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1、重庆育才中学高三 二轮（理数）复习专题2 第五讲导数及其应用(高三数学理二轮 ) 专题 1 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数1 第五讲导数及其应用 考点整合 1导数的几何意义: (1)、函数 yf(x)在 xx0处的导数 0 ()fx就是曲线yf(x)在点 (x0， f(x0)处的 切 线 的 斜 率 ， 即 0 ()kfx。(2) 、 曲 线y f(x) 在 点 (x0， f(x0) 处 的 切 线 方 程 为 ： 000 ()()()yfxfxxx。注： 导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t) 2导数与函数单调性的关系：(1)、( )0fxf(x)为增函数；( )0fxf
2、(x)为减函数。（即：由 ( )0fx求出的x的范围是f(x)增区间；由( )0fx求出的x的范围是f(x)减区间）。 (2)、f(x)在区间 D 为增函数( )0fx恒成立； f(x)在区间 D 为减函数( )0fx恒成立。 3函数的导数与极值：(1)、函数的极值点是特殊的驻点（驻点是由( )0fx求出的x值 0 x） ，只 有在 0 x的两侧 12102 ,xxxxx满足12()()0fxfx时， 0 x才是极值点，0()f x才是极值。 (2)、若 0 xx是函数的极值点（或在 0 xx是函数的有极值） ，则一定有 0 ()0fx，但还需验证 对于 12102 ,xxxxx是否满足 12
3、 ()()0fxfx。 4闭区间上函数的最值：(1)、在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间 的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数 值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值(2)、函数在其定义区间的最大值、最小值最 多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)、闭区间上连续的函数一定有最值， 开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值 5四个易误导数公式及两个常用的运算法则：(sin)cos(cos )sinxxxx 1 ()ln(0,1)(log)(0,1) ln xx a aaaaaxaa
4、 xa 2 ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ),( ( )0) ( ) ( ) f xf x g xf x g x f x g xf x g xf x g xg x g xg x 6不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题 (1)、相同区间恒成立问题 若不等式( )( )f xg x在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上 min ( )( )0f xg x； 若不等式( )( )f xg x在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上 max ( )( )0f xg x (2)、相同区间能成立问题 若在区间 D 上存在实数x使不等式( )( )f xg x成立
5、， 则等价于在区间D 上 max ( ( )( )0f xg x 若在区间D 上存在实数x 使不等式( )( )f xg x成立， 则等价于在区间D 上 min ( ( )( )0f xg x (3)、不同（相同）区间恒成立问题 若 1 xD， 2 xE，使得 12 ()()f xg x恒成立； minmin ( )( )f xg x 若 1 xD， 2 xE，使得 12 ()()f xg x恒成立； maxmax ( )( )f xg x 真题感悟 1 (2013 广东 )若曲线 ykxln x 在点 (1， k)处的切线平行于x 轴，则 k_. 2 (2013 江西 )设函数 f(x)在(
6、0， )内可导，且f(e x)x ex，则 f(1)_. 3 (2013 浙江 )已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x)(e x1)(x1)k(k1,2)，则 ( ) A当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极大值 重庆育才中学高三 二轮（理数）复习专题2 第五讲导数及其应用(高三数学理二轮 ) 专题 1 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数2 C当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极大值 4 (2012重庆 )设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为( )fx，且函数(1)( )yx
