2018年中考数学真题分类汇编(第一期)专题21全等三角形试题(含解析).pdf

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1、全等三角形 一、选择题 1 （2018?四川成都 ?3分）如图，已知，添加以下条件，不能判定 的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【考点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解： A、 A= D， ABC= DCB ，BC=CB ABC DCB ，因此 A 不符合 题意； B、 AB=DC ， ABC= DCB ，BC=CB ABC DCB ，因此 B不符合题意； C、 ABC= DCB ， AC=DB ， BC=CB ， 不能判断 ABC DCB ，因此 C符合题意； D、 AB=DC ， ABC= DCB ，BC=CB ABC DCB ，因此 D不符合题意； 故答案为： C 【分

2、析】根据全等三角形的判定定理及图中的隐含条件，对各选项逐一判断即可。 2 （ 2018 年江苏省南京市 ?2 分）如图， AB CD ，且 AB=CD E、F是 AD上两点， CE AD ，BF AD若 CE=a ， BF=b ，EF=c，则 AD的长为（） Aa+c B b+c C ab+c Da+bc 【分析】只要证明ABF CDE ，可得 AF=CE=a ，BF=DE=b ，推出 AD=AF+DF=a+（bc）=a+b c； 【解答】解：ABCD ，CE AD ， BFAD ， AFB= CED=90 ， A+D=90 ， C+D=90 ， A=C ， AB=CD ， ABF CDE ，

3、 AF=CE=a ， BF=DE=b ， EF=c， AD=AF+DF=a+ （bc）=a+bc， 故选： D 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题， 属于中考常考题型 3 （2018山东临沂 3 分）如图， ACB=90 ，AC=BC AD CE ，BECE ，垂足分别是 点 D、E，AD=3 ， BE=1 ，则 DE的长是（） AB 2 C 2 D 【分析】根据条件可以得出E=ADC=90 ，进而得出CEB ADC ，就可以得出BE=DC ， 就可以求出DE的值 【解答】解：BECE ，AD CE ， E=ADC=90 ， EBC+ BCE=90

4、BCE+ ACD=90 ， EBC= DCA 在 CEB和 ADC中， ， CEB ADC （ AAS ）， BE=DC=1 ， CE=AD=3 DE=EC CD=3 1=2 故选： B 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题 的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型 4 （2018 台湾分）如图，五边形 ABCDE 中有一正三角形ACD ， 若 AB=DE ， BC=AE ， E=115 ， 则 BAE的度数为何？（） A115 B 120 C 125 D130 【分析】 根据全等三角形的判定和性质得出ABC与 AED全等， 进而得出 B=

5、E，利用多 边形的内角和解答即可 【解答】 解：正三角形ACD ， AC=AD ， ACD= ADC= CAD=60 ， AB=DE ，BC=AE ， ABC AED ， B=E=115 ， ACB= EAD ， BAC= ADE ， ACB+ BAC= BAC+ DAE=180 115=65， BAE= BAC+ DAE+ CAD=65 +60=125， 故选： C 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出ABC 与 AED全等 5. （2018?广西桂林? 3 分）如图，在正方形ABCD 中， AB=3 ，点 M在 CD的边上，且DM=1 ， AEM 与

6、 ADM 关于 AM所在的直线对称， 将 ADM 按顺时针方向绕点A旋转 90得到 ABF ， 连接 EF，则线段EF的长为（） A. 3 B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析：连接BM.证明 AFE AMB 得 FE=MB ，再运用勾股定理求出BM的长即可 . 详解：连接BM ，如图， 由旋转的性质得：AM=AF. 四边形ABCD 是正方形， AD=AB=BC=CD， BAD= C=90 , AEM与 ADM 关于 AM所在的直线对称， DAM= EAM. DAM+ BAM= FAE+ EAM=90 , BAM= EAF, AFE AMB FE=BM. 在 RtBCM 中， BC=3

