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1、用心 爱心 专心- 1 - 1.1.2 数列的概念及函数特征测试题 1. 数列1, 1,1, 1,1，的通项公式的是。 1. 1 ( 1) n n a或 1 1 n n a n ， 为奇数 ， 为偶数 。提示：写成两种形式都对，an不能省掉。 2. , 5 2 , 2 1 , 3 2 , 1的一个通项公式是。 2. 2 ; 1 n a n 提示：若把 1 2 换成 2 4 ，同时首项1 换成 2 2 ，规律就明显了。其一个通项应 该为： 2 ; 1 n a n 3. 在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表 中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内 . 年
2、龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱毫米）110 115 120 125 130 135 （）145 舒张压（水银柱毫米）70 73 75 78 80 83 （）88 3.140,85 。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3 或 2，且是间隔 出现的，故应填140,85 。 4已知数列 n a， 1 () (2) n anN n n ，那么 1 120 是这个数列的第项. 4.10. 提示：令 1 (2) n a n n = 1 120 ，即 n 2+2n-120=0, 解得 n=10. 5. 已知数列an 的图像是函数 1 y x 图像上，
3、当x 取正整数时的点列，则其通项公式 为。 5. an= 1 n . 提示：数列 an 对应的点列为 (n,an), 即有 an= 1 n 。 6. 已知数列 n a， 2 2103 n ann，它的最小项是。 6.2或 3 项。提示： 2 2103 n ann=2（n- 5 2 ） 2-19 2 . 故当 n=2 或 3 时， an最小。 7. 已知数列 n a满足 1 2a， 1 2 2 1 n n n a a a ，则 4 a . 7. 2 5 。提示： 2 22 2 12 a （） = 2 3 ， 3 2 2 3 26 2 1 3 a ， 1 262 2 165 n a 。 8. 如图
4、，图（ 1） 、 （ 2） 、 （3） 、 （4）分别包含1 个、 5 个、 13 个、 25 个第二十九届北京奥运会 吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第 n个图形包含 ( )f n 个“福娃迎迎” ，则 用心 爱心 专心- 2 - (1)( )f nf n （答案用 n的解析式表示） 8.n 2 2. 提示： f(2)-f(1)=4=1 4, f(3)-f(2)=8=2 4, f(4)-f(3)=3 4, , ，猜想 (1)( )f nf n4n. 二解答题 ( 本大题共4 小题，共54 分) 9. 已知 n a满足 1 3a， 1 21 nn aa，试写出该数列的前5项，并用观
5、察法写出这个数列 的一个通项公式. 9. 解 1 3a, 1 21 nn aa, 2 7a, 3 15a, 4 31a, 5 63a, 注意到： 3=2 2-1 ，7=23-1 ，15=24-1 ，31=25-1 ，猜得1 21 n n a。 10. 已知数列 n a中， 1 3a， 10 21a，通项 n a是项数n的一次函数， 求 n a的通项公式，并求 2005 a； 若 n b是由 2468 ,aa a a组成，试归纳 n b的一个通项公式. 10. 解: 设 n aknb, 则 3 1021 kb kb , 解得 2 1 k b , 21() n annN, 2005 4011a.
