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1、等边三角形中如何巧作辅助线 长沙市湘一芙蓉二中胡孟 本节内容在教材中的地位和作用学习了等腰三角形、等边三角形、全等 三角形后 ,发现同学们对知识点的接受比较单一,不能很快找到各知识点之间的内 在联系 ,更谈不上综合运用。 为了把初中几何中的几个重要的知识点等腰三角形、 等边三角形与全等三角形很好的联系起来，提高同学们的数学思维能力和解题能 力，特意设计了本节习题课。 教学目标 1.通过对课本习题的延伸探究，进一步巩固等边三角形的有关知识的理解， 达到灵活应用。 2.在辅助线添加的探究中体会转化思想，构造能力， 掌握添加平行线可以产 生新的角度、线段长度等量关系，有助于问题的解决。 3.在复习中
2、温故知新， 在例习题的变式中， 体会数学的一题多解， 一题多问， 一题多变，感悟数学中变和不变的无穷魅力。 教学重点掌握添加平行线构造全等解决等边三角形有关问题 教学难点探究添加平行线构造全等解决等边三角形有关问题 重难点突破讲练结合、合作探究、运用投影仪、几何画板演示使抽象的内容 变得具体形象有助于理解 技术手段学案、几何画板课件、投影仪等多媒体 教学过程设计 一、问题引入： 前面我们已经学习了等腰三角形,等边三角形以及两个三角形全等的相关 知识 ，这节课我们来学习等边三角形中如何巧作辅助线。 出示 ppt，这是八上教材 93 页第 13 题，我们来看这道题： 八上教材 93 页第 13 题
3、： 如图 ABC是等边三角形， BD是中线，延长 BC至 E，使 CE=CD ，求证： DB=DE 。 问：题中有哪些已知条件？要证明什么？你找到解题思路了吗？ 学生回答：（学生回答时，老师配合演示多媒体，强调已知和求证）。 学生分析思路后，师生一起小结: 由此题可知，要证明两线段相等，当这 两线段在同一三角形中时，我们会很自然想到用“等角对等边”来证。 老师板书，证明两线段相等的方法：等角对等边 二、变式提升 老师把条件稍做改变，请同学们看到学案上的变式1，先审 题（老师利用同学们审题的时间把变式1 板书到黑板上）： 变式 1：如图： ABC 是等边三角形， D是 AC上一点，延长 BC至
4、E，使 CE=AD ，求证 :DB=DE 。 学生审题 2 分钟后， 问：此题与原题有什么相同或不同之处，能直接用等角对等边来证吗？ 追问：证明线段相等，除了用“等角对等边”外，还有其他办法吗？ 引导学生回答：全等三角形对应边相等 老师板书证明两线段相等的方法：全等三角形对应边相等 问：图中有全等三角形吗？（有同学可能会认为ADB ECD ，老师及时纠 错），没有全等三角形， 是否可以通过作辅助线来构造全等呢？等边三角形中有 哪些常用辅助线的方法 （有同学可能会说三线合一, 老师肯定后继续引导 , 必要时 老师提示：前面等腰三角形的学习中，我们学习了一种技巧“作平行线”，在等 腰三角形内部或外
5、部作任意一边的平行线，均可构造出新的等腰三角形， 从而实 现边角之间的转化，这一技巧可否用到等边三角形中来呢？） 学生思考后，举手回答，上台讲思路。 学生动手完成，一名同学上黑板完成详细的证明。师生共同检查。问：还 可以怎么作辅助线构造全等？学生上台讲解第二种方法。 回到原题 , 老师点题 : 此题除了用等角对等边来证之外, 还可以用变式1 中 作辅助线的方法证吗？学生口答。老师借助几何画板演示。 老师肯定并小结 : 在等边三角形中巧作平行线, 我们可以构造新的等边三 角形, 从而实现边与边、角与角之间的转化, 有了边相等、角相等的这些条件后, 我们就可以证明两个三角形全等, 进而由全等三角形
6、对应边相等来证明两线段相 等。 下面, 老师再来变一变， 请同学们独立完成变式2，老师看看你是如何巧作 辅助线的。 出示 ppt ： 变式 2: 如图： ABC是等边三角形，D是 AC上一点，延长 CB至 E， 使 BE=AD ， DE交 AB于 F，求证： DF=EF 学生独立完成，老师下位巡视, 适时点拨 , 学生做完后 , 请一名学生借助投 影仪在自己的学案上演示讲解。 学生讲解后，老师提醒学生，过点F 作 AC平行线的方法行不通。 ADF与HFE不一定全等，几何画板演示。 变式 2 强调了“巧作辅助线”中的“巧”字，有的平行线没起到构造全等的 作用，是无效辅助线。 大部分同学们对在等边
7、三角形中如何巧做平行线这一方法 掌握得不错 , 下面我们再来挑战更高难度的变式. 要求: 先独立思考 , 有问题再小 组合作学习 , 老师下位巡视，找方法不同的两学生上台讲解。 变式 3：如图： ABC是等边三角形， D是 AC的中 点，点 E在 BC的延长线上，点 F 在 AB上， EDF=120 o。 1）求证： DE=DF （这一题采用的学习方式 : 学生先独立完成，有问题再然后小组互相学习， 老师巡视，找出学生不同的解法，学生代表上台讲解，老师评价反馈并小结: 变 式三与原题条件有两个是相同的, 只是把原题中的第三个已知条件“边相等”改 成“角为 120o”也就是“角相等” , 目的是
8、让同学们用ASA来证全等。） 三、小结 ：本节课我们学习了教材上的一道习题和它的三个变式，通过本 节课的学习，你有什么收获或者疑问？能否说出来跟大家一起分享？ 学生自由发言，老师补充, 帮助归纳总结提升：这节课，我们从教材中的 一道习题出发，通过一题多变、一题多解，得到多题一法，学习了在等边三角形 中巧作辅助线 -平行线，构造全等来证明两线段相等。希望同学们在平时的解 题中能灵活运用这一技巧，来提高我们的解题能力。 四、课后作业 ： 变式 3 拓广： 1、如图： ABC是等边三角形， D是 AC的中点，点 E在 BC 的延长线上，点 F 在线段 AB上， EDF=120 o。 1）求证： DE=DF 2）若 AB=4 ，求 BE+BF 的值 2、如图： ABC 是等边三角形， D是 AC的中点，点 E在 BC的延长线上， 点 F 在 AB的延长线上， EDF=120 o。 1）求证： DE=DF 2）若 AB=4 ，求 BE-BF的值 F E D C B A