河南省2019年中考数学专题复习专题七类比探究题训练.pdf

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1、1 专题七类比探究题 类型一线段数量关系问题 ( 2018 河南 )(1) 问题发现 如图，在 OAB 和OCD中， OA OB ，OC OD ，AOB COD 40，连接AC ，BD交于点 M.填空： AC BD 的值为 _； AMB的度数为 _； (2) 类比探究 如图，在 OAB 和OCD中， AOB COD 90， OAB OCD 30，连接AC交 BD的延长线于点M. 请判断 AC BD 的值及 AMB的度数，并说明理由； (3) 拓展延伸 在(2) 的条件下，将 OCD绕点 O在平面内旋转，AC ， BD所在直线交于点M ，若 OD 1，OB 7，请直接写出 当点 C与点 M重合时

2、 AC的长 【分析】(1) 证明 COA DOB(SAS) ，得AC BD ，比值为1； 由 COA DOB ， 得CAO DBO ， 根据三角形的内角和定理，得AMB 180( DBO OAB ABD) 18014040； (2) 根据两边的比相等且夹角相等可得AOC BOD ，则 AC BD OC OD 3，由全等三角形的性质得AMB 的度数； (3) 正确画出图形，当点C与点 M重合时，有两种情况：如解图和，同理可得AOC BOD ，则 AMB 90， AC BD 3，可得 AC的长 【自主解答】 解： (1) 问题发现 2 1【解法提示】 AOB COD 40， COA DOB. OC

3、 OD ，OA OB ， COA DOB(SAS) ， AC BD， AC BD 1. 40 【解法提示】COA DOB ， CAO DBO. AOB 40， OAB ABO 140， 在AMB 中， AMB 180( CAO OAB ABD) 180( DBO OAB ABD) 180140 40. (2) 类比探究 AC BD 3，AMB 90，理由如下： 在 RtOCD中， DCO 30， DOC 90， OD OC tan 30 3 3 ， 同理，得 OB OA tan 3 0 3 3 ， AOB COD 90， AOC BOD ， AOC BOD ， AC BD OC OD 3，CA

4、O DBO. AMB 180 CAO OAB MBA 180( DAB MBA OBD) 1809090. (3) 拓展延伸 点 C与点 M重合时，如解图， 同理得 AOC BOD ， AMB 90， AC BD 3， 设 BDx，则 AC 3x， 在 RtCOD中， OCD 30， OD 1， 3 CD 2， BC x2. 在 RtAOB中， OAB 30， OB 7. AB 2OB 27， 在 RtAMB中，由勾股定理，得AC 2BC2 AB2， 即(3 x) 2(x 2)2(2 7) 2， 解得 x13，x2 2( 舍去 ) ， AC 33； 点 C与点 M重合时，如解图，同理得：AMB

5、 90， AC BD 3， 设 BDx，则 AC 3x， 在 RtAMB中，由勾股定理，得AC 2BC2 AB2， 即(3x) 2(x 2)2 (2 7) 2 解得 x1 3，解得 x22( 舍去 ) AC 23. 综上所述， AC的长为 33或 23. 图 图 例 1 题解图 1( 2016 河南 ) (1) 发现 如图，点A为线段 BC外一动点，且BC a，AB b. 填空：当点A位于 _时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为_( 用含 a，b 的式子 表示 ) (2) 应用 点 A为线段 BC外一动点，且BC 3，AB 1，如图所示，分别以AB ，AC为边，作等边三角形ABD和等边三

6、4 角形 ACE ，连接 CD ，BE. 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； 直接写出线段BE长的最大值 (3) 拓展 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 (2，0) ，点 B 的坐标为 (5，0) ，点 P 为线段AB外一动点，且 PA 2，PM PB ，BPM 90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标 2( 2015 河南 ) 如图，在RtABC中， B90， BC 2AB8，点 D， E分别是边BC，AC的中点，连接 DE.将EDC绕点 C按顺时针方向旋转，记旋转角为. (1) 问题发现 当 0时， AE BD _ 5 2 _； 当 180时， AE BD _ 5

7、2 _； (2) 拓展探究 试判断：当0 360时， AE BD 的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明 5 (3) 解决问题 当EDC旋转至 A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长 3( 2014 河南 ) (1) 问题发现 如图， ACB 和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空： AEB的度数为 _； 线段 AD ，BE之间的数量关系为_ (2) 拓展探究 如图， ACB 和DCE均为等腰直角三角形，ACB DCE 90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE 中 DE边上的高，连接BE ，请判断 AEB 的度数及线段CM ， AE ，BE之间的数量关系，并

