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1、1 圆锥曲线知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 21,F F的距离的和等于常数 （大 于| 21F F）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： |2 21FFa 表示椭圆；|2 21F Fa表示线段 21F F； |2 21F Fa 没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在 y轴上 标准方 程 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 顶点 ),0(),0( )0,(),0,( 21 21 bBbB aAaA ),0(),
2、0( )0,(),0,( 21 21 aBaB bAbA 对称轴x轴， y轴；短轴为b2，长轴为a2 焦点 )0 ,(),0 ,( 21 cFcF),0(),0( 21 cFcF 焦距)0(2| 21 ccFF 222 bac 离心率 )10(e a c e（离心率越大，椭圆越扁） 通径 2 2b a （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 3常用结论：（ 1）椭圆 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 21,F F，过 1 F 的直线 交椭圆于BA,两点，则 2 ABF 的周长 = x O F1 F2 P y A2 B2 B1 x O F1 F2 P y A2
3、 A1 B1 B2 A1 2 （2）设椭圆 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左、右两个焦点为 21,F F，过 1 F 且垂直于 对 称 轴 的 直 线 交 椭 圆 于QP,两 点 ， 则QP,的 坐 标 分 别 是 | PQ 二、双曲线： （1） 双曲线的定义：平面内与两个定点 21,F F的距离的差的绝对值等于常数 （小 于| 21F F）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：aPFPF2| 21 与aPFPF2| 12 （|2 21F Fa）表示双曲线的一 支。 |2 21F Fa表示两条射线；|2 21F Fa没有轨迹； （2）双
4、曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在 y轴上 标准方 程 )0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 顶点 )0,(),0,( 21 aAaA),0(),0( 21 aBaB 对称轴x轴， y轴；虚轴为b2，实轴为a2 焦点 )0,(),0,( 21cFcF),0(),0( 21cFcF 焦距)0(2| 21 ccFF 222 bac 离心率 ) 1(e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b yx b a y x O F1 P B2 B1 F2 x O F1 F2
5、 P y A2 A1 y 3 通径 2 2b a （3）双曲线的渐近线： 求双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得 0 2 2 2 2 b y a x ，因式分 解得到 0 xy ab 。 与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线的双曲线系方程是 2 2 2 2 b y a x ； （4）等轴双曲线为 222 tyx，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线 )0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 21,F F，过 1 F 的 直线交双曲线的同一支于BA,两点，则 2 ABF 的周长 = （2）设双曲线 )0
6、,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 左、右两个焦点为 21,F F，过 1 F 且垂 直于 对称 轴的 直线交双曲 线于QP,两点，则QP,的坐标分别是 | PQ 三、抛物线： （1）抛物线的定义： 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的 轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p 焦点在 x轴上， 开口向右 焦点在 x 轴上， 开口向左 焦点在y轴上， 开口向上 焦点在y轴上， 开口向下 标准方 程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 4 图形 顶点 )0,0(O 对称轴x轴 y轴 焦点 )0,
7、 2 ( p F)0, 2 ( p F ) 2 , 0( p F) 2 ,0( p F 离心率1e 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 通径 p2 焦半径 2 | 0 p xPF 2 | 0 p yPF 焦点弦 焦准距 p 四、弦长公式： | 14)(1|1| 2 21 2 21 2 21 2 A kxxxxkxxkAB 其中,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程, 消去 y 后所得关于 x 的一 元二次方程 的判别式和 2 x的系数 求弦长步骤：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程， 消去 y, 得关于 x 的一元二次方程, 0 2 CBxAx设),( 11
8、 yxA，),( 22 yxB，由 韦达定理求出 A B xx 21 ， A C xx 21 ；（3）代入弦长公式计算。 法 （ 二 ） 若 是 联 立 两 方 程 ， 消 去 x, 得 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 ,0 2 CByAy则相应的弦长公式是： | ) 1 (14)() 1 (1|) 1 (1| 2 21 2 21 2 21 2 Ak yyyy k yy k AB O F P y l x O F P y l x O F P y l x x O F P y l 5 注意（ 1）上面用到了关系式 | 4)(| 21 2 2121 A xxxxxx和 | 4)( 21 2 2
9、121 A yyyyyy 注意（ 2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高 （点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线 段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法（一）：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消 去 y, 得关于 x 的一元二次方程, 0 2 CBxAx设),( 11 yxA，),( 22 yxB，由韦 达 定 理 求 出 A B xx 21 ； （ 3） 设 中 点),( 00 yxM， 由 中 点 坐 标 公 式 得 2 21 0 xx x；再把 0 xx代入直线方程求出 0 yy。 法（二）：用点差法，设),( 11 yxA，),( 22 yxB，中点),( 00 yxM，由点在 曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5 个方程，通过相 减，代入等变形，求出 00, y x。 六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式 法二、建立 a,b,c满足的关系，消去b, 再化为关于 e 的方程，最后解方 程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0e1，而双曲线 离心率取值 范围是 e1)