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1、重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计1 x1x2x3,xi, P p1p2p3,pi, 01 P 1p p x1x2,xn, P p1p2,pn, 第 3 讲概率、随机变量及其分布列 考点整合 1 古典概型和几何概型 (1)、古典概型的概率：P(A) m n A中所含的基本事件数 基本事件总数 . (2)、几何概型的概率：P(A) 构成事件 A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 2 互斥事件与对立事件的关系 (1)、对立是互斥，互斥未必对立； (2)、如果事件A，B 互斥，那
2、么事件A B 发生 (即 A，B 中有一个发生 )的概率，等于事件A， B 分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)这个公式称为互斥事件的概率加法公式 (3)、 在一次试验中， 对立事件 A 和 A 不会同时发生， 但一定有一个发生，因此有 P( A )1P(A) 3 条件概率 在 A 发生的条件下B 发生的概率： P(B|A) P AB P A . 4 相互独立事件同时发生的概率 若 A1，A2，, ， An是相互独立事件，则P(A1 A2 , An)P(A1) P(A2) , P(An) 5 独立重复试验 如果在一次试验中事件A 发生的概率为p，事件 A 不发生的概率为1p，那么在
3、n次独立重复 试验中事件A 发生 k 次的概率为： Pn(k)Ck np k(1p)nk. 6离散型随机变量的分布列 (1)、设离散型随机变量 可能取的值为x1，x2，, ， xi，, ， 取每一个值 xi的概率为P( xi) pi，则称下表： 为离散型随机变量 的分布列 (2)、离散型随机变量 的分布列具有两个性质：pi0， p1p2, pi, 1(i1,2,3，, ) 7 常见的离散型随机变量的分布 (1)、两点分布：分布列为(其中 0m)a，则 P( 6m)等于 () AaB1 2aC2aD1a 答案D 解析正态分布曲线关于x对称，即关于x3 对称， m 与 6m 关于 x3 对称， P
4、( m)a，则 P( 6m)1a. 8、 【江南十校2014 届新高三摸底联考( 理) 】从某学校高三年级男生随机抽取若干名测量身高，发现 测量数据全部介于155cm 和 195cm 之间且每个男生被抽取到的概率为 1 8 ， 将测量结果按如下方式分 成八组：第一组155,160） ，第二组 160,165） ，第八组190,195） ，右图是按上述分组方法得 到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组的频数均为4，第六组，第七组，第八组的频 率依次构成等差数列。 （I）补充完整频率分布直方图，并估计该校高三年级全体男生身高不低于180cm 的人数； （II ）从最后三组中任取2 名学生参
5、加学校篮球队，求他们来自不同组的事件概率。 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计16 矩形的高和在区间185,190 内的矩形的高，最后补充完整图形；（II）在（ I）的基础上先求样本容 量，再求最后三组人数，最后由古典概型求概率 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计17 9、 【2013-2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考】 （本小题满分12 分）袋中有8个大 小相同的小球，其中1 个黑球， 3 个白球，
6、4 个红球 . （I ）若从袋中一次摸出2 个小球，求恰为异色球的概率； （II ）若从袋中一次摸出3 个小球，且3 个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此 时红球的个数为，求的分布列及数学期望E. 【答案】（） 19 28 P； （）分布列为： 9 5 E 【解析】 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计18 二能力题组 10、 【唐山市2013-2014 学年度高三年级摸底考试】在长度为3 的线段上随机分成两段，则其中一段 的长度大于2 的概率为（）
7、 A 1 2 B 2 3 C 1 4 D 1 3 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计19 11、在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率 为 63 64，则事件 A 恰好发生一次的概率为() A. 1 4 B.3 4 C. 9 64 D. 27 64 答案C 解析设事件 A 在每次试验中发生的概率为x，由题意有1C 3 3(1 x) 363 64，得 x 3 4，则事件 A 恰好发生一次的概率为C1 3 3 4 1 3 4 2 9 64. 12、在日前举行的全
8、国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直 角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是 2 3，沿 y 轴正方向移动的概率为 1 3，则该机器人移动 6 次恰好移动到点(3,3)的概率为 _ 答案 160 729 解析若该机器人移动6 次恰好到点 (3,3)，则机器人在移动过程中沿x 轴正方向移动3 次、沿 y 轴正方向移动3 次，因此机器人移动6 次后恰好位于点(3,3)的概率为 PC 3 6 2 3 3 1 2 3 320 8 729 160 729. 13、已知抛物线yax 2bxc (a0)的对称轴在 y 轴的左侧， 其中
9、 a， b， c 3， 2，1,0,1,2,3 ， 在这些抛物线中，记随机变量X“ |ab|的取值”，则X 的数学期望E(X)为_ 答案 8 9 解析依题意知 b a0.X 可能取的值为 0,1,2. 则 P(X0) 6 2C 1 3C 1 3 1 3， P(X1) 8 2C 1 3C 1 3 4 9， 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计20 P(X2) 4 2C 1 3C 1 3 2 9， E(X)0 1 31 4 92 2 9 8 9. 14、现有4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参