8、说明理由 (3) 解决问题 如图，在正方形ABCD中， CD 2，若点 P满足 PD 1，且 BPD 90，请直接写出点A到 BP的距离 6 4( 2018 南阳二模 ) 在ABC中， ACB是锐角，点D在射线 BC上运动，连接AD ，将线段AD绕点 A逆时针 旋转 90，得到AE ，连接 EC. (1) 操作发现 若 ABAC ，BAC 90，当D在线段 BC上时 ( 不与点 B重合 )，如图所示，请你直接写出线段CE和 BD的 位置关系和数量关系是_， _； (2) 猜想论证 在(1) 的条件下， 当 D在线段 BC的延长线上时， 如图所示， 请你判断 (1) 中结论是否成立，并证明你的判

9、断 (3) 拓展延伸 如图，若AB AC ，BAC 90，点D在线段 BC上运动，试探究：当锐角ACB 等于 _度时，线段 CE和 BD之间的位置关系仍成立( 点 C，E重合除外 ) ？此时若作DF AD交线段 CE于点 F，且当 AC 32时， 请直接写出线段CF的长的最大值是_ 5已知，如图， ABC ，AED 是两个全等的等腰直角三角形(其顶点 B，E重合 ) ，BAC AED 90， O为 BC的中点， F 为 AD的中点，连接OF. (1) 问题发现 如图， OF EC _； 将 AED绕点 A逆时针旋转45，如图， OF EC _； 7 (2) 类比延伸 将图中 AED绕点 A逆时

10、针旋转到如图所示的位置，请计算出 OF EC 的值，并说明理由 (3) 拓展探究 将图中 AED 绕点 A逆时针旋转， 旋转角为，0 90，AD 2，AED在旋转过程中， 存在 ACD 为直角三角形，请直接写出线段CD的长 类型二图形面积关系问题 ( 2017 河南 ) 如图，在RtABC中， A90， AB AC ，点 D ， E分别在边AB ， AC上， AD AE ，连 接 DC ，点 M ，P，N分别为 DE ，DC ，BC的中点 (1) 观察猜想 图中，线段PM与 PN的数量关系是 _，位置关系是_； (2) 探究证明 把ADE绕点 A逆时针方向旋转到图的位置，连接MN ， BD ，

11、CE ，判断 PMN的形状，并说明理由； (3) 拓展延伸 把ADE绕 A在平面内自由旋转，若AD 4，AB 10，请直接写出 PMN面积的最大值 图 8 图 例 2 题图 【分析】 (1) 利用三角形的中位线定理得出PM 1 2CE ，PN 1 2BD ，进而判断出 BD CE ，即可得出结论，再利用 三角形的中位线定理得出PM CE ，继而得出 DPM DCA ，最后用互余即可得出结论； (2) 先判断出 ABD ACE ，得出BD CE ，同 (1) 的方法得出PM 1 2BD ，PN 1 2BD ，即可得出 PM PN ，同 (1) 的 方法即可得出结论； (3) 先判断出MN 最大时

12、， PMN的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN最大 AM AN ，最后用面积公式 即可得出结论 【自主解答】 解：(1) 点P，N是 BC ，CD的中点， PN BD ， PN 1 2BD. 点 P，M是 CD ，DE的中点， PM CE ， PM 1 2CE. AB AC，AD AE ， BD CE， PM PN. PN BD ， DPN ADC ， PM CE ， DPM D CA. BAC 90， ADC ACD 90， MPN DPM DPN DCA ADC 90， PM PN ， (2) 由旋转知， BAD CAE ， AB AC，AD AE ， ABD ACE(SAS)

13、 ， 9 ABD ACE ， BD CE. 同(1) 的方法，利用三角形的中位线定理，得PN 1 2BD ， PM 1 2CE ， PM PN， PMN是等腰三角形， 同(1) 的方法得， PM CE ， DPM DCE ， 同(1) 的方法得， PNBD ， PNC DBC. DPN DCB PNC DCB DBC ， MPN DPM DPN DCE DCB DBC BCE DBC ACB ACE DBC ACB ABD DBC ACB ABC. BAC 90， ACB ABC 90， MPN 90， PMN是等腰直角三角形， 例 2 题解图 (3) 如解图，同 (2) 的方法得， PMN是

