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1、2015-2016 学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷 （理 科） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1不等式x 22x52x 的解集是（ ） A x| x5 或 x 1B x| x5 或 x 1 Cx| 1x5D x| 1 x5 2已知向量 ，且相互垂直，则k 值为 （） ABCD1 3“ x2=y2” 是“ x=y ” 的（） A充分不必要条件B充分必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 4 若方程 E： =1 表示焦点在y 轴上的双曲线， 则实数 m 的取值范围为 （ ） A （1，2）B
2、 （ ，1）（ 2，+） C （ ，2）D （1，+） 5在 ABC 中， a=，b=，B=45 ，则 A 等于（） A30 B60 C60 或 120D 30 或 150 6已知 1，a1，a2，8 成等差数列， 1，b1，b2，b3， 4 成等比数列，那么的值 为（） A 5 B5 C D 7若动点M（x， y）始终满足关系式+=8，则动点 N 的轨迹 方程为（） A=1 B=1 C=1 D=1 8已知等差数列 a n的前 n 项和 Sn，且满足 ，则 a1 =（ ） A4 B2 C0 D 2 9已知 x，y 满足约束条件，若 z=ax+y 的最大值为4，则 a=（） A3 B2 C 2
3、D 3 10在 ABC 中， a=2，c=1，则角 C 的取值范围是（） A （0，）B （，）C （，）D （0， 11已知直线l：y=kx+2k+1与抛物线 C：y2=4x，若 l 与 C 有且仅有一个公共点，则实数k 的取值集合为（） A B 1，0 C D 12已知圆 C1 ：x 2 +y 2=b2 与椭圆 C2：=1，若在椭圆 C2上存在一点P，使得由点P 所作的圆 C1的两条切线互相垂直，则椭圆 C2的离心率的取值范围是（） A B CD 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分 13已知命题p：? xR，x 2+1m；命题 q：指数函数 f（x）=（3m） x 是
4、增函数若 “ p q” 为假命题且 “ pq” 为真命题，则实数m 的取值范围为 14已知点M，N 分别是空间四面体OABC 的边 OA 和 BC 的中点， P 为线段 MN 的中点， 若，则实数 + + = 15设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+1=Sn?Sn+1，则数列 an的通项公式 an= 16已知双曲线C：=1，点 M 与曲线 C 的焦点不重合，若点M 关于曲线C 的两 个焦点的对称点分别为A，B，M，N 是坐标平面内的两点，且线段MN 的中点 P 恰好在双 曲线 C 上，则 | AN BN| = 三、解答题：本大题6 小题，满分70 分解答须写出文字说明、证明
5、过程和演算步骤 17设命题p：x 24ax+3a20（其中 a0，xR） ，命题 q： x2+5x60，xR （1）若 a=1，且 pq为真，求实数x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数a的取值范围 18已知函数f（x）=log2x，g（x）=x 2+2x，数列 a n的前 n 项和记为 Sn ，b n为数列 bn 的 通项， nN * 点（ bn，n）和（ n，Sn）分别在函数f（x）和 g（x）的图象上 （1）求数列 an 和bn的通项公式； （2）令 Cn= ，求数列 Cn 的前 n 项和 Tn 19已知 a、b、 c 分别是 ABC 的三个内角A、 B、C 的
6、对边 （1）若 ABC 面积 SABC= ， c=2，A=60 ，求 a、b 的值； （2）若 a=ccosB，且 b=csinA ，试判断 ABC 的形状 20已知直线l 过点 M（1，1） ，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A，B 两点， O 为坐标 原点求： （1）当 | OA| 十| OB| 取得最小值时，直线l 的方程； （2）当 | MA | 2+| MB |2 取得最小值时，直线l 的方程 21如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AA1=AD=1 ，E 为 CD 的中点 （1）求证： B1E AD1 （2）若二面角AB1EA1的大小为 30 ，求 AB 的长