10、加者选择为增加趣味性，约 定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或 2 的人去参 加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏 (1)求这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 解依题意，这4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 1 3，去参加乙游戏的概率为 2 3.设“这 4 个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i0,1,2,3,4)，则 P(Ai)C i 4 1 3 i 2 3 4i. (1)这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率 P(A2) C 2 4 1 3 22 3
11、28 27. (2)设“ 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数” 为事件 B，则 BA3A4.由 于 A3与 A4互斥，故 P(B)P(A3)P(A4) C 3 4 1 3 3 2 3 C 4 4 1 3 41 9. 所以，这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9. 15、(12 分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统 )A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时 刻发生故障的概率分别为 1 10和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49 50，求 p 的值； (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生
12、故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数 学期望 E( ) 规范解答 解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1P( C )1 1 10 p 49 50，解得 p 1 5.4 分 (2)由题意， P( 0)C 0 3 1 10 31 1 000， P( 1)C 1 3 1 10 2 11 10 27 1 000， 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计21 P( 2)C 2 3 1 10 1 1 10 2243 1 000， P( 3)C 3 31 1 10 3 729 1 000.8 分
13、 所以，随机变量 的分布列为 0123 P 1 1 000 27 1 000 243 1 000 729 1 000 故随机变量 的数学期望： E( )0 1 1 000 1 27 1 000 2 243 1 0003 729 1 000 27 10.12 分 评分细则(1)标记事件给1 分，列出式子给1 分； (2) 四个值，每个概率给1 分； (3)只写出分 布列没有四个概率式子的只给2 分 阅卷老师提醒(1)对于事件分类较多的，可利用对立事件求解；(2)求分布列时，一定要根据概 率公式写出各个概率，而不能只写分布列；(3)E( )也可以根据二项分布求解 16、 【福建莆田一中2014 段
14、考 ( 理) 】 （本小题满分13 分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况， 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所 得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图 )，已知从左到右前5 个小组的频率 分别为 0.04， 0.10，0.14，0.28，0.30 ，第 6 小组的频数是7 (I) 求这次铅球测试成绩合格的人数； (II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人 中成绩不合格 的人数，求 X的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在81
15、0 米之间，乙成绩在9.5 10.5 米之间，现甲、乙各投掷一 次，求甲比乙投掷远的概率. 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计22 试中成绩不合格的概率： 147 5025 ， X 7 (2,) 25 B， 利用二项分布可求出 218324 (0)() 25625 P X ， 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计23 事件A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为xy，如图所示： x y 10.5 9.5 8109 AB C
16、D E F 由几何概型 111 1 222 ( ) 1 216 P A . ,（13 分） 考点： 1频率分布直方图；2离散型随机变量的分布列和数学期望；3利用几何概型求概率 三拔高题组 17、 【北京市西城区2013 年高三二模试卷（理科） 】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购 物满 300 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1 个红球， 1 个黄球， 1 个白球和1 个黑球顾客不放回的每次摸出1 个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要 将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10 元，摸到白球或黄球奖励5 元，摸到黑球不奖 励 （）求1 名顾客摸球
17、3 次停止摸奖的概率； （）记X为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮（理数）复习专题7 第 3 讲概率、随机变量及其分布列教师版 二轮专题 6概率与统计24 【答案】 (I) 1 4 ； （） 10 【解析】 试题分析： (I) 类似抽签，概率公式 1 1 A1 () A i n i n P A n ； (II) 求得() i P Xx，写出分布列，求期望. 试题解析：（）解：设“1 名顾客摸球3 次停止摸奖”为事件A，,1 分 则 2 3 3 4 A1 ( ) A4 P A，故 1 名顾客摸球3 次停止摸奖的概率为 1 4 ,4 分 考点： 1. 抽签中奖概率公式;2. 随机变量分布列，期望.