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1、专题 04 函数的零点与方程的根的解题方法 本专题特别注意： 一命题类型： 1. 零点与整数解； 2. 二分法； 3. 分段函数的零点； 4. 零点范围问题； 5. 零点个数问题； 6. 零点与参数； 7. 零点与框图； 8. 二次函数零点分布问题； 9. 抽象函数零点问题； 10. 复合函数零点问题； 11. 函数零点与导数； 12. 零点有关的创新试题。 二 【学习目标】 1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数 2利用函数的零点求解参数的取值范围 【知识要点】 1函数的零点 (1) 函数零点的定义 对于函数yf(x) ，我们把使 _的实数x叫做函数yf
2、(x) 的零点 (2) 方程f(x) 0 有实数根 ? 函数yf(x)的图象与x轴有交点 ? 函数yf(x) 有_ (3) 函数零点的判定 如果函数yf(x) 在区间 a，b 上的图象是 _的一条曲线，并且有_，那么，函数y f(x) 在区间 _内有零点，即存在c(a，b) ，使得f(c) 0，这个c也就是方程f(x) 0 的根 2二次函数yf(x) ax 2 bxc(a0) 零点的分布 根的分布 (m0 b 2a0 m0 b 2am f（m）0 x10 m0 f（n）0 m0 f（n）0 只有一根在 (m，n) 之间 0 m0) ，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点 所在的区间为，则
3、下列说法中正确的是( ) A函数 f(x) 在区间内一定有零点 B函数 f(x) 在区间或内有零点，或零点是 C函数 f(x) 在内无零点 D函数 f(x) 在区间或内有零点 【答案】 B 点睛： 本题主要考查二分法的定义，属于基础题 已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分” 区间，零点应存在于更小的区间，而不是更大的区间。这样就可以断定ACD是错误的。故可以得到结论。 练习 1. 【河北定州2019 模拟】设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值 范围是（） A B C D 【答案】 D 【解析】当直线 令， , 函数在上为减函数， 在上为增函数， 当时， 取得极小值为， 时，当时
4、，若存在唯一的整数，使得，即，只需 解得：，选 D. 练习 2. 已知函数f （x）是定义在R上的奇函数，当x0 时， f （x）=x 22x3，求当 x0 时，不等式 f （x）0 整数解的个数为（） A4 B3 C2 D1 【答案】 A 【解析】 由函数为奇函数可知当x0 时，不等式 f（x）0 整数解的个数与0x时0fx的个数相同， 由奇函数可知00f，由得，所以整数解为1,2 ，3，所以满足题意要 求的整数点有4 个 （二）二分法； 例 2下面关于二分法的叙述中，正确的是 ( ) A用二分法可求所有函数零点的近似值 B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C二分法无规律
5、可循，无法在计算机上完成 D只能用二分法求函数的零点 【答案】 B 【解析】 用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误； 二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误； 求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误故选B. 练习 1. 已知函数，设，且( )F x的零点均在区间( , )a b 内，其中a,bZ，ab，则( )0F x的最小整数解为（） A1 B0 C5 D4 【答案】 D 【 解 析 】， 所 以 函 数 在1,0内 有 零 点 ， 且 在 区 间1,0上 ， ， 函数递增， 故只有唯一零点，fx左移4个单位得到( )F
6、x， 依题意，函数( )F x所有零点都在区间5, 4上，所以使得( )0F x的最小整数为4. 考点：函数图象平移与零点. 【思路点晴】 本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识. 由于，所以函数F x的 图像是有函数fx的图像向左平移4个单位所得 . 由于F x零点都在某个区间上，所以函数fx的零点 也在某个区间上. 利用二分法的知识，计算的值，且 0fx函 数递增，有唯一零点在区间1,0，左移4个单位就是5, 4. （三）分段函数的零点； 例 3. 已知函数，若关于x的方程有 8 个不等 的实数根，则 a的取值范围是 A 1 0, 4 B 1 ,3 3 C1,2 D （2, 9 4
7、） 【答案】 D 【解析】 函数，的图象如图： 关于x的方程有 8 个不等的实数根，fx必须有两个不相等的实数根， 由 函 数fx图 象 可 知1 2fx（ ）（，）， 令tfx（ ）， 方 程化 为 ： ， 2 3att， 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为 ： 3 2 t， 可 知 ：a的 最 大 值 为 ： ， a的最小值为 2， 9 2 4 a （ ，故选 D. 练习 1函数的零点个数为（） A3 B2 C1 D0 【答案】 B 【解析】 由得零点个数为2, 选 B. （四）零点范围问题； 例 4【哈六中 2019模拟】 设函数， 若方程恰好有三个根， 且 ，则的取值范围是（） A B
8、 C D 【答案】 B 【解析】 由题意, 则， 画出函数的大致图象： 由图得 , 当时, 方程f(x)=a恰好有三个根 , 由得, 由得， 由图知 , 点与点关于直线对称， 点与点关于直线对称， , 则， 即的取值范围是 ,) ， 故选 B. 点睛：函数中方程问题，是高考经常涉及的重点问题， （1）转化为函数的零点问题，研究函数的图象； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参 数的交点个数； （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 练习 1. 已知函数， 且存在不同的实数 123 ,x xx， 使得， 则 1
