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1、- 1 - 2.2.1 正、余弦定理的应用举例（1） 知识梳理 一、解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立 一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方 位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 三解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再
2、用数学语言（符 号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解 决. 典例剖析 题型一距离问题 例 1. 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行， 当甲船位于 1 A处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 1 B处，此时两船相距20海里，当甲 船航行20分钟到达 2 A处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 2 B处， 此时两船相距10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连结 11 AB，由已知 22 10 2A B， 12 20 30 2102 60 A A， 1222 A AA B，又 122 18
3、012060A A B ， 122 A A B是等边三角形， 1212 10 2ABA A，由已知， 11 20AB， 112 1056045B A B ， 在 121 A B B中，由余弦定理， 222 1211121112 2cos45B BABABABAB 222 20(10 2)220 102 2 200 12 10 2B B 因此，乙船的速度的大小为 10 2 60302 20 （海里 / 小时） 答：乙船每小时航行30 2海 里 题型二高度问题 北 1 B 2 B 1 A 2 A 1 2 0 105 甲 乙 - 2 - 例 2、在某点B处测得建筑物AE的顶端 A的仰角为，沿 BE方
4、向前进30m ，至点 C处测得顶 端 A的仰角为2，再继续前进103m至 D点，测得顶端A的仰角为 4，求的大小和建筑 物 AE的高。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=103，ADC =180-4， 2sin 310 = )4180sin( 30 。 sin4=2sin2cos2 cos2= 2 3 , 得 2=30=15，在 RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(103+ x) 2 + h 2 =30 2 在 RtADE中,x 2
5、+h 2 =(103) 2 两式相减，得x=53,h=15 在 RtACE中,tan2= x h 310 = 3 3 2=30 ,=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得 BAC= ，CAD=2 ， AC = BC =30m , AD = CD =103m 在 RtACE中， sin2= 30 x - 在 RtADE中， sin4= 10 3 x , - 得 cos2= 2 3 ,2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图
6、形中体现出来。 备选题角度问题 例 3如图 1-3-2 ，某渔轮在航行中不幸遇险，发 出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该 渔轮在方位角为45，距离为10n mile的C处， 并 测 得 渔 轮 正 沿 方 位 角 为105的 方 向 ， 以 - 3 - 9/n mileh的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mileh的速度前去营救. 求舰艇的航 向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min）. 解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则21ABx，9BCx，又10AC， 45180105120ACB. 由余弦定理，得 222 2cosABACBCAC BCACB
7、， 即 22 2 211092 109 cos120xxx. 化简，得 2 369100xx， 解得 2 40 min 3 xh（负值舍去）. 由正弦定理，得 sin9 sin1203 3 sin 2114 BCACBx BAC ABx ， 所以21.8BAC，方位角为4521.866.8. 答舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min就可靠近渔轮. 评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际， 找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。 点击双基 一. 选择题： 1在ABC中，下列各式正确的是（） A. a b sinB sinA B.asin
8、CcsinB C.asin(AB) csinA D.c 2a2 b 22abcos( AB) 解：根据正弦定理得 C c A a sinsin , 又sinC=sin(A+B), asin(AB) csinA 答案： C 2海上有A、B两个小岛相距10 nmile ，从A岛望B岛和C岛成 60的视角，从B岛望A岛 和C岛成 75角的视角，则B、C间的距离是（） A.52 nmile B.103 nmile C. 10 36 nmile D.56 nmile 解：根据题意知：AB=10，A=60,B=75则 C=45 , C c A a sinsin a= C Ac sin sin = 45si
9、n 60sin10 =56 答案： D 3在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（） A. 3 400 B. 3 3400 米C. 2003米 D. 200米 解：如图，设塔高AB为h， 图 1-3-2 A - 4 - RtCDB中，CD200，BCD90 - 6030 2 0 04 0 03 c o s 3 03 BC 在ABC中，ABCBCD30，ACB60 - 3030 BAC120 30sin120sin ABBC 3 400 2 3 2 1 3 3 400 2 3 30sinBC AB （ m ） 答案： A 4某人以时速akm向东行走， 此时
10、正刮着时速akm的南风， 那么此人感到的风向为， 风速为 . 答案：东南2 a 5某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行30 nmile后看见 灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 . 解： 103 课后作业 1已知三角形的三边长分别为a、b、a 2 abb 2 ，则这个三角形的最大角是（） A.135 B.120 C.60D.90 解：根据三角形中大边对大角，可知a 2 abb 2 所对的角为最大角，设为，则 cos= ab bababa 2 )( 2222 =- 2 1 , 120 答案： B 2如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据 A
