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1、高等数学二复习教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（ 1）用定义求 （ 2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （ 3）变量替换法 （ 4）两个重要极限法 （ 5）用夹逼定理和单调有界定理求 （ 6）等价无穷小量替换法 （ 7）洛必达法则与Ta
2、ylor 级数法 （ 8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1. 6 1 2 arctan lim )21ln( arctan lim 3 0 3 0 x xx x xx xx （等价小量与洛必达） 2.已知 2 0 3 0 )(6 lim0 )(6sin lim x xf x xxfx xx ，求 解： 2 0 3 0 3 )(6cos6 lim )(6sin lim x xyxfx x xxfx xx 72)0( 0 6 )0( 3216 6 36cos216 lim 6 26sin36 lim 00 y y xyyx x xyyx xx 36 2 72 2 lim 2 lim )(6
3、 lim 00 2 0 y x y x xf xxx （洛必达） 3. 1 2 1 ) 1 2 (lim x x x x x （重要极限） 4.已知 a、b 为正常数， x xx x ba 3 0 ) 2 (lim 求 解：令2ln)ln( 3 ln,) 2 ( 3 xx x xx ba x t ba t 2/3 00 )( )ln( 2 3 )lnln( 3 limlnlim abt abbbaa ba t xx xx xx （变量替换） 5. )1ln( 1 0 2 )(coslim x x x 解：令)ln(cos )1ln( 1 ln,)(cos 2 )1ln( 1 2 x x txt
4、 x 2/1 00 2 1 2 tan limlnlimet x x t xx （变量替换） 6.设)( xf连续，0)0( ,0)0(ff，求1 )( )( lim 0 2 0 0 2 x x x dttfx dttf （洛必达与微积分性质） 7.已知 0, 0,)ln(cos )( 2 xa xxx xf在 x=0 连续，求 a 解：令2/1/)ln(coslim 2 0 xxa x （连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1. 3 cos1 1 lim 0 xx xe x x （洛必达） 2.) 1 sin 1 (lim 0 xx ctgx x （洛必达或Taylor） 3.1 1 li
5、m 2 2 0 0 x x t x e dtex （洛必达与微积分性质） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. 52 arctan )(2t etyy tx xyy由 决定
6、，求 dx dy 2.xyxyxxyysin)ln()( 32 由决定，求1| 0x dx dy 解：两边微分得x=0 时yxyycos，将 x=0 代入等式得y=1 3.yxxyy xy 2)(由决定，则 dxdy x )12(ln| 0 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/, 2/ ee（），在（处切线的直角坐标方程。 解：1| ), 0(| ),( , sin cos 2/ 2/ 2/ yeyx ey ex xey 2/ 5.f(x) 为周期为5 的连续函数，它在x=1 可导，在x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（ 6，f
7、(6) ）处的切线方程。 解：需求) 1( ),1()6( ),6(ffff或，等式取x-0 的极限有： f(1)=0 )6(22)1( 8) 1( 4 ) 1()1 ( 3 ) 1()1( lim sin )sin1 (3)sin1 ( lim 0 sin 0 xyff t ftf t ftf x xfxf t tx x C.导数应用问题 6.已知 x exfxxxfxxfy1)( 2)( )( 2 满足对一切， )0(0)( 00 xxf若，求),( 00 yx点的性质。 解：令 0, 0 0, 0 )( 0 0 0 1 00 0 0 x x xe e xfxx x x 代入，故为极小值点
8、。 7. 2 3 )1(x x y，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域), 1()1 ,(x ：斜：铅垂；拐点 及驻点 2100 300 xyxxy xxy 8.求函数 x exy arctan2/ )1(的单调性与极值、渐进线。 解：10 1 arctan2/ 2 2 xxe x xx y x 与驻点， 2)2(xyxey与渐： D.幂级数展开问题 9. x xdttx dx d 0 22 sin)sin( x n n n n x n n n n x n x xxdttx dx d nn x xxtx nn tx txtxdttx n tx txtxtx 0 2 )12(
9、2 622 14 73 0 2 14 1732 )12(2 622 sin )!12( ) 1( ! 3 1 )sin( )!12)(14( ) 1( 7! 3 1 3 1 )sin( )!12)(14( )( ) 1()( 7! 3 1 )( 3 1 )sin( )!12( )( ) 1()( ! 3 1 )()sin( 或： 2 0 2 0 2 sinsin)(sinxduu dx d duu dx d utx x x 10.求)0(0)1ln()( )(2n fnxxxxf阶导数处的在 解：)( 2 ) 1( 32 ()1ln( 2 2 1 32 22n n n xo n xxx xxx
