2019高中数学第三章空间向量与立体几何单元测试(一)新人教A版.pdf

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1、第三章 空间向量与立体几何 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题 ( 本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1如图所示，在平行六面体 1111 ABC

2、DA B C D中， M为11 AC 与11 B D 的交点 若 AB uu u v a ， AD uuu v b ， 1 AA uuu v c，则下列向量中与BM uuu v 相等的向量是（） A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 2已知5,6,1a，6,5,0b，则 a 与b（） A垂直B不垂直也不平行 C平行且同向D平行且反向 3已知 2, 1,3a ， 4,2, xb ， 1,2xc ，若 abc，则 x 等于（ ） A4 B4C 1 2 D6 4若 1, ,2a ， 2, 1,2b ，且 a，b的夹角的余弦值为 8 9 ，则等

3、于（） A2 B2C2或 2 55 D2 或 2 55 5已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于 a，点 E、F、G分别是AB、 AD、DC的中点，则 2 a 是下列哪个选项的计算结果（） A 2BC CA uu u v uu v B 2ADDB uuu v uu u v C 2FGAC uu u v uuu v D2EF CB uu u v uu v 6若,5,21A xxx，1,2,2Bxx，当 AB uu u v 取最小值时，x 的值等于（） A19 B 8 7 C 8 7 D 19 14 7已知ABCD，ABEF是边长为1 的正方形， FA 平面ABCD，则异面直线AC 与EF所

4、成的角为（） A30B45C60D90 8如图所示，正方体ABCDA B C D中，M是AB的中点，则sin,DB CM uu u v uuu v 的值 为（） A 1 2 B 210 15 C 2 3 D 11 15 9如图， 1ABACBD ，AB面M，AC面M，BDAB，BD与面M成 30角，则C、D间的距离为（） A1 B2 C 2 D 3 10在以下命题中，不正确的个数为（） abab是a、b共线的充要条件； 若ab，则存在唯一的实数，使ab； 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若 22OPOAOBOC uuu vuuvuu u vuuu v ，则P、A、 B、C四点共面；

5、若, ,a b c为空间的一个基底，则,ab bc ca构成空间的另一个基底； a bcabc A2 B3 C4 D5 11在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA平面ABC，且PAAB， 则二面角APB C的平面角的正切值为（） A 6 B 3 C 6 6 D 6 2 12如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正 确的是（） AACSB BAB平面SCD CSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 二、填空题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横 线上） 13已知直线

6、l 的方向向量为 1, 1,2v = ，平面的法向量 2, 1,1u= ，则l与 的夹角为 _ 14如图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E 是BD上一点，BE3ED，以,AB AC AD uu u v uuu v uuu v 为基底，则 GE uu u v _ 15如图所示，在三棱锥PABC中，PAPBPCBC，且BAC90，则PA与 底面ABC所成的角为 _ 16已知点E、F分别在正方体 1111 ABCDA B C D 的棱 1 BB 、 1 CC 上，且 1 2B EEB ， 1 2CFFC ，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_ 三、解答题

7、 ( 本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 ) 17 （10 分）已知向量1, 3,2a，2,1,1b，点3, 1,4A，2, 2,2B （ 1）求2ab； （ 2）在直线AB上，是否存在一点E，使得 OE uu u v b？(O为原点 ) 18 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCA B C中，AC3，BC4，AB5， 1 4AA ， 点D是AB的中点 求证： （1） 1 ACBC ； （2） 1 AC 平面 1 CDB 19 （ 12 分）已知 M为长方体 1 AC 的棱BC的中点， 点P在长方体1 AC 的面11 CC D D 内，且 11 P

8、MBB D D ，试探讨点P的确切位置 20（12 分）在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E， F分别是BC，PB上的点，且BEECPFFB12求证： （1）平面GEF平面PBC； （2）EGPG，EGBC 21（ 12 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCA B C 中， H是正方形11 AAB B 的中心， 1 2 2AA， 1 C H 平面11 AA B B，且 1 5C H （1）求异面直线AC与 11 A B 所成角的余弦值； （2）求二面角 111 AACB 的正弦值； （3）设N为棱 11 B C 的中点，点M在平面 11 AA B B 内，且MN平面

