《高三数学：2.3.1《等比数列》练习(新人教B版必修5).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学：2.3.1《等比数列》练习(新人教B版必修5).pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、用心爱心专心 等比数列例题解析 【例 1】已知 Sn是数列 an的前 n 项和，S npn(pR，n N*)，那么数列 an A是等比数列 B当 p0 时是等比数列 C当 p 0，p1 时是等比数列 D不是等比数列 分析由 S npn(nN*) ，有 a1=S1p，并且当 n 2 时， an=S nSn-1p npn-1 (p1)pn-1 故，因此数列成等比数列 a = (p1)pa p0 p10 (p1)p 2n n 1 () () pp p p p n 2 1 2 但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D 说明数列 an成等比数列的必要条件是 an 0(nN*)，还要注 意对任， ，
2、都为同一常数是其定义规定的准确含义n*n2N a a n n 1 【例 2】已知等比数列1，x1，x2， x2n， 2，求 x1x2x3 x2n 解1，x1，x2， x2n，2 成等比数列，公比q 2 1q2n+1 x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n = q 2n(1+2n) 2 q nnn()21 2 【例3】a (1)a= 4a n25 等比数列中，已知，求通项公 1 2 式； (2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值 解 (1)a= a qq = 52 5 2 1 2 用心爱心专心 aa q4()() (2)aaa aaaa = 8 n2 n2n 2n
3、 4 354 2 3454 3 1 2 1 2 a42 又 a aa aa a a a a a = a = 32 26354 234564 5 2 【例 4】已知 a 0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入n 个正数 x1， x2， xn，使得 a， x1，x2， xn， b 成等比数列，求 证x xx ab n n 12 2 证明设这 n2 个数所成数列的公比为q，则 b=aqn+1 q b a x xxaqaqaqaq ab ab n n n n n n 1 12 2 1 2 2 【例5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(d b)2(a d)2 证法 一a、b、
4、c、 d 成等比数列 a b b c c d b2ac，c2 bd，adbc 左边 =b22bcc2c22aca2d2 2bd b2 =2(b2 ac)2(c2bd)(a2 2bcd2) a22add2 (ad)2右边 证毕 证法二a、b、c、 d 成等比数列，设其公比为q，则： baq，caq2，d=aq3 用心爱心专心 左边 (aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2 a22a2q3a2q6 =(aaq3)2 (ad)2=右边 证毕 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了 求证式中右边没有b、 c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、 c的路子证 法二
5、则是把a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素a、q 去解决的证法二稍微麻 烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性 【例 6】求数列的通项公式： (1)an中， a12，an+13an2 (2)an中， a1=2， a25，且 an+23an+1 2an0 思路：转化为等比数列 解 (1)a= 3a2a1= 3(a1) n+1nn+1n an 1是等比数列 an1=33n-1 an=3n1 (2)a3a2a = 0aa= 2(aa ) n+2n+1nn+2n+1n+1n an+1an是等比数列，即 an+1an=(a2 a1)2n-1=3 2n-1 再注意到a2a1
6、=3，a3a2=321，a4a3=322， anan-1=32n-2， 这些等式相加，即可以得到 a= 31222 = 3= 3(21) n 2n-2n 1 21 21 1n 说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现 an1是 等比数列， (2)中发现 an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现 【例7】aaaa(aa )a2a (aa )aaa = 0aaaa 12341 2 2 2 4 2 2 1342 2 3 2 1234 若实数、都不为零，且满足 求证：、成等比数列，且公比为 用心爱心专心 证a1、a2、a3、a4均为不为零的实数 为实系数一元二次方程
7、 等式说明上述方程有实数根 (aa )x2a (aa )xaa =0 (aa )a2a (aa )aaa =0a 1 2 2 22 2132 2 3 2 1 2 2 2 4 2 21342 2 3 2 4 上述方程的判别式0，即 2a (aa )4(aa )(aa ) =4(aa a )0 (aa a )0 213 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 13 2 2 2 13 2 又 a1、a2、a3为实数 必有即 (aa a )0 aa a = 0a = a a 2 2 13 2 2 2 132 2 13 因而 a1、 a2、a3成等比数列 又 a = 2a 4 2( ) () ()a
8、a aa aaa aa a a a 13 1 2 2 2 213 1 2 13 2 1 2 a4即为等比数列a1、a2、a3的公比 【例 8】若 a、b、c 成等差数列，且a1、b、c与 a、b、c2 都成等比数列， 求 b 的值 解设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与 bd、b、 bd 2 都成等比数列，有 b= (bd1)(bd) b= (bd)(bd2) 2 2 整理，得 b= bdbd b= bd2b2d 222 222 b d=2b2d 即 b=3d 代入，得 9d2=(3dd1)(3dd) 9d2=(2d1)4d 解之，得d=4 或 d=0(舍) b
9、=12 【例 9】已知等差数列 an的公差和等比数列 bn的公比都是d，又知d1， 且 a4=b4， a10=b10： 用心爱心专心 (1)求 a1与 d 的值； (2)b16是不是 an中的项？ 思路：运用通项公式列方程 解 (1) a = b a= b 3d = a d a9d = a d a (1d ) =3d a (1d ) =9d 44 1010 11 3 11 9 1 3 1 9 由 a dd2 = 0 63 舍 或 dd add 12 3 1 33 12 22 () (2)b16=b1d15=32b1 且 a = a3d =2 2 = b b= bd =2b =2 2 b = a
