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1、人教版数学必修二 第三章直线与方程重难点解析 第三章课文目录 31 直线的倾斜角与斜率 32 直线的方程 33 直线的交点坐标与距离公式 重难点： 1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。 2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。 3、两点间的距离公式和它的简单应用。 4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。 一、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角 一条与 x 轴相交的直线， 如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角记为 ，那么 叫做直线的倾斜角。一条直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾 斜角 为 0。 直线倾斜角的取值范围是：00 (3) 90 0时
2、, 倾斜角 是锐角 ; 而当 k = tan=0时 , 倾斜角 是 0. 解析 :直线 AB的斜率 k1=1/70, 所以它的倾斜角 是锐角 ; 直线 BC的斜率 k2=-0.50, 所以它的倾斜角 是锐角 . 例题 2 ：已知直线l1l2，且l1的倾斜角为，求l1, l2的斜率。 解析： l1的斜率角， ， 则l1，l2的斜率分别为。 点评： 已知直线的倾斜角，可以由定义式直接得出直线的斜率。 例题 3 ：求出过两点A （ -2 ，0） ，B（-5，3）的直线的倾斜角和斜率。 解析：，即 tan =-1 ， 而 0 ， ） ，。 点评： 已知直线的斜率，可以直接得出倾斜角，但要注意角的范围。
3、 例题 4 ：已知点P(a,b) (a,b不同时为0)，0 为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角。 解析： 当 b=0 时，由 a0，则 OP的倾斜角 =0，斜率 k=0。 当 a,b 同号时，。 当 a,b 异号时，。 当 a=0 时，由 b0，则，k 不存在。 点评： 斜率是否存在，与P点位置有关；斜率的正、负与零，倾斜角的表达方式不同， 这是因为倾角的范围造成的。 例题 5 ：如图，直线 1 l的倾斜角 1 30，直线 12 ll，求 1 l、 2 l的斜率。 解析： 1 l的斜率 1 3 tan30 3 k， 2 l的倾斜角 2 9030120， 2 l的斜率 22 tantan120
4、3k 例题 6 ：已知和k分别是l的倾斜角和斜率，当（1） 3 sin 5 ； （2） 3 cos 5 ； （ 3） 3 cos 5 时，分别求直线l的斜率k 解析： 当 3 sin 5 时，0180， 3 tan 4 k 当 3 cos 5 时，0180，090， 4 tan 3 k 当 3 cos 5 时，0180，90180， 4 tan 3 k 例题 7 ：已知直线l的方程： ( 2+1)x+2 y-1- 2=0(R)。 （1）求直线l的倾斜角的范围； （2）证明此直线恒过一定点，并求定点坐标。 解析： （1） 当 =0 时，倾角； 当 0 时，直线化为：， 若 0，直线斜率。 若 0
5、),则直线 l 的方程为：1 b y a x ，在直线又P(4,1)l 上， 1 14 ba ， 又8 2 1 ,16, 4 2 14 1abSab abba ， 等 号 当 且 仅 当 , 2 114 ba 2b8,a即时成立，直线l 的方程为： x+4y8=0, Smin=8 21解：设Q关于 y 轴的对称点为 1 Q，则 1 Q的坐标为-2,0 设 Q关于l的对称点为 2 ,Qm n，则2QQ中点为 G 2 (,) 22 mn ，G在l上 2 4 22 mn ， 又 2 ,1 2 n QQl m 由得 2(4, 2) Q 由物理学知识可知， 1 Q、 2 Q在直线 EF上， 12 1 3
6、 EFQ Q kk 直线 EF方程为 : 1 (2) 3 yx，即320xy 22、解： (1) 当0k时,此时A点与D点重合 , 折痕所在的直线方程 2 1 y 当0k时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为( ,1)G a， 所以A与G关于折痕所在的直线对称， 有1 OG kk 1 1k a ak 故G点坐标为) 1 ,( kG， 从而折痕所在的直线与 OG的交点坐标 （线段OG的中点）为) 2 1 , 2 ( k M 折痕所在的直线方程) 2 ( 2 1k xky，即 2 1 22 k ykx 由得折痕所在的直线方程为： 2 1 22 k ykx （2）当0k时，折痕的长为2; 当23
7、0k时，折痕直线交BC于点 2 1 (2,2) 22 k Mk ，交y轴于 2 1 (0,) 2 k N 22 2222 11 |2(2)4444(74 3)3216 3 222 kk yMNkk 折痕长度的最大值为3216 32( 62)。 而2)26(2,故折痕长度的最大值为)26(2 （3）当21k时，折痕直线交 DC于 1 (,1) 22 k P k ，交x轴于 2 1 (,0) 2 k Q k 2 222 2 111 |1()1 222 kk PQ kkk 22 (2 |1)tkPQk k 21k 2 2 2k k （当且仅当2( 2, 1)k时取“ =”号） 当2k时，t取最大值，t的最大值是2 2。