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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习案59离散型随机变量的期望与方差第 117 页 59 离散型随机变量的期望与方差 一、学习内容：选修23 P6975 二、课标要求： 了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它 的期望、方差 三、基础知识 1期望、方差的概念 (1)若离散型随机变量 的概率分布为P( xi)pi， i1,2， , ， 的数学期望 E _. (2)把 D (x1E ) 2 p 1(x2E ) 2 p2, (xnE )2 pn, 叫做随机变量 的_； 标准差 _. 2期望、方差的性质 (1) 若 a b，其中 a、b 是常数 E(a b)_
2、. (2)c 为常数， D(c)_. (3)a、b 为常数，则D(a b)_. (4)E 2(E )2_. 3几个常见分布的期望、方差 X X 1,BpX ,B n pX ,HN M n EXEX = EX = EX = DXDX = DX = DX = 四、典型例题分析 1若随机变量X 的分布列如表，则E(X)等于 () X 012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. 1 18 B.1 9 C.20 9 D. 9 20 答案C 解析由分布列的性质知2x3x7x 2x3xx 1， x 1 18， E(x)0 2x1 3x2 7x3 2x 4 3x5 x40x 20 9 . 2.设
3、随机变量 具有分布P( k) 1 5，k1,2,3,4,5，求 E( 2) 2，D(2 1)， ( 1) 【思路】利用性质E(a b)aE b， D(a b)a 2D . 【解析】E 11 5 2 1 53 1 5 4 1 55 1 5 15 5 3. E 211 52 21 53 21 54 21 55 21 511. 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案59离散型随机变量的期望与方差第 118 页 D (1 3) 21 5(23) 21 5(33) 21 5(43) 21 5(53) 21 5 1 5(41014)2. E( 2)2E( 24 4) E 24E 41112427. D(2
4、 1)4D 8， ( 1)D 1 D 2. 3. （2013 年湖北（理） ）如图 , 将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割成125 个同样大小的小正方体. 经过搅拌后 , 从中随机取出一个小正方体, 记它的涂油漆面数为X, 则X的均值为E X（ ） A 126 125 B 6 5 C 168 125 D 7 5 【答案】B 4. （2013 江苏卷）抽样统计甲、乙 两位设计运动员的5 此训练成 绩( 单位 : 环), 结果如下 : 则成绩较为稳定( 方差较小 ) 的那位运动员成绩的方差为_. 【答案】2 5. （2013 年上海（理） ）设非零常数d 是等差数列 12319 ,x xxx的公
5、差 , 随机变量等可能地取值 12319 ,xxxx, 则方差_D 【答案】30 |Dd. 6. （2013 福建（理） ）某联欢晚会举行抽奖活动, 举办方设置了甲. 乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率 为 2 3 , 中将可以获得2分;方案乙的中奖率为 2 5 , 中将可以得3分; 未中奖则不得分. 每人有且只有 一次抽奖机会 , 每次抽奖中将与否互不影响, 晚会结束后凭分数兑换奖品. (1) 若小明选择方案甲抽奖, 小红选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为,X Y, 求3X的概率 ; (2) 若小明 . 小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖, 问 : 他们选择何种方案抽奖, 累计的得分 的数学
6、期望较大? 【答案】解:( ) 由已知得 : 小明中奖的概率为 2 3 , 小红中奖的概率为 2 5 , 两人中奖与否互不影响, 记“这 2 人的累计得分3X”的事件为A,则 A事件的对立事件为“5X”, 224 (5) 3515 P X, 11 ( )1(5) 15 P AP X 这两人的累计得分3X的概率为 11 15 . 运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲87 91 90 89 93 乙89 90 91 88 92 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案59离散型随机变量的期望与方差第 119 页 ( ) 设小明 . 小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 1 X,
7、都选择方案乙抽奖中奖的次数为 2 X, 则 这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 1 (2)EX, 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望 为 2 (3)EX 由已知 : 1 2 (2,) 3 XB, 2 2 (2,) 5 XB 1 24 ()2 33 E X, 2 24 ()2 55 E X 11 8 (2)2 () 3 EXE X, 22 12 (3)3 () 5 EXE X 12 (2)(3)EXEX 他们都在选择方案甲进行抽奖时, 累计得分的数学期望最大. 7、 （2013 大纲版（理） ）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛, 其中两人比赛, 另一人当裁判, 每局比赛 结束时 , 负的一方在