6、又 2 a, 4 a, 6 a, 8 a,即为 5,9,13,17, 41 n bn. 11. 如果一个数列从第2 项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等和数列。已知等和数列 n a的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。 11. 解： n a是等和数列，公和为7，a1=2， a2=5,a 3=2,a4=5, , ， 一般地， a2n-1=2，a2n=5，nN * . 用心 爱心 专心- 3 - 通项公式an= 2 5n n， 为正奇数， ， 为正偶数。 12. 已知不等式 1 1n + 1 2n + 1 3n +,+ 1 2n a 对于一切大于1 的自
7、然数 n 都成立， 求实数 a 的取值范围。 解 令 f（n）= 1 1n + 1 2n + 1 3n +,+ 1 2n ， 则 f （ n+1）-f （n）= 1 21n + 1 22n - 1 1n = 1 21n - 1 22n 0. f （n+1）f （n）, f （n）是递增数列， f （ n） min= f （ 2）= 7 12 。 a-3 时就适合题意。 5. 观察下列不等式： 1 1 2 ， 11 11 23 ， 1113 1 2372 ， 111 12 2315 ， 1115 1 23312 ，由此猜想第n个不等式为 . 5. 111 1 23212 n n 。提示：本题是归
8、纳推理问题，注意到3=2 2-1 ，7=23-1 ， 15=2 4-1 ，1=2 2 ，2= 4 2 ，故猜想： 111 1 23212 n n 。 点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。 6. 若数列 an满足 an+1=, 7 6 , ) 1 2 1 (12 ) 2 1 0(2 1 a aa aa nn nn 若则 a20的值是 6 7 5 . 提示： 12343 665536 21212 777777 aaaaa。 数列 n a是周期为3 的数列， 2018 22 5 7 aaa. 二解答题 ( 本大题共2 小题，共36 分 ) 8 6 4 2 -2 y 510 x012
9、用心 爱心 专心- 5 - 7. 已知数列 an 中， an= * 15.6 n nN n ，求数列 an的最大项 . 解: 考察函数 15.6 1 15.615.6 x y xx , 因为直线15.6x为函数图象的渐近线, 且函 数在 ,15.6 上单调递减，在 15.6, 上单调递减，所以当15.6n且n最接近 15.6 且 * nN时, n a最大 , 故 16 a最大 , 即第 16 项最大 . 8. 设向量a =（2,x） ，b =（12, xnx） （nN ） ，函数y ab在0 ， 1 上的最 小值与最大值的和为 n a，又数列 n b满足： 1 10 9 ) 10 9 () 1
10、0 9 (2)1( 21 121 nn nn bbbnnb （ 1）求证： 1nan ； （ 2）求 n b的表达式； （ 3） nnn bac，试问数列 n c中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n， 都有 n c k c成立？证明你的结论. 解 （1）证明：yab =2)4( 2 xnx，因为对称轴 2 4n x, 所以在 0 ，1 上为增函数，1)3()2(nnan。 （ 2）解：由1 10 9 ) 10 9 () 10 9 (2)1( 21 121 nn nn bbbnnb 得1 10 9 ) 10 9 () 10 9 ()2()1( 32 121 nn n bbnbn 两式相减
11、得 n n nn Sbbbb 1 121 ) 10 9 (， 当1n时，1 11 Sb 当n2 时， 2 1 ) 10 9 ( 10 9n nnn SSb 即 2 1 ) 10 9 ( 10 1 1 2 n n b n n （ 3）解：由（ 1）与（ 2）得 nnn bac 2 1 ) 10 9 ( 10 1 2 2 n n nn 设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有 n c k c成立， 当2, 1n时， 1212 0 10 23 cccc 用心 爱心 专心- 6 - 当n2 时， 100 8 ) 10 9 ( 2 1 n cc n nn ， 所以当8n时， nn cc 1 ， 当8
12、n时， nn cc 1 ， 当8n时， nn cc 1 所以存在正整数9k，使得对于任意的正整数n，都有 n c k c成立 备选题： 1.数列 19 199 1999 19999 , 10 100 1000 10000 的通项公式是。 1.an= 101 1 10 n n . 提示 199101 11, 101010 2 2 19999101 11, 10010010 3 3 1999999101 11, 1000100010 , 因此，an= 101 1 10 n n . 2. 数列 an 满足 a1=2，an+1=- 1 1 n a ，求 a2008。 2. 解由 an+1=- 1 1 n a ，得 an+2=- 1 1 1 n a =- 1 1 1 1 n a =- 1 n n a a . an+3= - 2 1 1 n a =- 1 1 1 n n a a =an，故 a2008=a6693+1=a1=2。