9、23 x xx的取值范围是（） A0,3 B1,2 C0,2 D1,3 【答案】 A 【解析】 函数，画出xf的图象如图所示，作出直线ty，当21t时， 直线与xf图象有三个交点， 横坐标由小到大， 设为 1 x， 2 x， 3 x， 令， 即， 则有1 21 txx，令t x2 2，得到，即有， 令，2, 1t，01t，t越大其值越大；，t越大其值越大，则有 ，故选 A （五）零点个数问题； 例 5 【湖北2019 模拟】定义在R上的奇函数fx满足， 0,1x时，则函数的零点个数是（） A2 B4 C6 D8 【答案】 C 【解析】 由可知 ,f(x) 是周期为 2 的奇函数 , 又x 0,
10、1 时 ,， 可得函数f(x) 在R上的图象如图， 由图可知 ,函数y=f(x) -log3|x| 的零点个数为6 个， 本题选择C选项 . 点睛：函数零点的求解与判断： (1) 直接求零点：令f(x) 0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2) 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0，还必须 结合函数的图象与性质( 如单调性、奇偶性) 才能确定函数有多少个零点 (3) 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点 练习 1. 关于x的方程有三个不同实数解，则实数 a
11、的取值范围是（ ） A2, B3, C (0, 3 ) D,3 【答案】 B 【解析】 , 即为 22 ax x ， 设, 导数， 当1x时 ,在(1,+ ) 递增； 当0,x或01x时,在( - ,0),(0,1)递减。 可得fx在1x处取得极小值3， 作出yfx的图象，由题意可得当p3 时， 直线ya与yfx有 3 个交点。 即有原方程有三个不同实数解, 则a的范围是3,. 练 习2 已 知 函 数， 用min,m n表 示,m n中 最 小 值 ， ，则函数h x的零点个数为（） A1 B2 C3 D4 【答案】 C 【解析】 由题意，作出h x的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个
12、： 1 ,e,3 e ；故选 C. （六）零点与参数； 6 【 2019 南昌模拟】曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范 围是 A B C D 【答案】 A 【解析】可化为 x 2+（y1）2=4，y1，所以曲线为以（ 0，1）为圆心， 2 为半径的圆y1 的部分直线y=k（x2）+4 过定点 p（2，4） ，由图知，当直线经过A（ 2，1）点时恰 与 曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个 且 kAP= 3 4 ，由直线与圆相切得d=2，解得 k= 5 12 ， 则实数 k 的取值范围为 53 , 12 4 ， 练习 1已知fx，又0,，若满足的有四个， 则fx的取值范围为(
13、 ) A0, B10a C0fx D 1 1 x a 【答案】 A 练习 2若方程有大于 2 的根，则实数的取值范围是（） A B C D 【答案】 C 【解析】问题等价于方程在有解，而函数在上递增，值域为 ，所以k的取值范围是，故选 C. 练习 3方程在区间1,5上有根，则实数a的取值范围为（） A 23 , 5 B1, C 23 ,1 5 D 23 , 5 【答案】 C 【解析】 由于方程有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1?x2=-20 ， m=1.5,f(1.5)=0.250,满足条件f(m)f(x1)0.05，不合精确度要求。 n=2,m=1.25,f(1.25)= - 0.4
14、3750.05，不合精确度要求。 n=3,m=1.375,f(1.375)= - 0.1090.05，不合精确度要求。 n=4,m=1.375,f(1.4375)=0.0660.满足条件f(m)f(x1)0.05，符合 精确度要求。 n=5,m=1.4375,f(1.40625)=0.0660.满足条件f(m)f(x1)0,x1=1.40625 ， 此时 |1.5 - 1.4375|=0.031250.05， 符合精确度要求。 退出循环，输出n的值为 5. 本题选择B选项 . 练习 2已知；设函数 ，且函数( )F x的零点均在区间, a b（ab，a，bZ） 内，则ba 的最小值为（） A8
15、 B9 C10 D11 【答案】 C 【解析】 ，当( 1,0)x时， ，函数( )f x在区间( 1,0)上单调递增，故函数( )f x有唯一零点( 1,0)x； ，当 (1,2)x时，函数( )g x在区间(1,2)上单调递减，故函数( )g x有唯一零点 (1,2)x；(3)f x的零点在( 4,3)内，(4)g x的零点在(5,6)内， ，且函数( )F x的零点均在区间,a b（ab，a，bZ）内，因此 的零点均在区间4,6内，ba的最小值为10. 故选 C 考点： 1、利用导数研究函数的单调性；2、数列求和； 3、函数零点存在性定理 【思路点睛】利用导数分别求出函数( )f x、(
16、 )g x的零点所在的区间，然后要求 的零点所在区间，即求(3)f x的零点和(4)g x的 零点所在区间， 根据图象平移即可求得结果本题考查函数零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问 题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力属于中档 题 练习 3. 已知当,xR x表示不超过x的最大整数， 称yx为取整函数， 例如，若 fxx，且偶函数，则方程的所有解之和为（） A1 B -2 C 53 D 53 【答案】 D 【解析】 设0x，则0x，又( )g x为偶函数， 所以由 f xx，得在同一坐标系中画出ffx与( )g x的图象，如图所示由图知同， 两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0,3, 4，当0x时，方程的解是 0 和 1； 当0x时，由解得3x，由解得15x综 上，得的所有解之和为，故选 D