7、22如图示， A，B 分别是椭圆C： +=1（ab 0）的左右顶点，F 为其右焦点，2 是| AF 与| FB| 的等差中项，是| AF| 与| FB| 的等比中项点P 是椭圆 C 上异于 A、B 的 任一动点，过点A 作直线 lx 轴以线段AF 为直径的圆交直线AP 于点 A，M，连接 FM 交直线 l 于点 Q （1）求椭圆C 的方程； （2）试问在x 轴上是否存在一个定点N，使得直线PQ 必过该定点N？若存在，求出N 点 的坐标，若不存在，说明理由 2015-2016 学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学 试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、 选择题：本大题共12 小题，每小题5
8、分，满分60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 BACA CABC BDCD 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分 13 1，2） 1415 ：1612 三、解答题：本大题6 小题，满分70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17解：（1）当 a=1 时，由 x 24x+30，得 1x 3， 即命题 p 为真时有1x3 命题 q 为真时， 2x3 由 pq 为真命题知， p 与 q 同时为真命题，则有2x3 即实数 x 的取值范围是（2，3） （2）由 x24ax+3a20，得（ x3a） （xa） 0 又 a0，所以 ax3a， 由 p 是
9、q 的充分不必要条件知，q 是 p 的充分不必要条件 则有 2x 3 ? x| ax3a 所以解得 1a2 即实数 a 的取值范围是（1， 2） 18解：（1）由题意可得：n=log2bn，解得 bn=2n Sn=n 2+2n，当 n2 时， S n1=（n1） 2+2（n1） ， an=SnSn1=2n+1 当 n=1 时也成立， a n=2n+1 （2）f（b2n1）=2n 1 Cn=， 数列 Cn 的前 n 项和 Tn= + + = 19解：（1）， ，得 b=1， 由余弦定理得：a2=b 2 +c 22bccosA=12 +2 2212?cos60 =3， 所以 （2）由余弦定理得：，
10、 a2 +b 2=c2， 所以 C=90 ； 在 RtABC 中，所以， 所以 ABC 是等腰直角三角形 20.解： （ 1）设点 A（a， 0） ，B（0，b） ，且 a0， b0， 直线 l 的方程为： +=1， 且直线 l 过点 M（1，1） ，+=1 ； a+b=（a+b）?（+）=2+2+2 =4， 当且仅当=，即 a=b 时取 “ =” ， 将 a=b 代入 式得 a=2，b=2； 直线 l 的方程为x+y2=0， 即| OA |+| OB| 取最小值 4 时， l 的方程为x+y2=0； （2）设直线方程为y1=k（x1） （k0） ， 则 A（+1，0） ，B（0，1k） ，
11、| MA | 2+| MB |2=（ ） 2+1+ 1+（ k）2 =2+k2+ 2+2?k2? =4， 当且仅当k= 1 时取 “ =” ； 当 | MA | 2+| MB |2 取得最小值4 时，直线l 的方程为 y1=（ x1） ，即 x+y2=0 21证明：（ 1）以 A 为原点，的方向分别为x 轴， y 轴， z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 设 AB=a，则 A（0，0，0） ，D（ 0，1，0） ，D1（0，1，1） ，E（，1，0） ，B1（ a，0，1） ， =（a，0，1） ， =（ ， 1，0） ，=（0，1，1） ，=（，1， 1） =0+11+（ 1）
12、1=0， B1EAD1 解： （2）连结 A1D，B1C，由长方体 ABCDA1B1C1D1及 AA1=AD=1 ，得 AD1 A 1 D B1C A1D， AD 1B1C 又由（ 1）知 B1EAD1，且 B1C B1E=B1， AD 1平面 DCB1A1， =（ 0，1，1）是平面 A1B1E 的一个法向量， 设平面 AB 1E 的法向量=（x，y， z） ， 则，取 x=1，得=（1， a） ， 二面角 AB 1EA1的大小为 30 ， | cos| =cos 30 ，即=， 解得 a=2，即 AB 的长为 2 22 解： （1）由题意得 | AF| =a+c，| FB| =ac， 即，
13、 解得： a=2，c=1， b 2=41=3， 所求椭圆的方程为：=1 （2）假设在x 轴上存在一个定点N（n，0） ，使得直线PD 必过定点N（n，0） ， 设动点 P（x0，y0） ，由于 P 点异于 A，B， 故 y00，且 x0 2， 由点 P 在椭圆上， 故有=1， 又由（ 1）知 A（ 2，0） ，F（1， 0） ，直线AP 的斜率， 又点 M 是以线段AF 为直径的圆与直线AP 的交点， APFM， ， 直线 FM 的方程： 联立 FM ，l 的方程，得交点 Q（ 2，） P、Q 两点连线的斜率， 将 式代入 式，并整理得：kPQ= ， 又 P， N 两点连线的斜率， 若直线 QP 必过定点N（ n，0） ，则必有kPQ=K PN恒成立 即整理得：， 将 式代入 式，得 解得： n=2， 故直线 x 过定点（ 2，0）