9、 111 A BC ，求线段 BM的长 22（ 12 分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AEEBAF 2 3 FD4沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF （ 1）求二面角AFD C的余弦值； （ 2）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C 与A重合，求线段FM的长 2018-2019 学年选修2-1 第三章训练卷 空间向量与立体几何（一）答案 一、选择题 1 【答案】 A 【解析】 平行六面体的性质可得： 111 11 22 A MAC uuuu vuuuu v ab ， 则 11 111 222 BMBAAAA

10、M uuu vuuvuuu vuuuu v acababc，故选 A 2 【答案】 A 3 【答案】 B 【解析】2,1,3xab，由abc，0abc 22 30xx，得 4x 故选 B 4 【答案】 C 【解析】 2 8 24653 9 a b 解得 2或 2 55 故选 C 5 【答案】 C 【解析】 2 2BC CAa uu u v uu v ， A错； 2 2AD DBa uuu v uuu v ，B错； 2 1 2 2 EF CBa uu u v uuv ，D错；只有C对故选C 6 【答案】 C 【解析】1,23, 33ABxxx uu u v ， 则 2 222 285 12333

11、14321914 77 ABxxxxxx uuu v ， 故当 8 7 x 时， AB uu u v 取最小值，故选C 7 【答案】 B 【解析】 如图， 由于EFAB且45BAC，所以异面直线AC与EF所成的角为45，故选B 8 【答案】 B 【解析】以DA，DC，DD所在的直线分别为 x ， y，z轴建立直角坐标系 Oxyz， 设正方体棱长为1，则0,0,0D，1,1,1B，0,1,0C， 1 1,0 2 M， 则1,1,1DB uuu v ， 1 1,0 2 CM uuu v ， 15 cos, 15 DB CM uu u v uuu v ， 则 210 sin, 15 DB CM uu

12、 u v uuu v 故选 B 9 【答案】 C 【解析】 22222 222CDCAABBDCAABBDCAABABBDCABD uu u vuu vuu u vuu u vuu vuu u vuu u vuu vuu u vuu u vuu u vuu vuu u v 11100211cos1202 |= 2CD uu u v 故选 C 10 【答案】 C 【解析】 错，应为充分不必要条件错，应强调0b错，2211 错，由数量积的运算性质判别故选C 11 【答案】 A 【解析】设 PA AB 2， 建立空间直角坐标系， 平面 PAB的一个法向量是1,0,0m， 平面 PBC的一个法向量是

13、3 ,1,1 3 n 则 3 7 3 cos, 7 21 1 3 m n m n mn 正切值tan,6m n故选 A 12 【答案】 D 【解析】 四边形ABCD 是正方形，AC BD 又 SD 底面 ABCD ， SD AC 其中 SD BD D， AC 面 SDB ， 从而 AC SB 故 A正确；易知B正确； 设 AC与 DB交于 O点，连结SO 则 SA与平面 SBD所成的角为ASO ， SC与平面 SBD所成的角为CSO ， 又 OA OC ，SA SC ， ASO CSO 故 C正确；由排除法可知选D 二、填空题 13 【答案】 30 【解析】 212 1 cos 2 66 v,

14、u ， 60v,u l与的夹角为30 14 【答案】 113 1234 ABACAD uuu vuuu vuuu v 【解析】 21 34 GEGAADDEAMADDB uu u vuuvuuu vuuu vuuuvuuu vuuu v 211113 3241234 ABACADABADABACAD uu u vuuu vuuu vuu u vuuu vuu u vuuu vuuu v ， 故 113 1234 GEABACAD uuu vuu u vuuu vuuu v 15 【答案】 60 【解析】 由于 PA PB PC ，故 P在底面 ABC上的射影为ABC外心， 由于 ABC为直角三

15、角形，不妨设OB OC ， 所以 OP 面 ABC ， PAO为所求角， 不妨设 BC 1，则 OA 1 2 ，cosPAO 1 2 ， 所以 PAO 60 16 【答案】 2 3 【解析】 延长 FE、CB相交于点G ，连结 AG ， 设正方体的棱长为3，则 GB BC 3，作 BH AG于 H，连结 EH ， 则 EHB为所求二面角的平面角 3 2 2 BH，EB 1， 2 tan 3 EB EHB BH 三、解答题 17 【答案】（1）5 2； （2）存在，此时E点坐标为 614 2 , 555 E 【解析】（ 1）22, 6,42,1 ,10, 5,5ab， 故 2 22 20555