14、等腰直角三角形， 当 MN 最大时， PMN的面积最大， DE BC 且 DE在顶点 A上面， M N最大 AM AN ， 连接 AM ，AN ， 在ADE中， AD AE 4，DAE 90， AM 22， 在 RtABC中， AB AC 10，AN 52， MN最大225272， SPMN 最大 1 2PM 2 1 2 1 2MN 21 4(7 2) 249 2 . 10 1( 2013 河南 ) 如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中 C90， BE 30. (1) 操作发现 如图，固定 ABC ，使 DEC 绕点 C旋转，当点D恰好落在 AB边上时，填空： 线段

15、DE与 AC的位置关系是_； 设 BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则 S1与 S2的数量关系是_ (2) 猜想论证 当DEC绕点 C旋转到如图所示的位置时，小明猜想 (1) 中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC和AEC中 BC ，CE边上的高，请你证明小明的猜想 (3) 拓展探究 已知 ABC 60，点D是角平分线上一点，BD CD 4，DE AB交 BC于点 E(如图 ) 若在射线BA上存在 点 F，使 SDCFSBDE，请直接写出相应的BF的长 11 2已知 RtABC中， BC AC ，C90， D为 AB边的中点， EDF 90，将 EDF 绕点 D旋转

16、，它的两边 分别交AC ，CB(或它们的延长线) 于 E，F. 当EDF绕点 D 旋转到DE AC于 E 时，如图所示，试证明SDEF SCEF 1 2S ABC. (1) 当EDF绕点 D旋转到 DE和 AC不垂直时，如图所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不 成立，试说明理由 (2) 直接写出图中，SDEF，SCEF与 SABC之间的数量关系 12 3( 2018 郑州模拟 ) 如图所示，将两个正方形ABCD和正方形 CGFE 如图所示放置，连接DE ，BG. (1) 图中 DCE BCG _ ；设 DCE的面积为S1，BCG的面积为S2，则 S1与 S2的数量关系为 _； 猜想

17、论证： (2) 如图所示， 将矩形 ABCD 绕点 C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG ，连接 DE ，BG ，设DCE的面积为S1， BCG的面积为 S2，猜想 S1和 S2的数量关系，并加以证明； (3) 如图所示，在 ABC 中， AB AC 10 cm，B30，把 ABC 沿 AC翻折得到 AEC ，过点A作 AD平行 CE交 BC于点 D，在线段CE上存在点P，使 ABP的面积等于 ACD 的面积，请写出CP的长 4(2018 驻马店一模 ) 如图， ABC与CDE都是等腰直角三角形，直角边 AC ，CD在同一条直线上，点 M ， N分别是斜边AB ，DE的中点，点P为 AD的中点

18、，连接AE，BD ，PM ，PN ， MN. (1) 观察猜想 13 图中， PM与 PN的数量关系是_，位置关系是_； (2) 探究证明 将图中的 CDE 绕着点 C顺时针旋转 (0 90) ，得到图，AE与 MP ，BD分别交于点G，H，判断 PMN的形状，并说明理由； (3) 拓展延伸 把CDE绕点 C任意旋转，若AC 4，CD 2，请直接写出 PMN面积的最大值 参考答案 类型一 针对训练 1解： (1) 点 A为线段 BC外一动点，且BC a， AB b， 当点 A位于 CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC AB ab. (2) CD BE ， 理由： ABD 与

19、ACE是等边三角形， AD AB，AC AE ，BAD CAE 60， BAD BAC CAE BAC ，即 CAD EAB. 在CAD和EAB中， AD AB CAD EAB AC AE ， CAD EAB ，CD BE. 线段BE长的最大值等于线段CD的最大值， 由(1) 知，当线段CD的长取得最大值时，点D在 CB的延长线上， 14 线段 BE长的最大值为BD BC AB BC 4； (3) 将 APM绕着点 P顺时针旋转90得到 PBN ，连接AN ，如解图， 则APN是等腰直角三角形， PN PA2，BN AM. 点 A的坐标为 (2 ，0) ，点 B的坐标为 (5 ，0)， OA

20、2，OB 5，AB 3， 线段 AM长的最大值等于线段BN长的最大值， 当点 N在线段 BA的延长线时，线段BN取得最大值， 最大值为AB AN. AN 2AP22， 线段 AM的长最大值为22 3. 如解图，过点P作 PE x轴于点 E. APN是等腰直角三角形， PE AE2， OE BO AB AE 53222， P(22，2) 图 图 第 1 题解图 2解： (1) 当 0时， 在 RtABC中， B90， AC AB 2BC2 （82） 282 4 5. 点 D、E分别是边BC 、AC的中点， AE 452 25，BD 82 4， AE BD 2 5 4 5 2 . 如解图，当180