10、x =)( 2 )1( 32 1 54 3n n n xo n xxx x 2 ! )1()0( 1)( n n f nn E.不等式的证明 1 设)1 ,0(x， 2 11 )1ln( 1 1 2ln 1 )1(ln)1 22 xx xxx，求证（ 证： 1）令0)0(,)1(ln)1()( 22 gxxxxg ；得证。单调下降， 单调下降单调下降，时 0)()(, 0)( )( , 0)( )( ) 1 , 0( 0)0( )0( , 0 )1 ( )1ln(2 )( ),( ),( 2 xgxgxg xgxgxgx gg x x xgxgxg 2）令单调下降，得证。,0)( ),1 ,0
11、(, 1 )1ln( 1 )(xhx xx xh F.中值定理问题 12.设函数 11)(，在xf具有三阶连续导数，且1) 1(,0)1(ff， 0)0( f，求证：在（-1，1）上存在一点3)( f，使 证： 32 )( ! 3 1 )0( !2 1 )0( )0()(xfxfxffxf 其中 1 , 1),0(xx 将 x=1，x=-1 代入有 )( 6 1 )0( 2 1 )0()1(1 )( 6 1 )0( 2 1 )0()1(0 2 1 ffff ffff 两式相减：6)( )( 21 ff 3)( )( 2 1 )( 2121 fff， 13. 2 ebae，求证：)( 4 lnl
12、n 2 22 ab e ab 证：)( )()( :f ab afbf Lagrange 令 ln2lnln ,ln)( 22 2 ab ab xxf 令 2 2 2 2ln )()(0 ln1 )( , ln )( e e t t t t t t )( 4 lnln 2 22 ab e ab（关键：构造函数） 三、补充习题（作业） 1. 2 3 )0( , 1 1 ln)( 2 y x x xf求 2.曲线012)1 ,0( 2cos 2sin xy tey tex t t 处切线为在 3. e xyx x exy 1 )0)( 1 ln(的渐进线方程为 4.证明 x0 时 22 ) 1(l
13、n)1(xxx 证：令 3 2 22)1(2 )( ),( ),( ,)1(ln) 1()( x x xgxgxgxxxxg 02)1( 0)1 ( )1 (ggg， 0 0), 1 ( 0),1 ,0( 0 2 ,0 ), 1 ( 2 , 0 ),1 , 0( g gx gx g ggx ggx 第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积
14、分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值 二、题型与解法 A.积分计算 1.C x x dx xx dx 2 2 arcsin )2(4 )4( 2 2.Cxexdxexdxedxxe xxxx tantan2sec)1(tan 222222 3.设 x x xf )1ln( )(ln，求dxxf)( 解： dx e e dxxf x x )1ln( )( Ceexdx e e ee xx x x xx )1ln()1 () 1 1()1ln( 4. 11 2 1 2 2ln 2 1 4 ) 1 1 (lim|arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x B.
15、积分性质 5.)(xf连续， 1 0 )()(dtxtfx,且A x xf x )( lim 0 ， 求)(x并讨论)( x 在0x的连续性。 解： x dyyf xxtyf x 0 )( )(,0)0()0( )0( 2/)0( lim 2 )0( )()( )( 0 2 0 A A x dyyfxxf x x x 6. xx xtdtxf dx d dttxtf dx d 0 2222 0 22 )()( 2 )( )()()( 2 2 0 2 xxfydyf dx d x C.积分的应用 7.设)(xf在 0， 1连续，在 （0， 1） 上0)(xf， 且 2 2 3 )()( x a
16、xfxxf， 又)(xf与 x=1,y=0 所围面积S=2。求)(xf，且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体 积最小。 解： 1 0 2 42)( 2 3 )( 2 3 ) )( (acdxxfcxx a xf a x xf dx d 1 0 22 50)() 14( 2 3 )(adxyVxx a xf 8.曲线1xy，过原点作曲线的切线，求曲线、 切线与 x 轴所围图形 绕 x 轴旋转的表面积。 解：切线2/xy绕 x 轴旋转的表面积为52 2 0 yds 曲线1xy绕 x 轴旋转的表面积为)155( 6 2 2 1 yds 总表面积为)1511( 6 三、补充习题（作业） 1.Cxxxxd
17、x x x cot2sinlncot sin sinln 2 2.dx xx x 136 5 2 3.dx x xarcsin 第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值 4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、
18、直线方程与点线距离、点面距离 二、题型与解法 A.求偏导、全微分 1.)(xf有二阶连续偏导，)sin(yefz x 满足zezz x yyxx 2 ，求 )(xf 解： uu ececufff 21 )(0 2. yx z yxyxyf x z 2 )()( 1 ，求 3. 决定由0),(),()(),(zyxFyxxfzxzzxyy ，求 dxdz/ B.空间几何问题 4.求azyx上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之 和。 解： adazzyyxx 000 / 5.曲面2132 222 zyx在点)2,2, 1(处的法线方程。 C.极值问题 6.设),(yxzz是由0182106 222