7、 ，CM=CD-DM=3-1=2, BM= FE=. 故选 C. 点睛： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质 6.(2018四川省眉山市2 分 ) 如图， 在ABCD 中，CD=2AD ，BE AD于点 E ，F 为 DC的中点， 连结 EF、BF ，下列结论：ABC=2 ABF ； EF=BF ； S四边形 DEBC=2SEFB； CFE=3 DEF, 其中正确结论的个数共有（） 。 A. 1 个 B. 2 个C. 3个D. 4 个 【答案】 D 【考点】 全等三角形的判定与性质，等腰三角形的

8、性质，直角三角形斜边上的中线，平行四 边形的性质 【解析】【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， ABCD ，AD=BC ，AD BC, CFB= ABF ， 又 CD=2AD ，F 为 CD中点， CF=DF=AD=BC， CFB= CBF ， ABF= CBF ， BF平分 ABC ， ABC=2 ABF ， 故正确 . 延长 EF交 BC于点 G ， ADBC, D=FCG, 在 DEF和 CGF中， , DEF CGF （ ASA ） ， EF=FG ， 又 BE AD ，AD BC, AEB= EBC=90 ， BEG为直角三角形， 又 F为 EG中点， EF=BF ， 故正确

9、. 由知 DEF CGF ， SDEF=SCGF， S四 DEBC=SBEG， 又 F为 EG中点， S BEF=SBGF， S BEG=2SBEF， 即 S四 DEBC=2SBEF， 故正确 . 设 FEB=x ， 由知 EF=BF, FBE= FEB=x， BFE=180 -2x ， 又 BED= AED= EBC=90 ， DEF= CBF=90 -x ， CF=BC, CFB= CBF=90 -x ， 又 CFE= CFB+ BFE ， CFE=90 - x+180 -2x ， =270 -3x ， =3 （90 -x ） ， =3 DEF. 故正确 . 故答案为 :D. 【分析】根据

10、平行四边形的性质得AB CD ，AD=BC ，AD BC,根据平行线的性质得CFB= ABF ，由中点定义结合已知条件得CF=DF=AD=BC，根据等边对等角得CFB= CBF ，等量代 换即可得 ABF= CBF ，从而得正确. 延长 EF交 BC于点 G ， 根据平行线的性质得D= FCG,根据全等三角形的判定ASA得 DEF CGF ，再由全等三角形的性质得EF=FG ，根据平行线的性质和垂直定义得AEB= EBC=90 ，故 BEG为直角三角形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即 知正确 . 由知 DEF CGF ，根据全等三角形的定义得SDEF=S CGF， S四 DE

11、BC=SBEG， 又 F 为 EG中点得 S BEF=SBGF， 故 S BEG=2SBEF， 即 S四 DEBC=2SBEF， 得正确 . 设 FEB=x，由知EF=BF,根据等边对等角得FBE= FEB=x ，由三角形内角和得 BFE=180 -2x ，根据三角形内角和和等边对等角得CFB= CBF=90 -x ，由 CFE= CFB+ BFE ，代入数值化简即可得正确. 二. 填空题 1. （2018广东广州3 分）如图9，CE是平行四边形ABCD 的边 AB的垂直平分线，垂足 为点 O，CE与 DA的延长线交于点E，连接 AC ，BE ，DO ，DO与 AC交于点F，则下列结论： 四边

12、形ACBE是菱形； ACD= BAE AF：BE=2 ：3 其中正确的结论有_。 （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【考点】 三角形的面积， 全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的 性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：CE是平行四边形ABCD 的边 AB的垂直平分线，AO=BO, AOE= BOC=90 ,BC AE ，AE=BE ，CA=CB ， OAE= OBC ， AOE BOC （ ASA ） ， AE=BC ， AE=BE=CA=CB， 四边形ACBE是菱形， 故正确 . 由四边形ACBE是菱形， AB平分 CAE ， CAO= BAE ， 又四