21、时， 15 得可得 AB DE ， AC AE BC BD ， AE BD AC BC 45 8 5 2 . (2) 当 0 360时， AE BD 的大小没有变化 ECD ACB ， ECA DCB. 又 EC DC AC BC 5 2 ， ECA DCB ， AE BD EC DC 5 2 . 图 图 图 第 2 题解图 (3) 如解图， AC 45， CD 4，CD AD ， AD AC 2CD2 （45） 242 80168. AD BC，AB DC ，B90， 四边形ABCD 是矩形， BD AC45. 如解图，连接BD，过点 D作 AC的垂线交AC于点 Q ，过点 B作 AC的垂线

22、交AC于点 P， AC 45， CD 4，CD AD ， AD AC 2CD2 （45） 242 80168， 16 点 D、E分别是边BC 、AC的中点， DE 1 2AB 1 2(82) 1 24 2， AE ADDE 826， 由(2) ，可得 AE BD 5 2 ， BD 6 5 2 125 5 . 综上所述， BD的长为 45或 125 5 . 3解： (1) ACB 和DCE均为等边三角形， CA CB，CD CE ，ACB DCE 60， ACD BCE. 在ACD和BCE中， AC BC ACD BCE CD CE ， ACD BCE(SAS) ， ADC BEC. DCE为等

23、边三角形， CDE CED 60. 点 A，D，E在同一直线上， ADC 120， BEC 120， AEB BEC CED 60. ACD BCE ，AD BE. (2) AEB 90， AE BE 2CM. 理由如下： ACB和DCE均为等腰直角三角形， CA CB，CD CE ，ACB DCE 90. ACD BCE. 在ACD和BCE中， CA CB ACD BCE CD CE ， ACD BCE(SAS) ， AD BE，ADC BEC. DCE为等腰直角三角形，CDE CED 45. 点 A，D，E在同一直线上， 17 ADC 135， BEC 135， AEB BEC CED 9

24、0. CD CE，CM DE ，DM ME. DCE 90， DM ME CM ， A EADDE BE 2CM. (3) PD 1，点 P在以点 D为圆心， 1 为半径的圆上 BPD 90，点P在以 BD为直径的圆上， 点 P是这两圆的交点 当点 P在如解图所示位置时， 连接 PD ，PB ，PA ，作 AH BP ，垂足为H， 过点 A作 AE AP ，交 BP于点 E. 四边形ABCD 是正方形， ADB 45， AB AD DC BC2，BAD 90， BD 2. DP 1，BP 3. BPD BAD 90， 点 A、P、D、B在以 BD为直径的圆上， APB ADB 45. PAE是

25、等腰直角三角形 又 BAD是等腰直角三角形，点B，E， P共线， AH BP ， 由 (2) 中的结论可得：BP 2AH PD ， 32AH 1， AH 31 2 ； 当点 P在如解图所示位置时， 连接 PD 、PB 、PA 、作 AH BP ，垂足为H， 过点 A作 AE AP ，交 PB的延长线于点E， 同理可得： BP 2AH PD ， 32AH 1， AH 31 2 . 综上所述，点A到 BP的距离为 31 2 或 31 2 . 18 图 图 第 3 题解图 4解： (1) AB AC ，BAC 90， 线段 AD绕点 A逆时针旋转90得到 AE ， AD AE，BAD CAE ， B

26、AD CAE ， CE BD， ACE B， BCE BCA ACE 90， 线段 CE ，BD之间的位置关系和数量关系为CE BD ，CE BD ； (2)(1)中的结论仍然成立证明如下： 如解图， 线段 AD绕点 A逆时针旋转90得到 AE， AE AD，DAE 90. AB AC，BAC 90， CAE BAD ， ACE ABD ， CE BD，ACE B， BCE 90， 线段 CE ，BD之间的位置关系和数量关系为CE BD ，CE BD ； (3)45 ； 3 4. 过 A作 AM BC于 M ，过点 E作 EN MA交 MA的延长线于N，如解图. 线段 AD绕点 A逆时针旋转9

27、0得到 AE， DAE 90， AD AE ， NAE ADM ，易证得RtAMD RtENA ， NE AM. 19 CE BD ，即CE MC ， MCE 90， 四边形MCEN 为矩形， NE MC ，AM MC ， ACB 45. 四边形MCEN 为矩形， RtAMD RtDCF ， MD CF AM DC ，设 DC x， 在 RtAMC中， ACB 45， AC 32， AM CM 3，MD 3x， 3x CF 3 x， CF 1 3x 2x1 3(x 3 2) 23 4， 当 x3 2时， CF有最大值，最大值为 3 4. 故答案为45， 3 4； 图 图 第 4 题解图 5解：