19、 zyzyxyx确定的函数， 求),(yxzz的极值点与极值。 三、补充习题（作业） 1. yx z x y g y x xyfz 2 ),(),(求 2. x z x y g y x xyfz求),(,( 3.dz x y yxuuz求,arctan,ln, 22 第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球） D r r b a xy xy rdrrfd dyyxfdx dxdyyxf 2 1 )(2 )(1 )(2 )(1 ),( ),( ),( V r r z z z z zr zr b a xy xy yxz yxz drrrfdd r
20、drzrfddz dzzyxfdydx dxdydzzyxf )(2 )(1 ),(2 ),(1 2 2 1 )(2 )(1 ),(2 ),(1 )(2 )(1 ),(2 ),(1 sin),( ),( ),( ),( 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） D yx dxdyzzAyxfz 22 1),( 2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法 L tt b a x drrrrfrrL dtyxtytxf tyy txx L dxyxyxfxyyL dlyxf 22 22 2 )sin,cos()(: )(),( )( )( :
21、1)(,()(: ),( 熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件 3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉 Gauss与 Stokes 公式，会计算两类曲面积分 LS SV Dxy yx yxzzS SdFrdFStokes dVESdEGauss dxdyzzyxzyxfdSzyxf 旋度） 通量，散度） ()(: (: 1),(,(),( 22 ),(: 二、题型与解法 A.重积分计算 1.,)( 22 dVyxI为平面曲线 0 2 2 x zy 绕 z 轴旋转一周与z=8 的围域。 解： 3 1024 )( 2 0 2 2 0 8 02 22 8 0
22、 22 z zyx rdrrddzdxdyyxdzI 2. D Ddxdy yxa yx I, 4 222 22 为 )0( 22 axaay与 xy围域。（) 2 1 16 ( 2 2 aI 3. 其他,0 0, 21 , ),( 2 xyxyx yxf， 求 D xyxDdxdyyxf2:,),( 22 (49/20) B.曲线、曲面积分 4. L xx dyaxyedxyxbyeI)cos()(sin( )0 , 0(2)0,2( 2 OxaxyaAL至沿从 解：令AyOL至沿从01 32 2 0 11 2 )2 2 ()()(abadxbxdxdyabI a DLLL 5. L yx
23、ydxxdy I 22 4 ,为半径的圆周正向为中心，为以) 1()0, 1(RL。 解：取包含 (0,0)的正向 sin cos2 :1 ry rx L， 11 1 0 LLLL LL 6.对空间 x0 内任意光滑有向闭曲面S， 0)()( 2 S x zdxdyedzdxxxyfdydzxxf，且)(xf在 x0 有连续一 阶导数，1)(lim 0 xf x ,求)(xf。 解： s x dVexxfxxfxfdVFSdF)()( )(0 2 )1( 1 )1 1 ( 2x x x e x e ye x y x y 第六讲 常微分方程 一、理论要求 1.一阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一
24、阶线性、伯努利方程求法 2.高阶方程 会求)()(,( ),()(,( ),( )( ypyyyfyxpyyxfyxfy n 3.二阶线性常系数 )sincos( )( 00 211 21121 21121 2 21 xcxceyi exccy ececy qpqpyy x x xx (齐次) x n x n x n x n exxQyand xexQyor exQy exPxf 2 221 221 2 )( )( )( )()(非齐次) ),max(sin)(cos)( sin)(cos)( )sin)(cos)()( 2 2 jinxxrxxqxeyi xxrxxqeyi xxpxxpex
25、f nn x nn x ji x (非齐 次) 二、题型与解法 A.微分方程求解 1.求0)2()23( 222 dyxyxdxyxyx通解。 （) 322 cxyxxy 2.利用代换 x u y cos 化简 x exyxyxycos3sin2cos 并求通解。 （ x e xc x x cyeuu x x cos5 sin2 cos 2cos ,4 21 ） 3.设)(xyy是上凸连续曲线，),(yx处曲率为 2 1 1 y ，且过)1 ,0(处 切线方程为y=x+1 ，求)(xyy及其极值。 解：2ln 2 1 1,2ln 2 1 1|) 4 cos(|ln01 max 2 yxyyy
26、三、补充习题（作业） 1.已知函数)(xyy在任意点处的增量)1 (,)0(),( 1 2 yyxo x xy y求。( 4 e） 2.求 x eyy 2 4 的通解。（ xxx xeececy 22 2 2 1 4 1 ） 3.求0) 1(),0(0)( 22 yxxdydxyxy的通解。（)1( 2 12 xy） 4.求1)0( )0(,02 2 yyeyy x 的特解。（ x exy 2 )23( 4 1 4 1 第七讲 无穷级数 一、理论要求 1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件 常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 2.幂级数幂级数
27、收敛半径、收敛区间与收敛域的求法 幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分） Taylor 与 Maclaulin 展开 3.Fourier 级数了解 Fourier 级数概念与Dirichlet 收敛定理 会求,ll的 Fourier 级数与,0l正余弦级数 第八讲 线性代数 一、理论要求 1.行列式会用按行（列）展开计算行列式 2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆 理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