13、边形ABCD是平行四边形， BACD ， CAO= ACD ， ACD= BAE. 故正确 . CE垂直平分线AB ， O为 AB中点， 又四边形ABCD是平行四边形， BACD ，AO= AB= CD ， AFO CFD ， = ， AF:AC=1:3, AC=BE ， AF:BE=1:3, 故错误 . CD OC, 由知 AF:AC=1:3, , = CD OC= , = + = = , 故正确 . 故答案为：. 【分析】根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO, AOE= BOC=90 ,BC AE， AE=BE ，CA=CB ，根据 ASA得 AOE BOC ，由全等三角形性质得A

14、E=CB ，根据四边相等的四 边形是菱形得出正确. 由菱形性质得CAO= BAE ，根据平行四边形的性质得BACD ，再由平行线的性质得 CAO= ACD ，等量代换得ACD= BAE ；故正确 . 根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA CD ，AO= AB= CD ，从而得 AFO CFD ， 由相似三角形性质得= ，从而得出AF:AC=1:3, 即 AF:BE=1:3, 故错误 . 由 三 角 形 面 积 公 式 得CD OC, 从 知AF:AC=1:3,所 以 = + = = , 从 而 得 出 故正确 . 2. （2018广东深圳 3 分）如图， 四边形 ACFD是正方形， CEA和

15、 ABF都是直角且点E、 A、B三点共线， AB=4 ，则阴影部分的面积是_ 【答案】 8 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 【解析】【解答】解：四边形ACFD是正方形， CAF=90 ， AC=AF ， CAE+ FAB=90 ， 又 CEA和 ABF都是直角， CAE+ ACE=90 ， ACE= FAB ， 在 ACE和 FAB中， , ACE FAB （ AAS ） ， AB=4， CE=AB=4 ， S阴影=SABC= AB CE= 44=8. 故答案为： 8. 【分析】根据正方形的性质得CAF=90 ，AC=AF ，再根据三角形内角和和同角的余角相等 得 ACE= FA

16、B ， 由全等三角形的判定AAS得 ACE FAB ， 由全等三角形的性质得CE=AB=4 ， 根据三角形的面积公式即可得阴影部分的面积. 3. （2018四川宜宾3 分）如图，在矩形ABCD 中， AB=3 ，CB=2 ，点 E为线段 AB上的动 点，将 CBE沿 CE折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是（写出 所有正确结论的序号） 当 E为线段 AB中点时， AF CE ； 当 E为线段 AB中点时， AF=； 当 A、 F、C三点共线时，AE=； 当 A、 F、C三点共线时，CEF AEF 【考点】 PB ：翻折变换（折叠问题）；KB ：全等三角形的判定；LB：矩形的性质

17、【分析】 分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】 解：如图1 中，当 AE=EB时， AE=EB=EF ， EAF= EFA ， CEF= CEB ， BEF= EAF+ EFA ， BEC= EAF ， AFEC ，故正确， 作 EM AF ，则 AM=FM ， 在 RtECB中， EC=， AME= B=90 ， EAM= CEB ， CEB EAM ， =， =， AM=， AF=2AM= ，故正确， 如图 2 中，当 A、F、C共线时，设AE=x 则 EB=EF=3 x， AF=2， 在 RtAEF中， AE 2=AF2+EF2， x 2=（ 2） 2+（3x）2， x=， AE=

18、，故正确， 如果， CEF AEF ，则 EAF= ECF= ECB=30 ，显然不符合题意，故错误， 故答案为 【点评】 本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题 4.（2018浙江衢州 4 分）如图，在 ABC和 DEF中，点 B，F，C，E在同一直线上， BF=CE ， AB DE ，请添加一个条件，使ABC DEF ，这个添加的条件可以是AB=ED （只需写一 个，不添加辅助线） 【考点】 三角形全等的判定方法 【分析】 根据等式的性质可得BC=EF ，根据平行线的性质可得B