28、 (1) ABC ，AED 是两个全等的等腰直角三角形， AD BC. O 为 BC的中点， F 为 AD的中点， AF OC. BAC AED 90，AB AC ，AE DE， DAE CBA 45， AD BC ， 四边形AFOC 是平行四边形， OF AC 2 2 EC ， OF EC 2 2 ； 20 故答案： 2 2 ； AO 2 2 AC ，BAO CAO 45， DAE 45， DAE CAO. AE AC， AF AO ， AF AE AO AC ， AFO AEC ， OF EC AO AC 2 2 ； 故答案： 2 2 . (2)OF 2 2 EC. 理由：在等腰直角 AD

29、E 中， F为 AD的中点， AF 1 2AD 2 2 AE. 在等腰直角 ABC 中， O为 BC的中点， 如解图，连接AO ， AO 2 2 AC ，BAO CAO 45. DAE 45， DAE CAO ，即 DAO CAE. AE AC， AF AO ， AF AE AO AC ， AFO AEC ， OF EC AO AC 2 2 ； (3) ABC和AED是两个全等的等腰直角三角形， AD BC2， ED AEAB AC 1， 当ACD为直角三角形时，分两种情况： 21 图 图 图 第 5 题解图 当 AD与 AB重合时，如解图，连接CD. 当ACD为直角三角形时， AD AC ，

30、 即将 ADE绕点 A逆时针旋转45. AD 2，AC 1， 由勾股定理可得CD （2） 212 3； 当 AE与 AC重合时，如解图， 当ACD为直角三角形时， AC CD ， 即将 ADE绕点 A逆时针旋转90，此时CD AC 1. 综上所述， CD的长为3或 1. 类型二 针对训练 1解： (1) DEC 绕点 C旋转到点D恰好落在AB边上， AC CD. BAC 90 B903060. ACD是等边三角形， ACD 60， 又 CDE BAC 60， ACD CDE ， DE AC ； B30， C90， CD AC 1 2AB ， 22 BD ADAC ， 根据等边三角形的性质，AC

31、D的边 AC ， AD上的高相等， BDC的面积和 AEC 的面积相等 ( 等底等高的三角形的面积相等) ，即 S1S2； (2) DEC是由 ABC绕点 C旋转得到， BC CE，AC CD ，DCE ACB 90， ACN ACE 180， ACN DCM. 在ACN和DCM中， ACN DCM ， NCMD 90， ACCD ACN DCM(AAS) ， AN DM ， BDC的面积和 AEC 的面积相等 ( 等底等高的三角形的面积相等) ，即 S1S2； 第 1 题解图 (3) 如解图，过点D作 DF1BE交 BA于点 F1，易求得四边形BEDF1是菱形， BE DF1，且 BE ，D

32、F1边上的高相 等， 此时 SDCF1SBDE； 过点 D作 DF2BD. ABC 60， F1DBE 交 BA于点 F2， F2F1DABC 60. BF1DF1，F1BD 1 2ABC 30，F 2DB 90， F1DF2ABC 60 DF1F2是等边三角形， DF1DF2. BD CD ，ABC 60，点D是角平分线上一点， DBC DCB 1 26030， CDF1180 BCD 18030150， CDF236015060150， CDF1CDF2. 在CDF1和CDF2中， 23 DF1DF2 CDF1CDF2 CD CD ， C DF1CDF2(SAS)，点 F2也是所求的点 A

33、BC 60，点D是角平分线上一点， DE AB ， DBC BDE ABD 1 26030. 又BD 4， BE 1 24cos 30 2 3 2 4 3 3 ， BF14 3 3 ，BF2 BF1F1F2 43 3 43 3 8 3 3 . 故 BF的长为 43 3 或 83 3 . 2解：当EDF绕 D点旋转到DE AC时，四边形 CEDF 是正方形； 设ABC的边长 AC BC a，则正方形CEDF 的边长为 1 2a， SABC 1 2a 2，S 正方形 CEDF( 1 2a) 21 4a 2，即 S DEFSCEF 1 2S ABC； (1) 上述结论成立；理由如下： 连接 CD ，