7、 fx 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 5 (2013 安徽 )若函数 f(x)x 3ax2bxc 有极值点 x1， x2，且 f(x1)x1，则关于x 的方程 3(f(x) 22af(x)b0 的不同实根个数是 () A3 B4 C5 D 6 题型与方法 题型一导数几何意义及应用 例 1、(1)、过点 (1,0)作曲线 yex的切线，则切线方程为_ (2)、在平面直
8、角坐标系xOy 中，设 A 是曲线 C1：yax 3 1(a0)与曲线 C 2：x 2y25 2的一个公共 点，若 C1在 A 处的切线与C2在 A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 _ (3)、在平面直角坐标系xOy 中，点 P 在曲线 C：y x 3 10x3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为2，则点 P 的坐标为 _ 变式训练 1 (1)、直线 y2xb 是曲线 yln x (x0)的一条切线，则实数b_. (2)、直线 ykxb 与曲线 yax 22ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为 _ (3)、若曲线 f(x)xsin x1 在 x 2 处
9、的切线与直线ax2y10 互相垂直， 则实数 a_. 题型二利用导数研究函数的单调性 例 1、已知函数f(x)x2 aln x. (1)当 a 2 时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)若函数 g(x)f(x)2 x在1， )上单调，求实数 a 的取值范围 变式训练 2已知函数f(x)ln(2x)ax. (1)设曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线为l，若 l 与圆 (x 1) 2y21 相切，求 a 的值； (2)当 a0 时，求函数f(x)的单调区间 重庆育才中学高三 二轮（理数）复习专题2 第五讲导数及其应用(高三数学理二轮 ) 专题 1 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导
10、数3 题型三利用导数研究函数的极值( 最值) 例 1、已知函数f(x) 1 2x 2ln x. (1)求函数 f(x)在区间 1，e上的最大值、最小值； (2)求证：在区间(1， )上，函数f(x)的图象在函数g(x) 2 3x 3 的图象的下方 变式训练 3设函数)1ln()( 2 xbxxf，其中0b. （1）若12b，求)(xf在3,1的 最小值；（2）如果( )f x在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围； （3）是否存在最小的正整数N，使得当Nn时，不等式 3 11 ln nn nn 恒成立 . 题型四利用导数解决恒成立问题 例 1已知 2 ( )ln,( )3f xxx
11、 g xxax. （）求函数( )f x在 ,1(0)t tt上的最 小值；（）对一切(0,),2( )( )xfxg x恒成立，求实数a的取值范围； （）证明：对一切(0,)x，都有 12 ln x x eex 成立 . 例 2、已知函数 1 ln,. x ax fxxaxaRg x xe （I）求 f（x）的单调区间； （II ）当1a时，若存在 11, 2 ,x使得对任意的2121, 2 ,xfxg x恒成立，求 a的取值范围 变式训练 4 1、已知函数f(x)x 1 x 1，g(x)x 22ax4，若对于任意 x1 0,1，存在 x21,2 ， 使 f(x1)g(x2)，则实数a 的取
12、值范围是 _ 重庆育才中学高三 二轮（理数）复习专题2 第五讲导数及其应用(高三数学理二轮 ) 专题 1 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数4 2、已知,Ra函数Rxaxexf x ,)( 2 . （）求)(xf的单调区间和极值； （）当),0(x时，不等式 x e12 2 axx恒成立，求a的范围。 题型五利用导数解决与方程、不等式有关的综合应用问题 例 1、已知函数f(x)ax sin x3 2(a0)，且 f(x)在区间 0， 2 上的最大值为 3 2 . (1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0， )内零点个数，并加以证明 变式训练5设函数 2 ( )lnf x
13、xbxax(1)若2x是函数( )f x的极值点， 1 和0 x 是函数 ( )fx的两个不同零点， 且 0 ( ,1),xn nnN， 求n (2)若对任意 2, 1b， 都存在(1, )xe （e为自然对数的底数） ，使得( )0f x成立，求实数a的取值范围 小题冲关 1 已知直线ykx 是 yln x 的切线，则k 的值是 _ 2 已知函数f(x) x 2 mxln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是() Am2 2 Bm 22Cm0 时， 有 2 ( )( ) 0 xfxf x x 恒成立，则不等式 x2f(x)0 的解集是() A(2,0)(2， ) B(2,0)(0,2)