28、 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 3.向量理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示 掌握线性相关、线性无关的判别 理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质 4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理 掌握用正交变换、配方法化二次型为
29、标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法 第九讲 概率统计初步 一、理论要求 1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率 掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式 2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度 掌握 0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函 数 3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念 掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布 4.
30、数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望 5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗 -Laplace 定理与列维 -林德伯格定理 6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解 2 分布、 t 分布、 F 分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布 7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法 了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 8.假设检验掌握假设检验的基本步骤 了解单个及两个正
31、态总体的均值和方差的假设检验 第十讲 总结 1.极限求解 变量替换（ 1作对数替换） ，洛必达法则，其他（重要极限，微积分性 质，级数，等价小量替换） 1. 2 ) ) 1( (.) 2 ()( 1 lim a x n an x n a x n a x n n ( 几 何 级 数 ) 2. 2/1 0 )arccos 2 (limex x x (对数替换 ) 3. 2 tan 1 )2(lim x x x 4. 2 1 ) 6 3 (lim x x x x 5. 2 1 )( )()( lim ax axnaax nnn ax 6. )0( cos 0,4 0, 2cos1 )( 0 2 x
32、x tdt x x x x xf x ，求)(lim 0 xf x 2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导 1.)()()( bax a x x b b a 2.0)sin(arctanyxx x y ，求 dy/dx 3. tey tex t t sin cos 决定函数)(xyy，求 dy 4.已知1ln2 2 yyx，验证0)12(4 22 yyxxy 5.bxxvvuey u sin,ln 3 1 , 32 ,求 x y 3.一元函数积分 1.求函数 x dt tt t xI 0 2 1 13 )(在区间 1 ,0上的最小值。 （0） 2. 2 2 2 |1| 1 dx x x
33、3. 1 0 2/32 )1dxx（ 4.dx xx)1( 1 5. 1 2 tt dt 6.dx x x 2 41 41 4.多元函数微分 1.),( 2 xy e y x fz，求 yx zz, 2.),(yxzz由0),( x z y y z xF给出，求证：xyzyzxzyx 3.求xyyxyxu2),( 22 在 O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的梯度。 4.)ln(sinyxxu，求 yx u 2 6.证明)( 2 x y fxz n 满足nzyzxz yx 2 7.求18:44),( 2222 yxDyxyxyxf在内的最值。 5.多元函数积分 1.求证：brotaar
34、otbbadiv)( 2. D yyxDdxdyyxI2:,)4( 22 3. D yyxDdxdyyxI2:,)( 22 4.改变积分次序 2 0 2 1 ),( x dyyxfdx 5. D xyxyxDdxdy y x I1,2,2:,)( 2 围域。 6.常微分方程 1.求01ln1 22 dxydyxdxy通解。 2.求 x eyyy 3 252 通解。 3.求 x eyyy 2 652 通解。 4.求0)()( 22 dyxxydxyyx通解。 5.求0)0()0( ),2cos( 2 1 4 yyxxyy特解。 6.求1)0( , ,0)0(,4 yyxeyy x 特解。 高等数学考研题型分析 填空题：极限（指数变换，罗必达） 、求导（隐函数，切法线） 、不定积分、二重积分、 变上限定积分 选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限 计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用