34、如解图所示 AC BC，ACB 90， D为 AB中点， B45， DCE 1 2ACB 45，CD AB ， CD 1 2AB BD ， DCE B，CDB 90 EDF 90， 12， 在CDE和BDF中， 12 CD BD DCE B ， CDE BDF(ASA) ， SDEFSCEF S ADESBDF 1 2S ABC； 图 24 图 第 2 题解图 (2)SDEFSCEF1 2S ABC；理由如下： 连接 CD ，如解图所示， 同(1) 得： DEC DFB ，DCE DBF 135， SDEFS五边形 DBFEC， SCFESDBC， SCFE 1 2S ABC， SDEFSCF

35、E 1 2S ABC. SDEF、SCEF、 SABC的关系是SDEFSCEF 1 2S ABC. 3解： (1) 如解图中，四边形ABCD 、EFGC 都是正方形， BCD ECG 90. BCG BCD DCE ECG 360， BCG ECD 180. 图 图 25 图 第 3 题解图 如解图，过点E作 EM DC于点 M ，过点 G作 GN BN交 BN的延长线于点N， EMC N90. 四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形， BCD DCN ECG 90，CB CD ，CE CG ， 190 2，3 90 2， 13. 在CME和CNG中， EMC GNC 13 EC CG

36、， CME CNG(ASA) ， EM GN. 又S11 2CD EM ， S 2 1 2CB GN ， S1S2； 故答案为180， S1S2； (2) 猜想： S1S2， 证明：如解图，过点E作 EM DC于点 M ，过点 B作 BN GC交 GC的延长线于点N ， EMC N90. 矩形 CGFE 由矩形 ABCD 旋转得到的， CE CB，CG CD ， ECG ECN BCD 90， 190 2，390 2， 13. 在CME和CNB中， EMC BNC 13 EC CB ， CME CNB(AAS) EM BN. 又S 11 2CD EM ， S 2 1 2CG BN ， S1S2

37、; (3) 如解图，作DM AC于 M ，延长 BA ，交 EC于 N， AB AC10 cm，B30， ACB ABC 30， 26 BAC 120， 根据翻折的性质，得 ACE ACB 30， AD CE ， DAC ACE 30， BAD 90， DM 1 2AD ， BN EC. AD tan ABD AB ， AB 10 cm， AD tan 30 10 10 3 3 (cm) ， DM 1 2 10 3 3 5 3 3(cm) SABP 1 2AB PN ， S ADC1 2AC DM ，S ABPSADC，ABAC ， PN DM 5 3 3. 在 RtANC中， ACN 30，

38、 AC10 (cm) ， NC cosACN AC cos 30 1053(cm) 在 EC上到 N的距离等于 5 3 3的点有两个， PC 10 3 3 cm，P C20 3 3 cm. CP的长为 10 3 3 cm 或20 3 3 cm. 4解： (1)PMPN ，PM PN ，理由如下： 如解图，延长AE交 BD于 O， ACB和ECD是等腰直角三角形， AC BC，EC CD ，ACB ECD 90. 在ACE和BCD中， AC BC ， ACE BCD 90， CE CD ， ACE BCD(SAS) ， AE BD，EAC CBD ， EAC AEC 90， AEC BEO ，

39、CBD BEO 90， BOE 90，即AE BD ， 点 M 、N分别是斜边AB 、DE的中点，点P为 AD的中点， 27 PM 1 2BD ，PN 1 2AE ， PM PN. PM BD ，PN AE ，AE BD ， NPD EAC ，MPA BDC ，EAC BDC 90， MPA NPC 90， MPN 90， 即 PM PN. 图 图 第 4 题解图 (2) PMN为等腰直角三角形，理由如下： 如解图，设AE交 BC于点 O. ACB和ECD是等腰直角三角形， AC BC，EC CD ，ACB ECD 90， ACB BCE ECD BCE ， ACE BCD ， ACE BCD ， AE BD， CAE CBD. 又 AOC BOE ，CAE CBD ， BHO ACO 90. 点 P，M ，N分别为 AD ，AB ，DE的中点， PM 1 2BD ，PM BD ， PN 1 2AE ，PN AE ， PM PN， MGE BHA 180， MGE 90， MPN 90， PM PN ，即 PMN为等腰直角三角形 28 (3) 由(2) 可知 PMN是等腰直角三角形，PM 1 2BD ， 当 BD的值最大时，PM的值最大， PMN的面积最大， 当 B，C，D共线时， BD的最大值为BC CD 6， PM PN3， PMN面积的最大值为 1 233 9 2.