理科数学 一、选择题 :本大题共12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的 1已知集合 2 430Ax xx，21 x Bx，则AB（） A 3, 1B(, 3 1,0)C(,3)( 1,0D(,0) 【答案】 B 【解析】(, 3 1,)A，(,0)B， (,3 1,0)AB 2若(2)zaai为纯虚数，其中aR，则 7 i 1i a a （） AiB1CiD1 【答案】 C 【解析】z为纯虚数，2a， 7 i2i( 2i)(12i)3i i 1i3 12i(12i)(12i) a a 3设 n S为数列 n a
2、的前n项的和，且 * 3 (1)() 2 nn SanN，则 n a（） A3(32 ) nn B32 n C3 n D 1 3 2 n 【答案】 C 【解析】 111 122 3 (1) 2 3 (1) 2 aSa aaa ， 1 2 3 9 a a ， 经代入选项检验，只有C 符合 4执行如图的程序框图，如果输入的100N， 则输出的x（） A0.95B0.98 C0.99D1.00 【答案】 C 【解析】 1111 12233 499100 x 111111199 (1)()()() 2233499100100 n=n+1 x=x+ 1 n(n+1) x 输出 结束 nN n=1,x=0
3、 是 否 开始 输入N 2 5三角函数( )sin(2 )cos2 6 fxxx的振幅和最小正周期分别是（） A3, 2 B3,C2, 2 D2, 【答案】 B 【解析】( )sincos2cossin2cos2 66 f xxxx 3331 cos2sin 23(cos2sin 2 ) 2222 xxxx 3 cos(2) 6 x，故选 B 6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A12B6 C4D2 【答案】 D 【解析】 11 =2(2+1)22 32 V正四棱锥 7设p、q是两个命题，若()pq是真命题， 那么（） Ap是真命题且q是假命题 Bp是真命题且q是真命题 C
4、p是假命题且q是真命题 Dp是假命题且q是假命题 【答案】 D 8从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距 离小于1的概率是（） A 7 1 B 7 3 C 7 4 D 7 6 【答案】 A 【解析】两点间的距离小于1共有 3 种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率 2 7 31 7 P C 9已知平面向量a、b满足|1ab，(2 )aab，则|ab（） A0B2C2D3 【答案】 D 【解析】(2 )aab，(2 )0aab， 2 11 22 a ba， 222 |()2ababaa bb 221 1213 2 1
5、1 2 2 2 1 3 10 62 ) 2 1 ( x x的展开式中，常数项是（） A 4 5 B 4 5 C 16 15 D 16 15 【答案】 D 【解析】 2612 3 166 11 ()()() 22 rrrrrr r TCxC x x ， 令1230r，解得4r 常数项为 44 6 115 () 216 C 11 （2016 广东适应） 已知双曲线的顶点为椭圆1 2 2 2y x长轴的端点， 且双曲线的离心率与椭圆的离心 率的乘积等于1，则双曲线的方程是（） A1 22 yxB1 22 xyC2 22 yxD2 22 xy 【答案】 D 【解析】椭圆的端点为(0,2)，离心率为 2
6、 2 ，双曲线的离心率为2， 依题意双曲线的实半轴2a，2c，2b，故选 D 12如果定义在R 上的函数)(xf满足：对于任意 21 xx，都有)()( 2211 xfxxfx )()( 1221 xfxxfx， 则 称)( xf为 “H函 数 ” 给 出 下 列 函 数 ： 1 3 xxy； )cossin(23xxxy；1 x ey； 00 0|ln x xx y，其中 “H函数 ” 的个数是（） A4B3C2D1 【答案】 C 【解析】 1122 ()()x fxx fx)()( 1221 xfxxfx， 1212 ()()()0xxfxfx，)( xf在R上单调递增 2 31yx， 3
7、 (,) 3 x，0y，不符合条件； 32(cos +sin)=32 2 sin()0 4 yxxx，符合条件； 0 x ye，符合条件； fx在(,0)单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H函数 ” 是 4 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分 13已知实数x，y满足约束条件 1 1 22 yx yx yx ，若目标函数ayxz2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 【答案】(, 2) 【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)ABC, 2 A z， B za，64 C za 642 64 a aa ，解得2a 14已知
8、双曲线1 16 3 2 22 p yx 的左焦点在抛物线pxy2 2 的准线上，则p 【答案】4 【解析】 2 2 3() 162 pp ，4p 15已知数列 n a的各项均为正数， n S为其前n项和，且对任意nN * ，均有 n a、 n S、 2 n a成等差数列， 则 n a 【答案】n 【解析】 n a， n S， 2 n a成等差数列， 2 2 nnn Saa 当1n时， 2 1111 22aSaa又 1 0a 1 1a 当2n时， 22 111 22() nnnnnnn aSSaaaa， 22 11 ()()0 nnnn aaaa， 111 ()()()0 nnnnnn aaaa
9、aa， 又 1 0 nn aa， 1 1 nn aa， n a是等差数列，其公差为1， 1 1a， * (N ) n an n 5 16已知函数)( xf的定义域R ，直线1x和2x是曲线)( xfy的对称轴，且1)0(f，则 )10()4(ff 【答案】 2 【解析】直线1x和2x是曲线)( xfy的对称轴， (2)( )fxf x，(4)( )fxf x， (2)(4)fxfx，)(xfy的周期2T (4)(10)(0)(0)2ffff 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （本小题满分12 分） 已知顶点在单位圆上的ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 C
10、bBcAacoscoscos2 （ 1）Acos的值； （ 2）若4 22 cb，求ABC的面积 【解析】（1）2 coscoscosaAcBbC， 2sincossincossincosAACBBC， 2sincossin()AABC， ABC，sin()sinBCA， 2sincossinAAA 0A，sin0A， 2cos1A， 1 cos 2 A （2）由 1 cos 2 A，得 3 sin 2 A， 由2 sin a A ，得2sin3aA 222 2cosabcbcA， 222 431bcbca， 1133 sin 2224 ABC SbcA 6 18 （本小题满分12 分） 某单
11、位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）3 35 4 5 55 6 5 7 75 8 50 （ 1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数； （ 2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为，求的分布列和期望； （ 3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、 5.4万元、6 .5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程axby? ? ?中系数计算公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ，xbya ?