8、下一局当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为 1 , 2 各局比赛的结果相互独立, 第 1 局甲当裁判 . (I) 求第4局甲当裁判的概率; (II)X表示前4局中乙当裁判的次数, 求X的数学期望 . 【答案】 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案59离散型随机变量的期望与方差第 120 页 五、基础练习 1已知 的分布列 101 P 1 2 1 3 1 6 则在下列式中：E( ) 1 3； D( ) 23 27 ； P( 0) 1 3. 正确的个数是() A0 B1 C 2 D3 答案C 解析E( )(1)1 21 1 6 1 3，故正确 D( )(1 1 3) 21 2 (0 1 3) 2
9、1 3(1 1 3) 21 6 5 9，故不正确由分布列知正确 2(2010 新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则 X 的数学期望为() A100 B200 C300 D400 答案B 解析记 “不发芽的种子数为 ”，则 B(1000,0.1)，所以 E 10000.1100，而 X2 ， 故 EXE(2 )2E 200，故选 B. 3(2012 东北四市联考 )在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6 次测试，测得他们的最大 速度 (单位： m/s)的数据如下： 甲273830373531
10、乙332938342836 试问：选 _(填甲或乙 )参加某项重大比赛更合适 解析x甲33， x乙33. s 2 甲 47 3 s 2 乙 38 3 .乙的成绩比甲稳定，应选乙参加比赛更合适 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案59离散型随机变量的期望与方差第 121 页 【点评 】均值、方差是统计学的两个基本概念，高考常以小题形式出现牢记并熟练运用公式 是解题的关键 4.(2011湖南理 )某商店试销某种商品20 天，获得如下数据： 日销售量 (件)0123 频数1595 试销结束后 (假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3 件，当天营 业结束后检查存货，若发现存
11、量少于2 件，则当天进货补充至3 件，否则不进货，将频率视为概率 ()求当天商店不进货的概率； ()记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望 【解析】()P(“当天商店不进货”) P(“当天商品销售量为0 件”)P(“当天商品销售量 为 1 件”) 1 20 5 20 3 10. ()由题意知， X 的可能取值为2,3. P(X2)P(“当天商品销售量为1 件”) 5 20 1 4； P(X3)P(“当天商品销售量为0 件”) P(“当天商品销售量为2 件” )P(“当天商品销售 量为 3 件”) 1 20 9 20 5 20 3 4. 故 X 的分布列为 X 23 P
12、 1 4 3 4 X 的数学期望为E(X)2 1 43 3 4 11 4 . 【点评】 求离散型随机变量X 的均值与方差的方法： (1)理解 X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求 X 取每个值的概率； (3)写出 X 的分布列； (4)由均值的定义求E(X)； (5)由方差的定义求D(X) 5(2011 江西理 )某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了 两种不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中4 杯为 A 饮料，另外4 杯为 B 饮料，公司要求 此员工一一品尝后，从8 杯饮料中选出4 杯 A 饮料，若4 杯都选对，则月工资定为3500 元，若
13、 4 杯选对 3 杯，则月工资定为2800 元，否则月工资定为2100 元，令 X 表示此人选对A 饮料的杯数， 假设此人对A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 (1)求 X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望 解析(1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(Xi) C i 4C 4i 4 C 4 8 (i0,1,2,3,4)， 即 X 01234 P 1 70 16 70 36 70 16 70 1 70 (2)令 Y 表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500， 则 P(Y3500)P(X4) 1 70， P(Y2800) P(X 3) 8 35， 重庆市
14、育才中学高2014 级一轮复习案59离散型随机变量的期望与方差第 122 页 P(Y2100) P(X 2) 53 70， EY3500 1 702800 16 702100 53 70 2280， 所以此员工月工资的期望为2280 元 6 （ 2013 年辽宁（理） ）现有 10 道题 ,其中 6 道甲类题 ,4 道乙类题 , 张同学从中任取3 道题解答 . (I) 求张同学至少取到1 道乙类题的概率; (II)已知所取的3 道题中有2 道甲类题 ,1 道乙类题 . 设张同学答对甲类题的概率都是 3 5 , 答对每 道乙类题的概率都是 4 5 , 且各题答对与否相互独立. 用X表示张同学答对题的个数, 求X的分 布列和数学期望. 【答案】