19、=E，再添加AB=ED可利 用 SAS判定 ABC DEF 【解答】 解：添加AB=ED BF=CE ， BF+FC=CE+FC，即 BC=EF ABDE ， B=E在 ABC和 DEF中， ABC DEF （SAS ） 故答案为： AB=ED 【点评】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、 ASA 、AAS 、HL 注意： AAA 、 SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若 有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 5. （2018?湖南省永州市 ?4分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、 CE

20、 相交于点D，则 BDC= 75 【分析】 根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可； 【解答】 解： CEA=60 ， BAE=45 ， ADE=180 CEA BAE=75 ， BDC= ADE=75 ， 故答案为75 【点评】 本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考基础题 三. 解答题 1. （2018 年江苏省泰州市? 8 分）如图， A=D=90 ， AC=DB ，AC 、DB相交于点O求证： OB=OC 【分析】 因为 A=D=90 ， AC=BD ，BC=BC ，知 Rt BAC RtCDB （HL），所以 AB=CD ，证 明

21、 ABO与 CDO 全等，所以有OB=OC 【解答】 证明：在RtABC和 Rt DCB中 ， Rt ABC RtDCB （HL）， OBC= OCB ， BO=CO 【点评】 此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证 明线段和角相等的重要工具 2. （2018?山东滨州? 13 分）已知，在ABC中， A=90 ， AB=AC ，点 D为 BC的中点 （1）如图，若点E、F 分别为 AB 、AC上的点，且DEDF ，求证： BE=AF ； （2）若点 E、F 分别为 AB 、CA延长线上的点，且DE DF，那么 BE=AF吗？请利用图说明 理由 【分析】（1）

22、连接 AD ，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD 、 EBD= FAD ，根据同角的余 角相等可得出BDE= ADF ，由此即可证出BDE ADF （ ASA ） ，再根据全等三角形的性质 即可证出BE=AF ； （2）连接 AD ，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出EBD= FAD 、BD=AD ，根据 同角的余角相等可得出BDE= ADF ，由此即可证出EDB FDA （ASA ） ，再根据全等三角 形的性质即可得出BE=AF 【解答】（1）证明：连接AD ，如图所示 A=90 ， AB=AC ， ABC为等腰直角三角形， EBD=45 点 D为 BC的中点， AD=BC=BD

23、，FAD=45 BDE+ EDA=90 ， EDA+ ADF=90 ， BDE= ADF 在 BDE和 ADF中， BDE ADF （ ASA ） ， BE=AF ； （2）BE=AF ，证明如下： 连接 AD ，如图所示 ABD= BAD=45 ， EBD= FAD=135 EDB+ BDF=90 ， BDF+ FDA=90 ， EDB= FDA 在 EDB和 FDA中， EDB FDA （ ASA ） ， BE=AF 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键 是： （1）根据全等三角形的判定定理ASA证出 BDE ADF ； （2）根据全等三角形的

24、判定定 理 ASA证出 EDB FDA 3 （ 2018?山东菏泽? 6 分）如图， AB CD ，AB=CD ， CE=BF 请写出 DF与 AE的数量关系，并 证明你的结论 【考点】 KD ：全等三角形的判定与性质 【分析】 结论： DF=AE 只要证明CDF BAE即可； 【解答】 解：结论： DF=AE 理由： AB CD ， C=B ， CE=BF ， CF=BE ， CD=AB ， CDF BAE ， DF=AE 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件， 属于中考常考题型 4 （ 2018湖南省衡阳 6 分）如图，已知线段AC，BD相交于点

25、E，AE=DE ，BE=CE （1）求证： ABE DCE ； （2）当 AB=5时，求 CD的长 【解答】（1）证明：在AEB和 DEC中， ， AEB DEC （ SAS ） （2）解： AEB DEC ， AB=CD ， AB=5， CD=5 5 （ 2018湖北省武汉 8 分）如图，点E、F在 BC上， BE=CF ，AB=DC ， B=C，AF与 DE 交于点 G，求证： GE=GF 【分析】求出BF=CE ，根据 SAS推出 ABF DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可 得结论 【解答】证明：BE=CF ， BE+EF=CF+EF ， BF=CE ， 在 ABF和 DCE中