12、?，其中x、y为样本均值 【解析】（1）平均值为10 万元，中位数为6 万元 （2）年薪高于5 万的有 6 人，低于或等于5 万的有 4 人； 取值为 0，1，2 15 2 )0( 2 10 2 4 C C P， 15 8 ) 1( 2 10 1 6 1 4 C CC P， 3 1 )2( 2 10 2 6 C C P， 的分布列为 0 1 2 P 15 2 15 8 3 1 2816 ( )012 151535 E （3）设)4, 3, 2, 1(,iyx ii 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2yx， 2 1 ()2.250.250.252.255 n i i xx ， 4 1 ()
13、()1.5( 2)( 0.5)( 0.8)0.50.61.52.27 ii i xxyy ， 1 2 1 ()() 7 1.4 5 () n ii i n i i xxyy b xx ， ? ?5 1.42.51.5ayb x， 由线性回归方程为1.41.5yx可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元 7 19 （本小题满分12 分） 如图，在直二面角CABE中，四边形ABEF是矩形，2AB，32AF，ABC是以A为 直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，3PF （1）证明：FB面PAC； （2）求异面直线PC与AB所成角的余弦值 【解析】（1）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，
14、如图， 则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,23)F 22 4BFABAF，3PF， 33 (,0,) 22 P，(2,0, 2 3)FB ， (0,2,0)AC ， 33 (,0,) 22 AP 0FB AC，FBAC 0FB AP ，FBAP FBAC，FBAP，ACAPA， FB平面APC （2）(2,0,0)AB， 33 (,2,) 22 PC， 记AB与PC夹角为，则 3 3 7 cos= 14 2 7 AB PC AB PC P C A B E F 8 【方法 2】（ 1）4FB, 3 coscos 2 PFABFA， 22 2cosPAPFFAPF
15、FAPFA 9122 3 2 33 /23 222 3912PAPFAF， PA BF 平面ABEF平面ABC， 平面ABEF平面ABCAB， ABAC，AC平面ABC， AC平面ABEF BF平面ABEF，ACBF PAACAI，BF平面PAC （2）过P作/,/PMAB PNAF，分别交,BE BA于,M N点， MPC的补角为PC与AB所成的角连接MC，NC 3 2 PNMB， 3 2 AN， 225 2 NCANAC，2 2BC， 22 7PCPNNC， 22 35 2 MCMBBC， 135 7 33 7 44 cos 1 142 7 27 2 MPC 异面直线PC与AB所成的角的余
16、弦值为 3 7 14 9 20 （本小题满分12 分） 已知抛物线C：xy4 2 ，过其焦点 F作两条相互垂直且不平行于 x轴的直线，分别交抛物线 C于 点 1 P、 2 P和点 3 P、 4 P，线段 21P P、 43P P的中点分别为 1 M、 2 M （1）求 21M FM面积的最小值； （2）求线段 21M M的中点P满足的方程 【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F， 设直线 12 PP的方程为(1)yk x，0k 联立 2 (1) 4 yk x yx ，得 2222 2(2)0k xkxk （*） 22222 2(2)416(1)0kk kk 设 111 (,)P x
17、y， 222 (,)P xy，则 2 12 2 2(2)k xx k 设 11 1( ,) MM Mxy，则 1 11 2 12 2 2 2 2 (1) M MM xxk x k yk x k 类似地，设 22 2( ,) MM Mxy，则 2 2 2 2 2 1 2 21 1 2 2 1 M M k xk k yk k 2 222 122 222 |(1)( )1 k FMk kkk ， 2222 2 |(2)( 2 )2 |1FMkkkk， 因此 12 12 11 | |2(|) 2| FM M SFMFMk k 1 | 2 | k k ， 12 4 FM M S， 当且仅当 1 | |
18、k k ，即1k时， 12 FM M S 取到最小值4 （2）设线段 12 M M的中点( , )P x y，由（ 1）得 12 12 22 22 1121 ()(22)1 22 11 21 ()(2 ) 22 MM MM xxxkk kk yyykk kk ， 消去k后得 2 3yx 线段 12 M M的中点P满足的方程为 2 3yx 10 21 （本小题满分12 分） 设函数mxxxxfln 2 1 )( 2 （0m） （1）求)( xf的单调区间； （2）求)( xf的零点个数； （3）证明：曲线)(xfy没有经过原点的切线 【解析】（ 1）( )f x的定义域为(0,)， 2 11 (
