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1、二次函数单元复习答案及习题解析 武穴市思源实验学校文武军 一选择题 . 1下列函数中，是二次函数的是（） ABy=（x+2） （x 2） x 2 CD 考点：二次函数的定义 分析：整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可 解答：解： A、函数式整理为y=x2x，是二次函数，正确； B、函数式整理为y=4，不是二次函数，错误； C、是正比例函数，错误； D、是反比例函数，错误 故选 A 点评：本题考查二次函数的定义 2如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时， 水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（） Ay=By=Cy
2、=Dy= 考点：根据实际问题列二次函数关系式 分析：抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，解析式符合最简形式y=ax 2，把点 A 或点 B 的坐标代入即可确定抛物线解析式 解答：解： 依题意设抛物线解析式y=ax 2， 把 B（5， 4）代入解析式， 得 4=a 52， 解得 a=， 所以 y=x2 故选 C 点评：根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键 3二次函数y=kx 2+2x+1（k 0）的图象可能是（ ） ABCD 考点：二次函数的图象 分析：由图象判定k0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y 轴的交点位 置，选择符合条件的选项 解答：解：因为二次函数y
3、=kx 2+2x+1（ k0）的图象开口向下，过点（ 0，1） ，对 称轴 x=0， 观察图象可知，符合上述条件的只有C故选 C 点评：应熟练掌握二次函数y=ax 2+bx+c 的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、 对称轴 4.已知抛物线y=ax 2+bx+c （ a0） 的部分图象如图所示， 当 y0 时，x 的取值范围是 （） A2x2 B 4x2 Cx 2 或 x2 Dx 4或 x 2 考点：二次函数的图象 专题：压轴题 分析：先根据对称轴和抛物线与x 轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合 图形，求出y0 时， x 的取值范围 解答：解：因为抛物线过点（2，0） ，对称轴是x=1，
4、 根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（4，0） ， 因为抛物线开口向下，y 0 时，图象在x 轴的上方， 此时， 4 x2 故选 B 点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x 轴的交点，根据开 口方向，形数结合，得出结论 5 抛物线 y=x 24x7 的顶点坐标是（ ） A（2， 11）B （ 2， 7）C （2，11）D（2， 3） 考点：二次函数的性质 分析：直接根据顶点公式或配方法求解即可 解答：解：=2，=11， 顶点坐标为（2， 11） 故选 A 点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法 6若抛物线y=x 22x+c 与 y 轴的交点为（ 0， 3） ，则下列说
5、法不正确的是（） A抛物线开口向上B抛物线的对称轴是x=1 C当 x=1 时， y 的最大值为4 D 抛物线与x 轴的交点为（1 ，0） ， （ 3，0） 考点：二次函数的性质 专题：压轴题 分析：把（0，3）代入抛物线解析式求c 的值，然 后再求出顶点坐标、与x 轴的 交点坐标 解答：解：把（ 0， 3）代入 y=x 22x+c 中得 c=3， 抛物线为y=x 2 2x3=（x1）24=（ x+1） （x3） ， 所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1， 当 x=1 时， y 的最小值为4， 与 x 轴的交点为（1，0） ， （3，0） ；C 错误 故选 C 点评：要求掌握抛物线的性质并对其中
6、的a，b，c 熟悉其相关运用 7如图，从某建筑物10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所 在平面与墙面垂直） 如果抛物线的最高点M 离墙 1m，离地面m，则水流落地点B 离墙 的距离 OB 是（） A2m B3m C4m D5m 考点：二次函数的应用 分析：由题意可以知道M （1，） ， A（ 0，10）用待定系数法就可以求出抛物线 的解析式，当y=0 时就可以求出x 的值，这样就可以求出OB 的值 解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x 1）2+ ，由题意，得 10=a+， a= 抛物线的解析式为：y=（x1） 2 + 当 y=0 时， 0=（x1） 2+ ， 解
