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1、试卷第 1 页，总 4 页 高中数学不等式解答题专项精炼 1在矩形ABCD中， |AB|=2 3 ，|AD|=2 ，E、F、G 、 H 分别为矩形四条边的中点，以 HF、GE所在直线分别为x，y 轴建立直角坐标系( 如图所示 ) 若 R、R分别在线段0F、 CF上，且 1 ORCR nOFCF . ( ) 求证：直线ER与 GR 的交点P在椭圆： 3 2 x + 2 y =1 上； ( ) 若 M 、N为椭圆上的两点，且直线GM 与直线 GN的斜率之积为3 2 ，求证：直线 MN 过定点；并求GMN 面积的最大值. 2若 a，b，cR +，且 a+b+c=1，求 cba的最大值 3已知 a，b
2、，c 是全不相等的正实数，求证 3 c cba b bca a acb 4设0,0,1abab求证： 111 8 abab 5在数列 n a中， 4 1 ,1 21 aa，且)2(, )1( 1 n an an a n n n . ( ) 求 43,a a，猜想 n a的表达式，并加以证明； ( ) 设 1 1 nn nn n aa aa b，求证：对任意的 自然数 * Nn都 有 3 21 n bbb n . 6 （本小题满分15 分 已知, a bR, 2 ( )f xxabx （ 1）当1b时 1解关于 x 的不等式 2 ( )6f xa 2当 1,3x时，不等式( )40f x恒成立，
3、求a 的取值范围 试卷第 2 页，总 4 页 （ 2）证明不等式 22 ()()0f af b 7若关于x的方程 2 430xxa有实根 ( ) 求实数a的取值集合 A ( ) 若对于aA，不等式 2 2120tat恒成立，求t的取值范围 8设( )ln1f xxx，证明： () 当 x 1 时，( )f x 3 2 （1x） ； () 当13x时， 9(1) ( ) 5 x f x x 。 9 （本题满分14 分）已知函数 x x a xf 2 2)(（Ra） ，将)(xfy的图象向右平移 两个单位，得到函数)(xgy的图象，函数)(xhy与函数)(xgy的图象关于直线 1y 对称 . （
4、1）求函数)(xgy和)(xhy的解析式； （ 2）若方程axf)(在 1 ,0x上有且仅有一个实根，求a的取值范围； （ 3） 设)()()(xhxfxF， 已知axF32)(对任意的），（1x恒成立， 求a的 取值范围 . 10函数 f(x)对一切实数x,y均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0. （ 1）求 f(0); (2)求 f(x); (3)不等式 f(x)ax-5 当 0x2 时恒成立，求a 的取值范围 . 11设a是实数，函数|2|4)(axf xx （Rx） （ 1）求证：函数)(xf不是奇函数； （ 2）当0a时，求满足 2 )(axf的x的
5、取值范围； （ 3）求函数)(xfy的值域（用a表示） 12已知, ,x y zR ，3xyz. （ 1）求 111 xyz 的最小值； （ 2）证明： 222 39xyz. 试卷第 3 页，总 4 页 13已知Rzyx, ，且1zyx (1) 求证：27 111 222 zyx ； (2) 若 333222 )(zyxzyx恒成立，求实数的最大值 14 （本 小题满分 14 分） 已知 .3),3( ,30 , 1 3 )( 2 xf x x x xf （ 1）求函数)(xf的单调区间； （ 2）若关于x的方程0)(axf恰有一个实数解，求实数a 的取值范围； （ 3）已知数列 123200
6、9 2009 :03, 3 nn aanNaaaa满足且，若不等 式),()ln()()()()( 2009321 pxpxxafafafaf在时恒成立，求 实数 p 的最小值。 15已知( )2()f xxaa aR ，不等式( )2f x的解集为|13xx. （ 1）求a的值； （ 2）若|( )(2)|f xf xm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围 . 16函数)(xfy的定义域为R，若存在常数0M，使得xMxf)(对一切实数 x均成立，则称)(xf为“圆锥托底型”函数 （ 1）判断函数xxf2)(， 3 ( )g xx是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由 （ 2）若1)( 2 x
7、xf是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值 （ 3）问实数k、b满足什么条件，bkxxf)(是“圆锥托底型”函数 17已知 f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式 f(x)的解集为M. (1).求 M; (2).当 a,bM时, 证明 :2|a+b|4+ab|. 18设函数 f(x)=x n+bx+c(n N +,b,c R). (1) 设 n2,b=1,c=-1,证明 :f(x)在区间 ( 1 2 ,1) 内存在唯一零点; (2) 设 n 为偶数 ,|f(-1)|1,|f(1)|1, 求 b+3c 的最小值和最大值; (3) 设 n=2, 若对任意x1,x2-1,1,有|f(x 1)-f(x