19、 ) xmx fxxm xx 令( )0fx，得 2 10xmx 当 2 40m，即02m时，( )0fx，( )fx在(0,)内单调递增 当 2 40m，即2m时，由 2 10xmx解得 2 1 4 2 mm x， 2 2 4 2 mm x，且 12 0xx， 在区间 1 (0,)x及 2 (,)x内 ,( )0fx，在 12 (,)x x内，( )0fx， ( )f x在区间 1 (0,)x及 2 (,)x内单调递增，在 12 (,)x x内单调递减 （2）由（ 1）可知，当02m时，( )f x在(0,)内单调递增，( )fx最多只有一个零点 又 1 ( )(2)ln 2 f xx xm
20、x，当02xm且1x时， ( )0f x； 当2xm且1x时，( )0f x，故( )fx有且仅有一个零点 当2m时，( )f x在 1 (0,)x及 2 (,)x内单调递增，在 12 (,)x x内单调递减， 且 222 2 1 144(4) ()()ln 2222 mmmmm mm f x 222 424 ln 42 mm mmm ，而 2222 422 0 44 mm mmm ， 2 2 444 01 24 2(4) mm mm （2m） ， 1 ()0f x，由此知 21 ()()0f xf x， 又当2xm且1x时，( )0f x，故( )f x在(0,)内有且仅有一个零点 综上所述
21、，当0m时，( )f x有且仅有一个零点 （ 3）假设曲线( )yf x在点( ,( )x f x（0x）处的切线经过原点， 则有 ( ) ( ) f x fx x ，即 21 ln 2 xxmx x 1 xm x ， 化简得： 2 1 ln10 2 xx（0x） （* ） 记 21 ( )ln1 2 g xxx（0x） ，则 2 11 ( ) x g xx xx ， 令( )0gx，解得1x 当01x时，( )0gx，当1x时，( )0g x， 3 (1) 2 g是( )g x的最小值，即当0x时， 2 13 ln1 22 xx 由此说明方程（*）无解，曲线( )yf x没有经过原点的切线
22、11 请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清楚题号 22 （本小题满分10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，BC是半圆O的直径，ADBC，垂足为D，AB AF，BF与AD、AO分别交于点E、 G （ 1）证明：DAOFBC； （ 2）证明：AEBE 【解析】（1）连接FC，OF， ABAF，OBOF， 点G是BF的中点，OGBF BC是O的直径，CFBF /OG CFAOBFCB， 90,90DAOAOBFBCFCB， DAOFBC （2）在Rt OAD与Rt OBG中， 由（ 1）知DAOGBO， 又OAOB， OADOBG，于是OD
23、OG AGOAOGOBODBD 在Rt AGE与Rt BDE中， 由于DAOFBC，AGBD， AGEBDE，AEBE E F G CO A D B B D A OC G F E 12 23 （本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，过点(1, 2)P的直线l的倾斜角为45以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐 标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos,直线l和曲线C的交点为,A B （1）求直线l的参数方程； （2）求PAPB 【解析】（1）直线l过点 (1, 2)P ，且倾斜角为45 直线l的参数方程为 1cos45 2sin 45 xt yt
24、 （t为参数）， 即直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） （2） 2 sin2cos， 2 (sin )2 cos， cosx，siny， 曲线C的直角坐标方程为 2 2yx， 2 1 2 2 2 2 xt yt ， 222 ( 2)2(1) 22 tt ， 2 6 240tt ， 1 2 4t t，4PAPB 24 （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 设函数( )5f xxax （1）当1a时，求不等式( )53f xx的解集； （2）若1x时有( )0f x，求a的取值范围 【解析】（1）当1a时，不等式( )53f xx， 5315xxx， 13x，24x 不等式( )53f xx的解集为4,2 （2）若1x时，有( )0fx， 50xax，即5xax， 5xax，或5xax，6ax，或4ax， 1x，66x，44x，6a，或4a a的取值范围是(, 64,)