7、得： x1=1（舍去），x2=3 OB=3m 故选： B 点评：此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解 决实际问题解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键 8如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m若水 面下降 1m，则水面宽CD 为（） A5m B6m Cm Dm 考点：二次函数的应用 分析：设抛物线的解析式为y=ax 2 将 A 点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析 式，再把 y=3 代入抛物线解析式求得x0进而得到答案 解答：解：设抛物线方程为y=ax 2， 将 A（2， 2）代入 y=ax 2， 解得： a=， y=x2
8、， 代入 B（x0， 3）得 x0= ， 水面宽 CD 为 2， 故选 D 点评：本题主要考查抛物线的应用考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力 二填空题 . 9 函数与 y2=x+2 的图象及交点如图所示，则不等式 x 2 x+2 的解集是 1x2 考点：二次函数与不等式（组） 分析：利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时， 不等式 x 2x+2，进而得出答案 解答：解：利用图象得出函数与 y2=x+2 的图象交点坐标分别为： （ 1，1） 和（ 2，4） ， 不等式x2x+2 的解集为： 1x2 故答案为： 1x2 点评：此题主要考查了二次函数与不等式，利用数形
9、结合得出不等式的解集是解题 关键 10如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知 ax 2+bx+c 0 时 x 的取值范围是 1x5 考点：二次函数与不等式（组） 分析：根据二次函数的对称性求出函数图象与x 轴的另一交点， 再写出函数图象在 x 轴上方部分的x 的取值范围即可 解答：解：由 图可知，二次函数图象为直线x=2， 所以，函数图象与x 轴的另一交点为（1，0） ， 所以， ax2+bx+c0 时 x 的取值范围是 1x5 故答案为： 1x5 点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解， 本题求出函数图象与x 轴的另一个交点是解题的关键
10、11抛物线y=x 24x+3 的顶点坐标和对称轴分别是 （4， 5） ，x=4 考点：二次函数的性质 分析：根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求出顶点坐标，对称轴 解答：解： y=x24x+3=（x4） 25， 顶点坐标为（4， 5） ，对称轴为x=4 故答案为（ 4， 5） ，x=4 点评：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法通常有两种方法： （1）公式法： y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（ ，） ，对称轴是x=； （2）配方法：将解析式化为顶点式y=a（xh）2+k，顶点坐标是（ h，k） ，对称轴是x=h 12抛物线 y=x 2（ m23m+2）x+m2 4 的图象的对称轴
11、是 y 轴，且顶点在原点，则m 的 值为2 考点：二次函数的性质 专题：计算题 分析：根据二次函数对称轴直线x=0，得到 m23m+2=0，再由顶点在原点 得到 m24=0，然后分别解两个一元二次方程，再得到它们的公共解即可 解答：解：根据题意得m23m+2=0 且 m24=0， 解 m23m+2=0 得 m=1 或 2，解 m24=0 得 m=2 或 2， 所以 m 的值为 2 故答案为： 2 点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的顶点坐标是 （ ，） ，对称轴直线x= 13若抛物线y=ax 2+4x+a 的顶点的纵坐标是 3，则 a=4 或 1 考点：二次
12、函数的性质 分析：直接利用二次函数顶点坐标公式得出=3，进而求出即可 解答：解：抛物线y=ax 2+4x+a 的顶点的纵坐标是 3， =3， 整理得出： a23a4=0， 解得： a1=4，a2=1， 检验：当 a=4 或 1 时，都是方程的根， 故答案为： 4 或 1 点评：此题主要考查了二次函数的性质，直接利用顶点公式求出是解题关键 三解答题 . 14如图，一块草地是长80 m，宽 60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm 的 小路，这时草坪面积为y m 2求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值 考点：根据实际问题列二次函数关系式 分析：把两条路进行平移， 与长
