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1、用心爱心专心- 1 - 1.1.3 正弦定理、余弦定理的应用 教学目的： 1 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点 : 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 教学方法：启发引导式 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型 与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的 余弦值互为相反数等； 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者
2、三角形形状的判断，重在发挥正、 余弦定理的边角 互换作用 教学过程：一、复习引入： 正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：,cos2 222 Abccba bc acb A 2 cos 222 ,cos2 222 Bcaacb ca bac B 2 cos 222 Cabbaccos2 222 ， ab cba C 2 cos 222 二、讲解范例：例1 在任一 ABC中求证： 0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa 证：左边 =)sin(sinsin2)sin(sinsin2)sin(sinsin2BACRACBRCBAR =s
3、insinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin2BCACABCBCABAR=0=右边 例 2 在 ABC中，已知3a，2b， B=45求 A、C及c 解一：由正弦定理得： 2 3 2 45sin3sin sin b Ba A B=45 90即ba A=60 或 120 当 A=60 时 C=75 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb c 用心爱心专心- 2 - 当 A=120 时 C=15 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb c 解二：设c=x 由余弦定理Baccabcos2 222 将已知条件代入，整理：016 2 x
4、x 解之： 2 26 x当 2 26 c时 2 ) 13(2 31 2 26 22 3) 2 26 (2 2 cos 2 222 bc acb A 从而 A=60，C=75当 2 26 c时同理可求得：A=120，C=15 例 3 在 ABC中， BC=a, AC=b, a, b是方程0232 2 xx的两个根，且 2cos(A+B)=1 求（ 1）角 C的度数（2）AB的长度（3） ABC的面积 解： （1）cosC=cos(A+B)=cos(A+B)= 2 1 C=120 （2）由题设： 2 32 ba ba AB 2=AC2+BC2 2AC ?BC?osC120cos2 22 abba
5、abba 22 102)32()( 22 abba即 AB=10 （3）SABC= 2 3 2 3 2 2 1 120sin 2 1 sin 2 1 abCab 例 4 如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求 BC 的长 解：在 ABD中，设 BD=x 则BDAADBDADBDBAcos2 222 即 60cos1021014 222 xx 整理得：09610 2 xx解之：16 1 x6 2 x（舍去） 用心爱心专心- 3 - 由余弦定理： BCD BD CDB BC sinsin 2830sin 135sin 16 BC
6、 例 5 ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1 求最大角 ; 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4 的平行四边形的最大面积 解： 1 设三边1, 1kckbka Nk且1k C为钝角0 ) 1(2 4 2 cos 222 k k ac cba C解得41k Nk2k或 3 但2k时不能构成三角形应舍去 当3k时 109, 4 1 cos,4,3,2CCcba 2 设夹 C角的两边为yx,4yx S)4( 4 15 4 15 )4(sin 2 xxxxCxy当 2x时 S最大=15 例 6 在ABC中，AB5，AC3，D为 BC中点，且AD4，求 BC边长 分析：此题所给题设条
7、件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程而正弦 定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中 点，所以BD、DC可表示为 2 x ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 解：设BC边为，则由D为BC中点，可得BDDC 2 x ， 在ADB中， cosADB, 2 42 5) 2 (4 2 222 222 x x BDAD ABBDAD 在ADC中， cosADC . 2 42 3) 2 (4 2 222 222 x x DCAD ACDCAD 又ADBADC180 cosADBcos（180ADC） cosADC 2 42 3) 2 (4
8、 2 42 5) 2 (4 222222 x x x x 解得，2, 所以，BC边长为 2 评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数 这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型 用心爱心专心- 4 - 另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下： 由三角形内角平分线性质可得 3 5 DC BD AC AB ， 设BD5，DC 3， 则由互补角ADC、 ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方 关系求出sinA 三、课堂练习： 1 半径为 1 的圆内接三角形的面积为025，求此三角形三边
9、长的乘积 解：设ABC三边为a，b，c则ABCBacsin 2 1 b B abc Bac abc S ABC 2 sin 2 sin 又R B b 2 sin ，其中R为三角形外接圆半径 Rabc S ABC 4 1 , abc4RSABC41025 1 所以三角形三边长的乘积为1 评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin ，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式 ABC Bacsin 2 1 发生联系，对abc进行整体求解 2 在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求 AB 解：在
10、ADC中， cosC, 14 11 372 537 2 222222 DCAC ADDCAC 又 0C 180， sinC 14 35 在ABC中， C AB B AC sinsin AB. 2 65 72 14 35 sin sin AC B C 评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦 定理的综合运用 3 在ABC中，已知cosA 5 3 ， sinB 13 5 ，求 cosC的值 解： cosA 5 3 2 2 cos45， 0A45A90, sinA 5 4 用心爱心专心- 5 - sinB 13 5 2 1 sin30 ， 0B0B30或 15
11、0B180 若B150，则BA180与题意不符0B30 cosB 13 12 cos（AB） cosAcosBsinAsinB 65 16 13 5 5 4 13 12 5 3 又C 180（AB） cosCcos180（AB） cos（AB） 65 16 评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体 确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的 三角函数值进行比较 四、小结通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用 了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不
12、断提高三角形问题的求解能力 五、课后作业： 课后记： 1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定 理代入得： sin 2A sin 2B sin 2C 2sinBsinCcosA 这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例: 例 1在ABC中，已知sin 2B sin 2C sin 2A 3sinAsinC，求B的度数 解：由定理得sin 2B sin 2A sin 2C 2sinAsinCcosB， 2sinAsinCcosB 3sinAsinC sinAsinC0 cos 2 3 B150 例 2求 sin 210 cos240 si
13、n10 cos40的值 解：原式 sin 210 sin250 sin10 sin50 在 sin 2A sin 2B sin 2C 2sinBsinCcosA，令B10，C50，则A120 sin 2120 sin210 sin250 2sin10 sin50 cos120 sin 210 sin250 sin10 sin50 （ 2 3 ） 2 4 3 例 3在ABC中，已知2cosBsinC sinA，试判定ABC的形状 解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinCsin 2A ，由定理得 sin 2A sin 2C sin 2 sin 2A ，sin 2C sin 2B
14、 BC故ABC是等腰三角形 2 一题多证:例 4在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形 证法一：欲证ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使 只剩含角的三角函数由正弦定理得a B Ab sin sin 2bcosC B Ab sin sin ，即 2cosCsinB sinAsin （BC） sinBcosCcosBsinC sinBcosC cosBsinC0 即 sin （BC） 0，BC（） 用心爱心专心- 6 - B、C是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形 证法二：根据射影定理，有abcosC ccosB， 又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即. cos cos C B c b 又. sin sin C B c b , cos cos sin sin C B C B 即 tanBtanC B、C在ABC中，BCABC为等腰三角形 证法三： cosC , 2 cos 2 222 b a C ba cba 及 , 22 222 b a ab cba 化简后得b 2 c 2 bcABC是等腰三角形