26、 ABF DCE （ SAS ） ， GEF= GFE ， EG=FG 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的 判定方法是解题的关键 6 （ 2018湖北省宜昌 11 分）在矩形ABCD中， AB=12 ，P是边 AB上一点，把 PBC 沿直 线 PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点 B作 BE CG ，垂足为E且在 AD上， BE交 PC于点 F （1）如图 1，若点 E是 AD的中点，求证：AEB DEC ； （2）如图 2，求证： BP=BF ； 当 AD=25 ，且 AEDE时，求 cosPCB的值； 当 BP=9时，求 BE?EF的值 【分

27、析】（1）先判断出A=D=90 ， AB=DC 再判断出AE=DE ，即可得出结论； （2）利用折叠的性质，得出PGC= PBC=90 ， BPC= GPC ，进而判断出GPF= PFB 即可得出结论； 判断出 ABE DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9 ，DE=16 ，再判断出 ECF GCP ，进而求出PC ，即可得出结论； 判断出 GEF EAB ，即可得出结论 【解答】解： （1）在矩形ABCD 中， A=D=90 ， AB=DC ， E是 AD中点， AE=DE ， 在 ABE和 DCE中， ABE DCE （SAS ） ； （2）在矩形ABCD ，ABC=90 ， B

28、PC沿 PC折叠得到 GPC ， PGC= PBC=90 ， BPC= GPC ， BECG ， BE PG ， GPF= PFB ， BPF= BFP ， BP=BF ； 当 AD=25时， BEC=90 ，AEB+ CED=90 ， AEB+ ABE=90 ， CED= ABE ， A=D=90 ， ABE DEC ， 设 AE=x， DE=25 x， x=9 或 x=16， AEDE ， AE=9，DE=16 ， CE=20 ，BE=15， 由折叠得， BP=PG ， BP=BF=PG ， BE PG ， ECF GCP ，设 BP=BF=PG=y ， y=， BP=，在 Rt PBC中

29、， PC=，cosPCB=； 如图，连接FG， GEF= BAE=90 ， BFPG ，BF=PG ， ?BPGF是菱形， BP GF， GFE= ABE ， GEF EAB ，BE?EF=AB?GF=129=108 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键 7. （ 2018山东泰安 11 分）如图， ABC 中， D是 AB上一点， DE AC 于点 E，F 是 AD的 中点， FG BC 于点 G ，与 DE交于点 H，若 FG=AF ， AG平分 CAB ，连接GE ，CD （1

30、）求证： ECG GHD ； （2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC请你帮助小亮同学证明这一结论 （3）若 B=30 ，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由 【分析】（1）依据条件得出 C= DHG=90 ， CGE= GED ，依据F是 AD的中点， FG AE ， 即可得到FG是线段 ED的垂直平分线，进而得到GE=GD ，CGE= GDE ，利用 AAS即可判定 ECG GHD ； （2）过点 G作 GP AB于 P，判定 CAG PAG ，可得AC=AP ，由（ 1）可得 EG=DG ，即可得 到 RtECG RtGPD ，依据EC=PD ，即可得出AD=AP+PD=AC+E

31、C； （3）依据 B=30 ， 可得 ADE=30 ， 进而得到 AE=AD ，故 AE=AF=FG ，再根据四边形AECF 是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形 【解答】解： （1）AF=FG ， FAG= FGA ， AG平分 CAB ， CAG= FGA ， CAG= FGA ， AC FG ， DE AC ， FG DE ， FG BC ， DE BC ， AC BC ， C= DHG=90 ， CGE= GED ， F 是 AD的中点， FG AE ， H 是 ED的中点， FG是线段 ED的垂直平分线， GE=GD，GDE= GED ， CGE= GDE ， ECG GHD

