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1、1 2016-2017 学年度第一学期期末考试 高二数学 ( 理) 考试时间： 120 分钟；总分 150 分 第 I 卷（选择题60 分） 一、 单项选择题（60 分，每小题5 分） 1、等比数列 an 中，a24，a6和a2的等比中项等于 6，则a6( ) A9 B 9 C8 D8 2、抛物线 2 4xy的焦点坐标为（） A. )0 , 8 1 ( B. ) 8 1 ,0( C. )0 , 16 1 ( D. ) 16 1 ,0( 3、十六世纪以后， 由于生产和科学技术的发展，天文、 力学、航海等方面对几何学提出了新的需要。 当时德国天文学家开普勒发现许多天体的运行轨道是（） A抛物线 B
2、双曲线 C椭圆 D圆 4、已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的右焦点为F（3,0 ） ，点（ 0， 3）在椭圆上，则椭圆的方程 为 （） A、1 3645 22 yx B、1 2736 22 yx C、1 1827 22 yx D、1 918 22 yx 5、已知a(2,4,5)，b(3 ，x，y) ，若ab，则 ( ) Ax6，y15 Bx3，y15 2 Cx3，y15 Dx6，y15 2 6、“点M在曲线1 24 22 yx 上”是“点M的坐标满足方程 2 4 2 2 xy”的 ( ) A充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件 7、方程0
3、) 1lg(1 22 yxx所表示的曲线图形是（） 2 8、在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( ) A60 B90 C105 D75 9. 已知椭圆 22 1 54 xy , 直线10mxym, 那么直线与椭圆位置关系（） A.相离 B.相交 C相切 D不确定 10已知F1、F2为双曲线C：x 2 y 22 的左、右焦点，点 P在C上， |PF1| 2|PF2| ， 则 cosF1PF2( ) A 1 4 B3 5 C 3 4 D 4 5 11在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为 3 2 ，则BC的长为 ( ) A.3 B3 C.7 D7
4、12已知点P是双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M为 PF1F2的内心，若S IPF1SMPF 2 1 2S MF 1F2成立，则双曲线的离心率为( ) A4 B5 2 C 2 D 5 3 第 II卷（非选择题90 分） 二、 填空题（ 20 分，每小题5 分） 13. 已知向量a ( 2,2 ， 1) ，向量b(0,3 ， 4) ，则向量a在向量b上的投影是 _ 14. 椭圆 5x 2 ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k_. 15. 在抛物线y 216x 内，通过点 (2,1) 且在此点被平分的弦所在直线的方程是
5、_ 16. 下列命题是 真命题 的有 _ 3 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆； 如果向量e1，e2，e3是三个不共线的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2， 3使得a1e1 2e23e3 ; 方程yx与xy 2 表示同一曲线； 若命题 p是命题q的充分非必要条件，则p是q的必要非充分条件； 方程1 25 22 m y m x 表示双曲线的充要条件是52m. 三、解答题（70 分） 17、 （本小题满分10 分）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点( 24)P，的抛物线的标准 方程 18、 （本小题满分12 分）在 ABC中， BC a，AC b
6、，a，b 是方程0232 2 xx的两个根，且 1cos2BA。求： (1) 角 C的度数； (2)AB 的长度。 19. （本小题满分12 分）如图，设P是圆x 2 y 225 上的动点，点 D 是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且 |MD| 4 5| PD|. (1) 当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程 (2) 求过点 (3,0)且斜率为 4 5的直线被 C所截线段的长度 20. （本小题满分12 分）如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF 1，M是线段 EF的中点 4 （1）求证： AM 平面 BDE ； （2）求二面角ADFB的大小； 21. （
7、本小题满分12 分）已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn2n 2 n，n N，数列 bn满足an 4log2bn3，nN. (1) 求an，bn； (2) 求数列 anbn 的前n项和Tn. 22. （本小题满分12 分）已知点)2,0(A，椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x E的离心率为 2 3 ，F是椭 圆 E的右焦点，直线AF的斜率为 3 32 ，O是坐标原点 . （1）求 E的方程； （2）设过点A的直线l与 E相交 于 P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程 . 5 2016-2017 学年度第一学期期末考试 高二数学 数学答案 一、选择题 1.A 2.
8、D 3.C 4.D 5、D 6 B 7 D 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C 二、填空题 13、2 14、-1 15、y 8x15 16. . 三、简答题 17抛物线方程为 2 8yx或 2 xy 【解析】设方程为 2 11 2(0)yp x p或 2 22 2(0)xp y p， 将( 24)P，代入得 12 1 4 2 pp， 故所求抛物线方程为 2 8yx或 2 xy 18解： （1） 2 1 coscoscosBABACC 120 （2）由题设： 32 2 ba ab 120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB 10232 2 2 22 abbaab
9、ba 10AB 19解： 解析 (1) 设M的坐标为 (x，y) ，P的坐标为 (xP，yP) ， 由已知得 xPx， yP 5 4y， P在圆上，x 2(5 4y) 225，即 C的方程 为 x 2 25 y 2 161. (2) 过点 (3,0)且斜率为 4 5的直线方程为 y 4 5( x3) ， 设直线与C的交点为A(x1，y1) ，B(x2，y2) ， 6 将直线方程y 4 5( x3) 代入C的方程，得 x 2 25 x 2 25 1，即x 23x80. x1 341 2 ，x23 41 2 . 线 段AB的 长 度 为 |AB| x1x2 2 y1y2 2 16 25 x1x2
10、2 41 2541 41 5 . 20 （ 1）记 AC与 BD的交点为O，连接 OE ， O 、M分别是 AC 、EF的中点， ACEF是矩形， 四边形AOEM 是平行四边形，AM OE OE ? 平面 BDE ，AM ?平面 BDE ， AM 平面 BDE （2）在平面AFD中过 A作 AS DF于 S，连接 BS ， AB AF，AB AD ，AD AF=A ， AB平面 ADF ， AS是 BS在平面 ADF上的射影， 由三垂线定理得BS DF BSA是二面角 ADFB的平面角 在 RtASB中， AS=，AB=， tan ASB=，ASB=60 ，二面角ADFB的大小为60； 21解
11、析： (1) 由Sn2n 2 n，得 当n1时，a1S13； 当n2时，anSnSn14n1. 所以an4n1，nN. 由 4n1an4log2bn3，得bn2 n1， nN. (2) 由(1) 知anbn (4n1)2 n1， nN. 所以Tn372112 2 (4 n1)2 n 1 ， 2Tn3272 2 (4 n5)2 n 1(4 n1)2 n， 所以 2TnTn(4n 1)2 n3 4(2 22 2n1) (4n5)2 n5. 故Tn(4n5)2 n5， nN 22. （1）设)0,(cF，由条件知, 3 322 c 得3c，又 2 3 a c 7 所以1, 2 222 caba，故
12、E的方程为1 4 2 2 y x （2）当xl轴时不合题意，故设),(),(,2: 2211 yxQyxpkxyl 将2kxy代入1 4 2 2 y x 得01216)41( 22 kxxk 当0)34(16 2 k，即 4 3 2 k时， 14 3428 2 2 2, 1 k kk x 从而 14 3414 1 2 22 21 2 k kk xxkPQ 又点 O到直线 PQ的距离 1 2 2 k d 所以OPQ的面积为 14 344 2 1 2 2 k k dPQS OPQ ，设)0(34 2 ttk 则 1 42 4 4 4 4 4 2 t t t t S OPQ ，当且仅当 t t 4 ，即2t 所以有 2 7 k时等号成立，且满足0， 所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为2 2 7 xy或2 2 7 xy.