11、.、a、bB.、a C.a、b、 D.、 、 解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、，利用余弦定理 可求AB的长度。 答案： C 3.海上有 A、B、C三个小岛，已知A、 B之间相距8 n mile， A、C之间相距5 nmile ，在 A 岛测得 B岛和 C岛的视角为60，则 B岛与 C岛相距的n mile数为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 - 5 - 解：根据题意知：AB=8 ，AC=5,A=60,根据余弦定理有BC 2 =8 2 1 5825 22 =49， BC=7 答案： A 4在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A 的仰角为
12、2，再继续前进10 3m至 D点，测得顶端A的仰角为4，则等于 ( ) A15B10 C5D20 解：如图，BCCA，CDDA， 设AEh，则 310 4sin 30 2sin h h 2cos23，cos2 2 3 230，15 答案： A 5.某人朝正东方向走x km 后，向左转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点正好 是3km ，那么 x 的值为 ( ) A. 3 B.23 C.23或3 D.3 解：如图，设出发点为A，则由已知可得 ABx千米，BC3 千米 ABC180 - 15030 AC 3，CAB BCAC sin30sin ， 2 3 sin, sin 3 2 1 3
13、 CAB CAB ， CAB60或CAB120 当CAB60时，ACB180 - 30 -6090 - 6 - x2 3千米 当CAB120，ACB180 - 120 -3030 xAC 3千米 答案： C 6.已知一塔高80m ，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60和 30， 则山高为 ( ) A.240m B.180m C.140m D.120m 解： D 7. 如图 , 建造一幢宽为l 2, 房顶横截面为等腰三角形的住 房, 则 ABC= , 则等于 ( )时, 可使雨水从房顶最快 流下 . A.30 0 B.450 C.600 D. 任意角 解：根据题意知s=AB= cos
14、l ，加速度a=gsin. 由 s= 2 2 1 at得 t 2 = 2sin 4 cossin 22 g l g l a s , =45 时 t 最小 答案： B 8. 一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120 的方向航行 , 已知河水流速为2km/h, 则经过 h3, 该船的实际航程为 ( ) A. 2 5km B.6km C. 2 21km D.8km 解：船的实际速度是v= 2 1 42224 22 =23, 则经过 3h , 该船的实际航程为 233=6 答案： B 二填空题 9一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一 只小虫，这时
15、它向右转135爬行回它的出发点，那么x_ 解：如图， ABC180 - 10575 BCA180 - 13545， BC10 cm A180 - 75- 4560 A B C 2l 第 8 题 - 7 - 60sin 10 45sin x2 10 106 2 33 2 x x 10坡度为45的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长_ 解：如图，DB100 m BDA45，BCA30 设CDx (xDA) tan30DAtan45 又DABDcos45100 250 2 2 x 30tan DA -DA 250 3 3 250 50 2(3-1) 50( 26 )(m) 答案：
16、50( 26 ) m 11如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在 同一水平面内的两个测点C与D测得 BCD 15， BDC 30， CD 30 米，并在点C测得塔顶A的 仰角为 60 , 则 BC= 米, 塔高 AB= 米。 解：在BCD，1801530135CBD， sinsin BCCD BDCCBD 30 sinsin3015 2 sinsin135 CD BCBDC CBD 在ABC中，tan AB ACB BC tan15 2315 6ABBCACB 答案：15 2，15 6 三解答题 12. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 北 20 10 A B ? ?
17、C - 8 - 海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角 度精确到1 ）？ 解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+10222010 cos120=700. 于是 ,BC=107。 sinsin120 20 10 7 ACB ， sin ACB= 7 3 ， ACB90 ， ACB=41 。 乙船应朝北偏东41方向沿直线前往B处救援。 13如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东 3 的C处，12时20分 测得轮船在海岛北偏西 3 的B处
18、，12时40分轮船到达海岛正西方5km的E港口 . 如果轮船 始终匀速前进，求船速. 解：设ABE，船的速度为/km h，则 4 3 BC， 1 3 BE. 在ABE中， 1 5 3 sinsin30 ， 15 sin 2 . 在ABC中， 4 3 sin120 sin 180 AC ， 4415 sin 20 332 333 22 AC. 在ACE中， 22 52020 252 5cos150 3 33 ， 225400775 25100 933 ， 2 93， 船的速度93/km h. 14. 如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测 量船
19、于水面A处测得 B点和 D点的仰角分别为 0 75， 0 30，于水面 C处测得 B点和 D点的仰角 均为 0 60，AC 0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D 的距离 （计算结果精确到0.01km，21.414 ，62.449 ）解：在ACD中，DAC 30， ADC 60DAC30， （例 3） - 9 - 所以 CD AC 0.1 又BCD180 60 60 60， 故 CB是CAD底边 AD的中垂线，所以BD BA 5分 在ABC中， ABC AC BCA AB sinsin ， 即 AB 20 623 51sin 60sinAC 因此，km33.0 20 623 BD 故 B、D的距离约为0.33km。