32、； （2）证明：过点G作 GP AB于 P， GC=GP，而 AG=AG ， CAG PAG ， AC=AP ， 由（ 1）可得 EG=DG ， RtECG RtGPD ， EC=PD ， AD=AP+PD=AC+EC； （3）四边形AEGF是菱形， 证明： B=30 ， ADE=30 ， AE=AD ， AE=AF=FG， 由（ 1）得 AE FG ， 四边形AECF是平行四边形， 四边形AEGF是菱形 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段 垂直平分线的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形 的对应边相等，对应角相等是解

33、决问题的关键 8. （2018新疆生产建设兵团8 分）如图， ?ABCD 的对角线AC ，BD相交于点O E， F 是 AC上的两点，并且AE=CF ，连接 DE ，BF （1）求证： DOE BOF ； （2）若 BD=EF ，连接 FB， DF 判断四边形EBFD 的形状，并说明理由 【分析】（1）根据 SAS即可证明； （2） 首先证明四边形EBFD是平行四边形， 再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， OA=OC， OB=OD ， AE=CF ， OE=OF ， 在DEO和BOF中， DOE BOF （2）解：结论：四边形EBF

34、D 是菱形 理由： OD=OB， OE=OF ， 四边形EBFD是平行四边形， BD=EF ， 四边形EBFD是菱形 【点评】 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 9 （ 2018四川宜宾 6 分）如图，已知1=2， B=D，求证： CB=CD 【考点】 KD ：全等三角形的判定与性质 【分析】 由全等三角形的判定定理AAS证得 ABC ADC ，则其对应边相等 【解答】 证明：如图，1=2， ACB= ACD 在 ABC与 ADC中， ， ABC ADC （ AAS ） ， CB=CD 【点评】 考查了全等三角形的判定与性

35、质在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的 公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形 10. （2018四川自贡 12 分）如图，已知 AOB=60 ，在AOB的平分线OM上有一点C， 将一个 120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA 、OB相交于点D、E （1）当 DCE绕点 C旋转到 CD与 OA垂直时（如图1） ，请猜想 OE+OD 与 OC的数量关系， 并 说明理由； （2）当 DCE绕点 C旋转到 CD与 OA不垂直时， 到达图 2 的位置， （1）中的结论是否成立？ 并说明理由； （3）当 DCE绕点 C 旋转到 CD与 OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？

36、请在图3 中画出图形， 若成立，请给于证明； 若不成立， 线段 OD 、OE与 OC之间又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证 明 【分析】 （1）先判断出 OCE=60 ， 再利用特殊角的三角函数得出OD=OC ，同 OE=OC ， 即可得出结论； （2）同（ 1）的方法得OF+OG=OC ，再判断出CFD CGE ，得出 DF=EG ，最后等量代换 即可得出结论； （3）同（ 2）的方法即可得出结论 【解答】 解： （1） OM 是 AOB的角平分线， AOC= BOC= AOB=30 ， CD OA ， ODC=90 ， OCD=60 ， OCE= DCE OCD=60 ， 在 R

37、tOCD 中，OD=OE?cos30=OC ， 同理： OE=OC ， OD+OD=OC ； （2） （1）中结论仍然成立，理由： 过点 C作 CF OA于 F，CG OB于 G， OFC= OGC=90 ， AOB=60 ， FCG=120 ， 同（ 1）的方法得，OF=OC ，OG=OC ， OF+OG=OC ， CFOA ，CG OB ，且点 C是 AOB的平分线OM 上一点， CF=CG ， DCE=120 ， FCG=120 ， DCF= ECG ， CFD CGE ， DF=EG ， OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE EG ， OF+OG=OD+EG+OEEG=OD+OE，