13、为 80m 的路移动到上方， 长为 60m 的路移动左方， 那么草坪就变成了边长为（80x）和（60x）的长方形，然后根据长方形的面积公式即可 确定函数关系式，其中自变量的取值应根据原来长方形的长、宽确定 解答：解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为 80m 的路移动到上方，长为60m 的路移动左方， 草坪就变成了边长为（80x）和（ 60 x）的长方形， y=（80x） （60x）=x 2140x+4800， 自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即 0x60 故填空答案： y=（ 80x） （60x）=x2140x+4800（0x60） 点评：解决本题的关键是把两条路进行平移，使草坪的
14、面积成为一长方形的面积 15已知正方形的面积为y（cm 2） ，周长为 x（cm） （1）请写出y 与 x 的函数关系式 （2）判断 y 是否为 x 的二次函数 考点：根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的定义 分析：（1）根据正方形的周长为x（cm） ，即可得出边长，进而得出正方形的面积 为 y 与 x 之间的函数关系式； （2）利用函数的定义判断得出即可 解答：解： （1）正方形的周长为x（cm） ， 正方形的边长为：xcm， y 与 x 的函数关系式为：y=x x=x 2； （2）利用二次函数的定义得出y 是 x 的二次函数 点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用正方形
15、的性质得出是 解题关键 16为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一条矩形 绿化带 ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图） 若设绿化带 BC 边长为 xm，绿化带的面积为ym 2，求 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量x 的取值 范围 考点：根据实际问题列二次函数关系式 分析：根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y 所表示的 实际意义来确定x 的取值范围 解答：解：由题意得：y=x =x2+20x，自变量 x 的取值范围是0x 25 点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x
16、的取值 范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定 17如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过 A、B、C 三点 （1）观察图象，写出A、B、C 三点的坐标，并求出抛物线解析式； （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当 m 取何值时， ax2+bx+c=m 有两个不相等的实数根 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点 分析：（1）观察图象直接写出三点的坐标，运用待定系数法求出函数解析式； （2）将解析式配成顶点式即可解决问题； （3）运用二次方程根的判别式列出不等式求解即可解决问题 解答：解： （1）由题意得： A、B、C 三点的坐标分别
17、为： （ 1，0） 、 （ 0，3） 、 （4， 5） ； 设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c ， 由题意得： ， 解得： a=1，b=2，c=3， 该抛物线解析式为：y=x 22x3 （2）由（ 1）知： y=x 22x3=（ x1）2 4， 该抛物线的顶点坐标为（1， 4） ，对称轴为x=1 （3）由题意得：x 22x3=m， 即 x22x3m=0 ， 若该方程组有两个不相等的实数根， 则必有 =（ 2） 24 1 （ 3m） 0， 解得： m 4 即当 m 4 时， ax2+bx+c=m 有两个不相等的实数根 点评：该命题以平面直角坐标系为载体，重点考查了二次函数的解析式的求法
18、、二 次函数的性质、 二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力 提出了较高的要求 18已知抛物线的顶点坐标是（2， 3） ，且经过点（1，） （1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象； （2）当 x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而减 小？ 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质 专题：计算题 分析：（1）根据题意设出抛物线的顶点形式，把已知点代入求出a的值，确定出 解析式，画出函数图象即可； （2）利用二次函数的增减性求出x 的范围即可 解答：解： （1）根据题意设抛物线解
