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1、求函数值域的几种常见方法 1直接法：利用常见函数的值域来求。 一次函数 y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数)0(k x k y的定义域为 x|x0 ，值域为 y|y0 ； 二次函数)0()( 2 acbxaxxf的定义域为R， 当 a0 时，值域为 a bac yy 4 4 | 2 ；当 a0 时，则当 a b x 2 时，其最小值 a bac y 4 4 2 min ； 当 a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值. 若 2 b a a,b,则a,b是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）
2、值. 注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； 当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3有解判别法： 有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0 的讨论 例 3求函数 y= 1 1 2 2 xx xx 值域 解：原式可化为1)1( 22 xxxxy, 整理得 2 (1)(1)10yxyxy， 若 y=1,即 2x=0,则 x=0； 若 y1,由题 0， 即0)14(-)1( 22 y-y, 解得3 3 1 y且 y1. 综上：值域 y|3 3 1 y. 例 4求函数 6 6
3、5 2 2 xx xx y的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？） 解：把已知函数化为 (2)(3)36 1 (2)(3)33 xxx y xxxx (x 2 且 x -3) 由此可得y 1 x=2 时 5 1 y 5 1 y 函数 6 65 2 2 xx xx y的值域为 y| y1 且 y 5 1 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题 中要注意二次项系数是否为0 的讨论 . 4换元法 例 5求函数xxy142的值域 解：设 xt1 则 t0 x=1 2 t 代入得tttf y4)1 (
4、2)( 22 242tt 开口向下，对称轴1t0,) 1t时， max (1)4yf 值域为(,4 5分段函数 例 6求函数 y=|x+1|+|x-2| 的值域 . 解：将函数化为分段函数形式： 21(2) 3( 12) 21(1) xx yx xx ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等 式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采 用简捷解法 . 练习 ： 1、 342 5 2 xx y 答案：值域是05yy. 2、求函数的值域 xxy2；2yxx 答案：值域是（-， 4 9 . 答案：值域是2y y 小结 :求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法. 2-1 3 x O y