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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习案42 数列的基本概念第 83 页 42 数列的基本概念 一、学习内容：必修四P3439 二、课标要求： 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式 ) 了解数列是自变量为正整数的一类函数 三、基础知识 1数列的概念 叫做数列 2数列的通项公式 数列 n a的与n之间的关系可以用一个公式来表示， 这个公式就叫做这 个数列的通项公式 3数列与函数 数列可以看作是一个定义域为正整数集 * N( 或它的有限子集 1,2 ，, ， n) 的函数， 当自变量依次取值时对应的一列函数值数列的通项公式是相应函数的解析 式，它的图象是 4数列的分类 (1) 根
2、据数列的项数可分为、 (2) 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为： 递增数列；递减数列；摆动数列；常数列 5递推公式 如果已知数列 an的第 1 项(或前几项 )，任一项 an与它的前一项 an1( 或前几项 ) 间 的关系可以来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 6. Sn与 an的关系 an与 Sn的关系式 anSnSn1的条件是 n2， 求 an时切勿漏掉 n1 即 a1S1的情 况 一般地，当 a1S1适合 anSnSn1时，anSnSn1； 当 a1S1不适合 anSnSn1时，an S1 n1 SnSn1 n2 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案42 数列的基本概念
3、第 84 页 四、基础练习 1已知数列 an 的前 4 项为 1,3,7,15，写出数列 an的一个通项公式 an_. 答案an2 n 1 2(课本习题改编)已知数列的通项公式ann25n14，nN，则： (1)这个数列的第4 项是 _； (2)52 是这个数列的第_项； (3)这个数列的第_项最小； (4)这个数列前 _项的和最小 答案(1)18(2)11(3)2 或 3(4)6 或 7 3观察下列各图，并阅读图形下面的文字像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是() A40 个B45 个C 50 个D55 个 答案B 解析设 n 条直线的交点个数为an，(n2)，则 a3a22， a4a
4、33 , a10a99 累加得： a10a223,9， a10123,945. 4在数列 an 中， a11，a25，an2an1an(nN)，则 a100等于 _ 答案 1 解析方法一由 a11，a25，an2an1an(nN)可得该数列为 1,5,4， 1， 5， 4,1,5,4，,. 由此可得 a100 1. 方法二an2an1an，an3an2an1，两式相加可得an3 an，an6an， a100a1664a4 1. 5. （2013 年辽宁（理） ）下面是关于公差0d的等差数列 n a的四个命题 : 1 : n pa数列是递增数列； 2 : n pna数列是递增数列； 3: n a
5、 p n 数列是递增数列； 4 :3 n pand数列是递增数列； 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案42 数列的基本概念第 85 页 其中的真命题为（） (A) 12 ,pp (B) 34 ,pp (C) 23 ,pp (D) 14 ,pp 【答案】D 6. （2013 湖北（理） ）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3， 6， 10，第n个三角形数为 2(1)11 222 n n nn . 记第n个 k 边形数为( , ) (3)N n kk，以下列出 了部分 k 边形数中第n个数的表达式： 三角形数 211 ( ,3) 22 N nn n ， 正方形数
6、2 ( ,4)N nn ， 五边形数 231 ( ,5) 22 N nnn ， 六边形数 2 ( ,6)2N nn n ， 可以推测( , )N n k 的表达式，由此计算(10,24)N_. 【答案】1000 7. （2013 年高考陕西卷（理）观察下列等式 : 2 11 22 123 222 1263 2222 124310 照此规律 , 第n个等式可为 _)1( 2 ) 1- n1-32-1 1 21-n222 nn n （ ）（_. 【答案】)1( 2 ) 1- n1-32-1 1 21-n222 nn n （ ）（ 8. （2013 新课标 1 （理） ）若数列 n a 的前n项和为
7、 Sn= 21 33 n a, 则数列 n a的通项公式是 n a=_. 【答案】 n a= 1 ( 2) n . 9. 求下面各数列的一个通项： 14916 (1), 24578101113 ； (2)数列的前 n项的和 2 21 n Snn； (3)数列 an的前 n 项的和 Sn满足关系式lg(1) n Sn(nN * ) 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案42 数列的基本概念第 86 页 解： （ 1） 2 ( 1) (31)(31) n n n a nn （ 2）当 1n时 11 4aS， 当2n时 1nnn aSS41n，显然 1 a不适合41 n an 所以： 4 41 n=
8、 nnn a (1) ( 2) (3) , 110101) 1lg( n n n nn SSnS 当 n1 时， a1S111； 当 n2 时， anSnSn110n10 n19 10 n1 当： 11 1 1 1,9 109 109 n n naa 故： 1 11 910 n n= n n a (1) ( 2) 10. (1)(2008 四川 )设数列 an中， a1 2，an1ann1，求数列 an的通项公式 . (2)a11，a n1 an n1，求数列 an 的通项公式 . (3)a11，an13an 2，求数列 an 的通项公式 . (4)an0， an2 2 2Sn，求数列 an的
9、通项公式 . 【解析】(1)累加法an n n1 2 1. (2)累乘法，迭代法a n1 an n1， annan1n(n1)an2,n(n1),2a1n！ . (3)构造新数列法 an1 3an2， an113(an1)， an11 an1 3， 数列 an1为等比数列，公比q3，又 a1 12， an12 3n 1， a n2 3 n11. (4)公式法由a n2 2 2Sn得 Sn an2 2 8 . n2时， anSnSn1 an 2 2 8 an1 2 2 8 . 8an(anan14)(anan1)， (anan1)(anan14)0， an0， anan10， anan140，即
10、 anan14，数列 an 为等差数列，且公差 d4. 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案42 数列的基本概念第 87 页 又 a1 S1 a12 2 8 ， a12， an24(n1)4n 2. 【点评】 形如 an1anf(n)， an1 an f(n)，一般采用迭加或迭乘的方法 形如 anpan1q 的递推关系一般化为anmp(an1m)， 从而得出 anm为等比数列 此 种办法叫 “构造新数列法” 对于 Snf(an)仍坚持利用 n2 时 anSnSn1. 当然，本例各小题也可以采取“猜想归纳法”，先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式， 最后用数学归纳法证明 11.数列 an的前
11、 n 项和 Sn，a11，an11 3S n(n1,2,3，, )，求 Sn及 an. 【答案】Sn(4 3) n1 ，an 1，n1 1 3 4 3 n2，n2. 【解析】解法一an1 1 3Sn(n1)， S n1Sn 1 3S n(n1)， Sn1 4 3Sn(n1)， Sn是以 S1a11 为首项，以 4 3为公比的等比数列 Sn(4 3) n1. n1 时， a11.n 2 时， anSnSn1 1 3 ( 4 3) n2， a n 1，n1 1 3 4 3 n2，n2. 解法二an1 1 3Sn， an 1 3Sn 1(n2) an1 an 1 3an，(n 2)， an 1 4
12、3an(n 2)， a11， a21 3S 1 1 3， an是以 a2 为首项， 4 3为公比的等比数列 an 1n1 1 3 4 3 n2 n2. 【本课总结】 1已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： 符号用 (1)n或(1)n 1 来调节，这是因为n 和 n1 奇偶交错 分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察规律、类比已知数列、转化成特殊数 列(等差、等比 )等方法 2Sn与 an之间两种转化途径，注意 n1 和 n2 两种情况 3由 Sn求 an时，注意 n1 和 n1 两种情况，最后看二者是否统一