8、2)| 4, 求 b 的取值范围 . 19已知函数f(x) 2 1 442. xxa xaxxa xa ， ， 试卷第 4 页，总 4 页 (1) 若 x1，证明对任意的c，都有 M2； （）若MK 对任意的 b、c 恒成立，试求k 的最大值。 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 1 页，总 5 页 参考答案 1( )详见解析；()直线 MN过定点 (0,-3),GMN 面积的最大值 2 3 3 . 23 3利用均值不等式 2，2，2 bacacb abacbc 来分析证明即可。 4可以运用多种方法。 5( ) 34 11 , 710 aa， * 1 ,
9、32 n anN n ( ) 1 ( 3132) 3 n bnn 所以 123 1 (41)(74)(3132) 3 n bbbbnn 1 (311) 3 n所以只需要证明 3 113 3 1n n1313nn nnnn320132313（显然成立），所以命题得证 61当0a时,3xa或2xa; 2当0a时,2xa或3xa. 4a 7( ) 17Aaa； ( ) (737,737)。 8见解析 9解：（1） 2 2 2 22 x x a xfxg， 1 分 设xhy的图像上一点yxP,，点yxP,关于1y的对称点为yxQ2,， 2 分 由点Q在xgy的图像上，所以y a x x 2 2 2 2
10、 2 ， 于是 2 2 2 22 x x a y即 2 2 2 22 x x a xh. 4 分 （2）设 x t2，1 ,0x，2, 1t a a x x 2 2得a t a t，即0 2 aatt在2, 1t上有且仅有一个实根 5 分 设aatttk 2 )(，对称轴 2 a t 0)2()1(kk 6 分或 2 2 1 0 a 7 分 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 5 页 由得0)34)(21aa（，即0)43)(12aa（， 3 4 2 1 a 8 分 由得 42 04 2 a aa 无解 3 4 2 1 a 9 分 （3）2 2
11、 3 2 4 3 )()()( x x a xhxfxF 由axF32)(，化简得a a x x 2 2 4 1 ，设 x t2，),2(t 即044 2 aatt对任意),2(t恒成立 . 10 分 解法一：设aatttm44)( 2 ，对称轴at2 则01616 2 aa 11 分或 0)2( 22 01616 2 m a aa 12 分 由得10a， 由得 1 1 10 a a aa或 ，即0a或1a 综上，1a. 14 分 解法二：注意到11t，分离参数得 )1(4 2 t t a对任意),2(t恒成立 11 分 设 )1( )( 2 t t tm，),2(t，即 min )( 4 1
12、 tma 2 1 1 ) 1( )1( )( 2 t t t t tm 12 分 可证)(tm在),2(上单调递增 13 分 4)2()(mtm 14 4 1 a 14 分 10 （1）-2(2) f(x)=x 2+x-2(3) a 1+2 3 11 （1）证明见解析； （2）),)1(log2a ； （3）当0a时，函数)(xfy的值域 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 3 页，总 5 页 是),( a； 当 2 1 0a时，函数)(xfy的值域是), 2 a；当 2 1 a时，函数)(xfy的值域是 , 4 1 a 12 （1）最小值为3； （2）证
13、明过程详见解析. 13 （ 1） 根 据 不 等 式 的 性 质 可 知 3 1 031 33 xyzxyzzyx， 那 么 得 到 27 111 222 zyx （2） ） 3 1 14 22 2222 0,0103, 61(3)10 ( )0,103 (1)(1) 0,1033 x xxx fxx xx x ,( )(0,103),f x所以的单调递增区间是( )( 103,3)f x 单调递减区间是 （2）由（ 1）知， 5 3 )3(, 2 310 ) 310(2 1 )310()(, 3)0( max ffxff ( )0,( ) 1033 ,3. 25 f xayayf x aa
14、方程恰有一个实数解等价于直线与曲线 恰有一个公共点所以或者 （3）因为 12320091232009 20091 , 33 aaaaaaaa当时， 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4 页，总 5 页 ( )ln(),g xxxp设 1 ( )1,.( )0,1,g xxpg xxp xp 则且令得 1,( )0,( );pxpg xg x当时此时单调递减 1,( )0,( ).xpg xg x当时此时单调递增 min ( )(1)1g xg pp所以 1232009 ()()()()ln()(,),f af af af axxpxp要使不等式在恒成立
15、60271,6026pp只需得,6026.p所以 的最小值为 15 （1）2； （2）4m. 16 （1） xxf2)( 是， 3 ( )g xx 不是，（2）2， （ 3） 0,0bk 17 （1）22|xxM； （2）证明过程详见解析. 18 (1) 见解析 (2)最小值为 -6, 最大值为 0. (3)-2b 2 19 （1）a log25（2）a 1 2 时，函数f(x)有最小值 20 （1） 2 (,1) 3 ； （2）(,2； （3）详见解析 . 21 （1） 证明：见解析； （2）1 n Sn； （3） 1 (,) 2 . 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 5 页，总 5 页 22 （1） 1 0xx a ； （2） 2 0 3 a； （3）存在唯一的整数0k。 23 （）1b，3c （）证明见解析。 （） 1 2