14、C(， 2)(2， ) D(， 2)(0,2) 9已知函数f(x)e x2xa 有零点，则 a 的取值范围是_ 10 已知函数 f(x)1 2mx 2 ln x2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的取值范围为 _ 11 设 f(x) 1 3x 31 2x 2 2ax.若 f(x)在( 2 3， )上存在单调递增区间， 则 a 的取值范围为 _ 三拔高题组 12. 已知函数 1 ( )(*) n f xxnN 的图象与直线1x交于点 P，若图象在点P 处的切线与x 轴交 点的横坐标为 n x，则 12013 logx 22013 logx 20122013 logx的值为 A 1 B 1log
15、20132012 C- log20132012 D1 重庆育才中学高三 二轮（理数）复习专题2 第五讲导数及其应用(高三数学理二轮 ) 专题 1 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数6 13. 已知函数 2 2 10 ( ) 40 xx f x xxax 在点（1,2）处的切线与( )f x的图像有三个公共点，则a的 取值范围是（） A 8, 42 5) B ( 42 5,4 2 5)C ( 42 5, 8D ( 42 5,8 14. 已知函数)0(2)( 23 abxaxxf有且仅有两个不同的零点 1 x、 2 x，则（） A当0a时，0 21 xx，0 21x xB当0a时，0 21 x
16、x，0 21x x C当0a时，0 21 xx，0 21x x D当0a时，0 21 xx，0 21x x 15.定义在 R 上的函数)(xf满足(4)1f)(xf为)(xf的导函数，已知函数)(xfy的图象 如图所示若两正数ba,满足1)2(baf，则 2 2 b a 的取值范围是（） A 11 (,) 32 B 1 (,)3, 2 C 1 (, 3) 2 D (,3) 16. 设函数 ( ) ( ) x f x F x e 是定义在R 上的函数，其中( )f x的导函数( )fx满足( )( )fxf x对于 xR恒成立，则（） 22012 . (2)(0),(2012)(0)A fe f
17、fef 22012 . (2)(0),(2012)(0)B fe ffef 22012 . (2)(0),(2012)(0)C fe ffef 22012 .(2)(0),(2012)(0)D fe ffef 17、已知函数 2 ,(1) ( ) (2),(1) axbxcx f x fxx ,在其图象上点 (1，(1)f)处的切线方程为12xy,则 图象上点 (-3，(-3)f)处的切线方程为_ 18.设函数 ( )( ,) b f xaxa bR x ，若( )f x在点(1, (1)f处的切线斜率为1(1)、用a表示b； (2)、设( )ln( )g xxf x，若( )1g x对定义域
18、内的x恒成立，求实数a的取值范围。 重庆育才中学高三 二轮（理数）复习专题2 第五讲导数及其应用(高三数学理二轮 ) 专题 1 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数7 19. 已知函数 32 ( )f xxxbx，( )lng xaxx（0a） （）若函数fx存在极值点，求实数b的取值范围；（）求函数g x的单调区间； 20. 已知 2 ( )3lnf xaxx x ，其中 a为常数 . (1)、当函数( )f x的图象在点 22 (,() 33 f处的切线 的斜率为1 时，求函数( )f x在 3 ,3 2 上的最小值；(2)、若函数( )f x在(0,)上既有极大值又 有极小值，求实数a
19、 的取值范围； 21. 设函数)0(),1ln() 1()(axxaxxf （1）如果1a，求函数)(xf的单调递减区间； （2）若函数)(xf在区间) 1,1(e上单调递增，求实数a的取值范围； （3）证明：当mn0时，(1)(1) nm mn ( 此问选作 ) 重庆育才中学高三 二轮（理数）复习专题2 第五讲导数及其应用(高三数学理二轮 ) 专题 1 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数8 22、设函数f(x)ln x，( )( )( )g xf xfx(1)、求函数g(x)的单调区间和最小值； (2)讨论 g(x)与 1 ()g x 的大小关系；(3)求实数 a 的取值范围， 使得 g
20、(a)g(x)0 成立 23. 设函数 * ( ), , n n fxxbxcnNb cR(1) 、设 2n，1b，1c，证明： ( ) nfx在 区间 1 ,1 2 内存在唯一的零点；(2) 、 设2n， 若对任意 12 ,1,1x x， 均有 2122 4fxfx， 求 b 的取值范围 . 24. (此题选作 ) 设函数( )lnf xax， 21 ( ) 2 g xx （1）记( )gx为( )g x的导函数，若不等式 ( )2( )(3)( )f xgxaxg x在1, xe上有解，求实数a的取值范围； （2）若1a，对任意的 12 0xx，不等式 121122 ()()()()m g xg xx f xx f x恒成立， 求 m（mZ，m1）的值