38、 OD+OE=OC； （3） （1）中结论不成立，结论为：OE OD=OC ， 理由：过点C作 CF OA于 F，CG OB于 G ， OFC= OGC=90 ， AOB=60 ， FCG=120 ， 同（ 1）的方法得，OF=OC ，OG=OC ， OF+OG=OC ， CFOA ，CG OB ，且点 C是 AOB的平分线OM 上一点， CF=CG ， DCE=120 ， FCG=120 ， DCF= ECG ， CFD CGE ， DF=EG ， OF=DF OD=EG OD ，OG=OE EG ， OF+OG=EGOD+OE EG=OE OD ， OE OD=OC 【点评】 此题是几何变

39、换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和 性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键 11. （2018?湖北黄冈? 8 分）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰 BCF ， CDE ， 使 BC=BF ，CD=DE ， CBF CDE ，连接 AF，AE. （1）求证： ABF EDA ； （2）延长 AB与 CF相交于 G ，若 AFAE ，求证 BF BC. （第 20 题图） 【考点】 平行四边形、全等三角形，等腰三角形. 【分析】（1）先证明 ABF ADE ，再利用 SAS证明 ABF EDA ； （2）要证 BFBC ，须证

40、 FBC 90，通过AFAE挖掘角的量的关系。 【解答】（1）证：口ABCD ， AB=CD=DE，BF=BC=AD 又 ABC ADC ， CBF CDE ， ABF ADE ； 在 ABF与 EDA中， AB DE ABF ADE BF=AD ABF EDA. （2）由（ 1）知 EAD AFB ， GBF AFB+ BAF ， 由口ABCD 可得： AD BC ， DAG CBG ， FBC FBG+ CBG EAD+ FAB+ DAG= EAF=90 ， BFBC. 【点评】 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性 质. 难度一般。 12 （2018?

41、湖北荆门 ?9 分）如图， 在 RtABC中， （M2，N2） ，BAC=30 ， E为 AB边的中点， 以 BE为边作等边BDE ，连接 AD ，CD （1）求证： ADE CDB ； （2）若 BC=，在 AC边上找一点H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值 【分析】（1）只要证明DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明； （2）如图，作点E关于直线AC点 E ，连接 BE交 AC于点 H则点 H即为符合条件的点 【解答】（1）证明：在RtABC中， BAC=30 ， E为 AB边的中点， BC=EA ，ABC=60 DEB为等边三角形， DB=DE ， DEB= DBE=60 ，

42、DEA=120 ， DBC=120 ， DEA= DBC ADE CDB （2）解：如图，作点E关于直线AC点 E ，连接 BE 交 AC于点 H 则点 H即为符合条件的点 由作图可知： EH=HE，AE=AE， EAC=BAC=30 EAE=60， EAE为等边三角形， ， AEB=90， 在 RtABC中， BAC=30 ， ， ， BH+EH的最小值为3 【点评】 本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型 13. （ 2018浙江临安 6 分）已知： 如图， E、F是平行四边形ABCD 的对角

43、线AC上的两点， AE=CF 求证： （1） ADF CBE ； （2）EB DF 【考点】 三角形全等的判定方法 【分析】 （1） 要证 ADF CBE ，因为 AE=CF ，则两边同时加上EF，得到 AF=CE ，又因为 ABCD 是平行四边形，得出AD=CB ， DAF=BCE ，从而根据SAS推出两三角形全等； （2）由全等可得到DFA= BEC ，所以得到DFEB 【解答】 证明： （1） AE=CF ， AE+EF=CF+FE ，即 AF=CE 又 ABCD 是平行四边形， AD=CB ，AD BC DAF= BCE 在 ADF与 CBE中 ， ADF CBE （ SAS ） （2

44、） ADF CBE ， DFA= BEC DFEB 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、 AAS 、ASA 、HL 注意： AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若 有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 14 （2018浙江宁波10 分）如图，在 ABC 中， ACB=90 ， AC=BC ，D 是 AB边上一点 （点 D与 A，B不重合），连结 CD ，将线段CD绕点 C按逆时针方向旋转90得到线段CE， 连结 DE交 BC于点 F，连接 BE （1）求证： ACD BCE ； （2）当 AD=BF时，求 BEF 的度数 【考点】 全等三角形的判定与性质