19、析式为y=a（x2） 23， 把 x=1，y=代入得：=a3，即 a= ， 则抛 物线解析式为y=x 22x1； （2）当 x2 时， y 随 x 的增大而增大；当x2 时， y 随 x 的增大而减小 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟 练掌握待定系数法是解本题的关键 19 如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1， 且正方形的边与坐标轴平行， 边 DE 落在 x 轴的正半轴上， 边 AG 落在 y 轴的正半轴上， A、 B 两点在抛物线y=x2+bx+c 上 （1）直接写出点B 的坐标； （2）求抛物线y=x2+bx+c 的解析式； （3）将正
20、方形CDEF 沿 x 轴向右平移，使点F 落在抛物线y=x 2+bx+c 上，求平移的距 离 考点：二次函数综合题 专题：压轴题 分析：（1）由图中的三个小正方形的边长为1，根据图形可以知道B 点的横坐标 为 1，做那个坐标为3，从而得出点B 的坐标 （2）根据图象求出点A 的坐标，再把A、B 的坐标代入解析式，根据待定系数法就可以求 出 b、c 的值，从而求出抛物线的解析式 （3）实际上就是当y=1 时代入解析式就可以求出平移后点F 的横坐标，就可以求出E点的 坐标，此时OE 3 就是平移的距离 解答：解： （1）由图象，得B（1，3） （2）由题意，得A（0，2） ，解得： ， ， 抛物线
21、的解析式为： （3）当 y=1 时， 解得： x=或（不符合题意应舍去） ， F（，1） ， E （，0） ， OE =， 平移的距离为： 点评：本题是一道二次函数综合试题，考查了求点的坐标，用待定系数法求函数的 解析式，平移的运用等知识 20.如图，已知二次函数y=x 2+ x+4 的图象与y 轴交于点A，与 x 轴交于 B、 C 两点， 其对称轴与x 轴交于点D，连接 AC （1）点 A 的坐标为（ 0，4），点 C 的坐标为（8，0）； （2） ABC 是直角三角形吗？若是，请给予证明； （3）线段 AC 上是否存在点E，使得 EDC 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐
22、标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题；点的坐标；二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点；三角 形的面积；等腰三角形的判定 分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0 即得二次函数与y 轴交点 A 的纵坐标，令 y=0 即得二次函数与x 轴交点的横坐标 （2）根据（ 1）中点的坐标得出AB， BC，AC 的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可； （3）根据 A、C 的坐标，易求得直线AC 的解析式，由于等腰 EDC 的腰和底不确定，因 此要分成三种情况讨论： CD=DE ，由于 OD=3 ，DA=DC=5 ，此时 A 点符合 E 点的要求，即此时A、E 重合； CE=DE，根据等腰三角形三线合
23、一的性质知：E 点横坐标为点D 的横坐标加上CD 的一 半，然后将其代入直线AC 的解析式中，即可得到点E 的坐标； CD=CE ，此时 CE=5，过 E作 EG x 轴于 G，已求得 CE、CA 的长，即可通过相似三角 形（ CEG CAO）所得比例线段求得EG、CG 的长，从而得到点E 的坐标 解答：解： （1）在二次函数中令x=0 得 y=4， 点 A 的坐标为（ 0，4） ， 令 y=0 得：， 即： x26x16=0， x=2 和 x=8， 点 B 的坐标为（ 2， 0） ，点 C 的坐标为（ 8，0） 故答案为： A（0，4） ，C（8，0） ； （2）点 A 的坐标为（ 0，4）
24、 ， AO=4 ， 点 B 的坐标为（ 2， 0） ，点 C 的坐标为（ 8，0） ， BO=2 ，CO=8， BC=10， AC=4， AB=2， AB 2+AC2=100， BC 2=1 00， AB 2+AC2= BC2， ABC 是直角三角形； （3）易得 D（3，0） ，CD=5， 设直线 AC 对应的函数关系式为y=kx+b ，则： ， 解得； y=x+4； 当 DE=DC 时， CD=5 ， AD=5 ， D（3，0） ， OE=4， E1（0，4） ； 当 DE=EC 时，可得出E 点在 CD 的垂直平分线上，可得出E 点横坐标为： 3+=， 进而将 x=代入 y=x+4，得出 y=， 可得 E2（，） ； 当 DC=EC 时， 如图，过点E 作 EGCD， 则CEG CAO， ， 即 EG=，CG=2 ， E3（82 ，） ； 综上所述，符合条件的E 点共有三个： E1（0，4） 、E2（，） 、E3（82 ，） 点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、 图形面积的求法等知识，（ 3） 题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意