10、 =2 41 3 4 41 3 1 3 11 3 b16=32b1=32a1，如果 b16是 an中的第 k 项，则 32a1=a1(k1)d (k1)d=33a1=33d k=34 即 b16是an中的第 34 项 【例10】a b= ( 1 2) bbb = 21 8 b b b = 1 8 nn an 123 123 设是等差数列，已知， ，求等差数列的通项 解设等差数列 an的公差为 d，则 an=a1(n1)d b= ( 1 2) b b = ( 1 2 )( 1 2) = ( 1 2 )b n a 13 aa +2d2(a +d) 2 2 1 111 ()nd1 用心爱心专心 由，
11、解得，解得，代入已知条件 整理得 b b b = 1 8 b = 1 8 b = 1 2 b b b = 1 8 b b = 1 4 bb = 17 8 1232 3 2 12313 13 bbb 123 21 8 解这个方程组，得 b = 2b = 1 8 b = 1 8 b= 2 1313 ，或， a1=1，d=2 或 a1=3，d=2 当 a1=1，d=2 时， an=a1(n1)d=2n3 当 a1=3， d=2 时， an=a1(n1)d=52n 【例 11】三个数成等比数列，若第二个数加4 就成等差数列，再把这个等差 数列的第3 项加 32 又成等比数列，求这三个数 解法一按等比数
12、列设三个数，设原数列为a， aq，aq2 由已知： a，aq4，aq2成等差数列 即： 2(aq4)=aaq2 a，aq4，aq232 成等比数列 即： (aq 4)2=a(aq2 32) aq2 = 4a ，两式联立解得：或 这三数为：， ，或， a = 2 q = 3 a = 2 9 q =5 2618 2 9 10 9 50 9 解法二按等差数列设三个数，设原数列为b d，b4，b d 由已知：三个数成等比数列 即： (b4)2=(bd)(bd) 8bd= 16 2 bd，b，bd32 成等比数列 用心爱心专心 即 b2=(bd)(bd32) 32bd32d = 0 2 、两式联立，解得
13、：或 三数为，或 ， ， b = 26 9 d = 8 3 b = 10 d = 8 2618 2 9 10 9 50 9 解法三任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3 由已知： a1， a2，a3成等比数列 得：a = a a 2 2 13 a1，a24，a3成等差数列 得： 2(a24)=a1a3 a1，a24，a332 成等比数列 得： (a2 4)2=a1(a332) 、式联立，解得：或 a = 2 9 a= 10 9 a= 50 9 a = 2 a= 6 a = 18 1 2 3 1 2 3 说明将三个成等差数列的数设为ad， a，ad；将三个成 等比数列的数设为，或， ，是一
14、种常用技巧，可起到aaqaq (aaq) 2 a q 简化计算过程的作用 【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且 第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数 分析本题有三种设未知数的方法 方法一设前三个数为ad，a， ad，则第四个数由已知条 用心爱心专心 件可推得： ()ad a 2 方法二设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2bbq 方法三设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12y， 16x 由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的 四个数， 解法一adaad设前
15、三个数为 ， ， ，则第四个数为 ()ad a 2 依题意，有 ad= 16 a(ad) =12 ()ad a 2 解方程组得：或 a = 4 d = 4 a = 9 d =6 1 1 2 2 所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3， 1 解法二设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq 依题意有： 2bbqbq= 16 bbq = 12 2 解方程组得：或 b = 4 q = 2 b = 9 q = 1 3 1 1 2 2 所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3， 1 解法三设四个数依次为x，y，12y，16x 依题意有 x(12y) = 2y y(16x)
16、= (12y) 2 解方程组得：或 x = 0 y = 4 x=15 y= 9 1 1 2 2 这四个数为0，4，8，16 或 15，9，3， 1 【例 13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把 两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84求这两个数列 解设成等差数列的三个数为b d，b，bd，由已知， bdb bd=126 b=42 这三个数可写成42d，42，42d 再设另三个数为a，aq，aq2由题设，得 用心爱心专心 a42d = 85 ap42 = 76 aq42d = 84 2 整理，得 ad = 43 aq = 34 aqd = 42 2 解这个方
17、程组，得 a1=17 或 a2=68 当 a=17 时， q=2，d=26 当时，a = 68q = 1 2 d = 25 从而得到： 成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42， 16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67 【例 14】已知在数列 an中， a1、a2、a3成等差数列， a2、a3、a4成等比数 列， a3、 a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、 a5成等比数列 证明由已知，有 2a2=a1a3 a = aa 3 2 24 211 435 aaa 由，得 由，得代入，得 a = 2aa a + a a
18、= a +a 2 a = a + a 2 4 35 35 2 13 3 213 2 35 35 aa aa 整理，得 a = a (a + a ) a + a 3 512 35 即a3(a3a5)=a5(a1 a3) aa a = a aa a a= aa 3 2 351535 3 2 15 所以 a1、 a3、a5成等比数列 用心爱心专心 【例 15】已知 (bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0 (1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y， z成等比数列 (2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证： a，b，c 成等差数列 证明(1) a，b，c 成等差数列，且公差d0 b c=ab=d，ca=2d 代入已知条件，得：d(logmx2logmy logmz)=0 logmxlogmz=2logmy y2=xz x， y，z 均为正数 x， y，z 成等比数列 (2)x，y，z 成等比数列且公比q1 y=xq，z=xq2代入已知条件得： (bc)logmx (c a)logmxq(ab)logmxq2=0 变形、整理得：(ca2b)logmq=0 q 1 logmq 0 c a2b=0 即 2b=a c 即 a，b，c 成等差数列