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1、用心爱心专心- 1 - 2.3.4 解三角形应用举例 (第四课时 ) 教学目标： (a) 知识和技能： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问 题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 (b) 过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出 该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知 识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定 理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维， 有利地进一步突破难点，。 (c) 情感与价值：让学生
2、进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进 一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 学法：正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技 巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目 还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。 直角板、投影仪 教学设想：设置情境：师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它 的另一个表达公式。在ABC中，边 BC 、
3、CA 、AB上的高分别记为h a 、 hb、h c ，那么它们如 何用已知边和角表示？ 生： h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S= 2 1 ah, 应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可 以推导出下面的三角形面积公式，S= 2 1 absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？生： 同理可得， S= 2 1 bcsinA, S= 2 1 acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的 面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们
4、夹角的正弦即可求解 1、 新课讲授 例 1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到 0.1cm 2 ） （1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知 B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系， 我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求 出三角形的面积。 解： （ 1）应用 S= 2 1 acsinB ，得 S= 2 1 14.823.5sin148.
5、5 90.9(cm 2 ) 用心爱心专心- 2 - (2) 根据正弦定理， B b sin = C c sin c = B Cb sin sin S = 2 1 bcsinA = 2 1 b 2 B AC sin sinsin A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 2 1 3.16 2 7.62sin 5 .51sin8.65sin 4.0(cm 2 ) (3) 根据余弦定理的推论，得cosB = ca bac 2 222 = 4.417.382 3.274.417.38 222 0.7697 sinB = B 2 cos1 2 7697.010
6、.6384 应用 S= 2 1 acsinB ，得 S 2 1 41.438.70.6384 511.4(cm 2 ) 例 2、如图 , 在某市进行城市环境建设中, 要把一个三角形的区域改造成室内公园, 经过测量得 到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到 0.1cm 2 ）？（你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？） 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学生 解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， cosB= ca bac 2 222 =
7、 681272 8868127 222 0.7532 sinB= 2 7532.010.6578 应用 S= 2 1 acsinB S 2 1 681270.6578 2840.38(m 2 ) 答：这个区域的面积是2840.38m 2 。 例 3、在ABC中，求证： （1）; sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba （ 2） 2 a+ 2 b+ 2 c=2（bccosA+cacosB+abcosC ） 分析： 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想 到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 A a sin = B b sin
8、= C c sin = k 显然 k0，所以左边 = Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin = C BA 2 22 sin sinsin =右边 （2）根据余弦定理的推论， 用心爱心专心- 3 - 右边 =2(bc bc acb 2 222 +ca ca bac 2 222 +ab ab cba 2 222 ) =(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 )=a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习1：已知在ABC中，B=30 ,b=6,c=63, 求 a 及ABC的面积 S 提示：解有关已知两边
9、和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案： a=6,S=93;a=12,S=183 变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状， （1）acosA = bcosB （2）sinC = BA BA coscos sinsin 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （1）师：大家尝试分别用两个定理进行证明。 生 1： （余弦定理）得a bc acb 2 222 =b ca bac 2 222 c 44222 )(baba=)( 2222 baba 22222 bacba或 根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形 生 2： （正弦定理）得sinAcosA=sinBco
10、sB, sin2A=sin2B, 2A=2B, A=B 根据边的关系易得是等腰三角形 师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考， 谁的正确呢？ 生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与 2B两个角互补，即2A+2B=180 ，A+B=90 (2) （解略）直角三角形 2、 归纳总结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简 并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦 定理甚至可以两者混用。 作 业 ： 1 、 如 图 ， 在
11、四 边 形ABCD 中 ， ADB=BCD=75 ，ACB=BDC=45， DC=3， 求：(1)AB 的长；(2) 四边形 ABCD 的面积。 略解： （1）因为BCD=75，ACB=45， 所以ACD=30， 用心爱心专心- 4 - 又因为BDC=45，所以DAC=180- （75+ 45+ 30）=30， 所以 AD=DC=3。 在BCD中，CBD=180- （75+ 45）=60， 所以 75sin BD = 60sin DC ，BD = 60sin 75sin3 = 2 26 在ABD中， AB2=AD 2 + BD 2 -2AD BD cos75= 5, 所以得 AB=5 （1）S ABD = 2 1 AD BD sin75= 4 323 同理， S BCD = 4 33 所以四边形ABCD 的面积 S= 4 336