16、2ab （ 2）3, 1,41, 1, 23, 1,42OEOAAEOAtABtttt uu u vuuvuuu vuu vuu u v ， 若OE uu u v b，则 0OE uu u v b=， 所以231420ttt，解得 9 5 t ， 因此存在点E，使得 OE uu u v b，此时 E点坐标为 614 2 , 555 E 18 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（ 1）直三棱柱 111 ABCA B C 底面三边长AC 3，BC 4，AB 5， 且 1 C C垂直底面 AC 、BC 、 1 C C两两垂直 如图，以C为坐标原点， 直线 CA ，CB ， 1 C C 分别

17、为 x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系 则0,0,0C，3,0,0A， 1 0,0,4C，0,4,0B， 1 0,4,4B， 3 ,2,0 2 D 3,0,0AC uuu v ， 1 0, 4,4BC uuu v ， 1 0AC BC uuu v uuu v ， 1 ACBC uuu vuuuv （ 2）设 1 CB 与1 C B的交点为 E，连接 DE ，则 0,2,2E， 3 ,0,2 2 DE uuu v ， 1 3,0,4AC uuuv ， 1 1 2 DEAC uuu vuuuv 1 DEAC DE平面 1 CDB ，1 AC 平面1 CDB ，1 AC 平面 1 CDB 19 【

18、答案】 点 P在面 11 DCC D 的 DC的中垂线EF上 【解析】 以 DA 、DC 、 1 DD 为 x、y、z轴，如图建立空间直角坐标系， 设DAa，DCb， 1 DDc 根据题意可设,0,0A a，,( ,0)B a b， 1 0,()0,Dc ，,(0,)Py z ，则 1 , ,0 2 Ma b 又 11 PMBB D D，根据空间向量基本定理，必存在实数对(),m n ， 使得 1 PMmDBnDD uuuvuuu vuuuu v ， 即 1 , 2 a byzma mb nc ， 等价于 1 1 2 2 1 2 , m ama bymbyb znc znc nR ，则点 1

19、0, 2 Pbnc 点 P在面 11 DCC D 的 DC的中垂线 EF上 20 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）以三棱锥的顶点P为原点， 以 PA 、PB 、 PC所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 令 PA PB PC 3， 则 A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0) ，P(0,0,0) 于是3,0,0PA uu v ，1,0,0FG uuu v 故 3PAFG uuvuuu v PAFG 又 PA 平面 PBC ， FG 平面 PBC 又 FG ? 平面 EFG ，平面 EF

20、G 平面 PBC （2）1, 1, 1EG uuu v ，1,1,0PG uuu v ，0, 3,3BC uuu v 1 10EG PG uuu v uuu v ，330EG BC uuu v uu u v EG PG ，EG BC 21 【答案】（1） 2 3 ； （2） 3 5 7 ； （3） 10 4 【解析】如图所示， 建立空间直角坐标系，点 B为坐标原点 依题意得22,0,0A， 0,0,0B，2,2,5C， 1 22,22,0A， 1 0,22,0B， 1 2,2,5C （1）易得2,2,5AC uuu v ， 11 22,0,0A B uuuu v ， 于是 11 11 11 4

21、2 cos, 3 32 2 ACA B AC A B ACAB uuu v uuuu v uuu v uuuu v uuu vuuuu v 所以异面直线AC与 11 AB 所成角的余弦值为 2 3 （2）易知 1 0,22,0AA uuu v ， 11 2,2,5AC uuuu v 设平面 11 AA C的法向量, ,x y zm，则 11 1 0 0 AC AA uuuu v uuu v m m ， 即 2 2250 2 20 xyz y ，不妨令 5x ，可得5,0,2m， 同样地，设平面 111 ABC 的法向量 , ,x y zn，则 11 11 0 0 AC A B uuuu v u

22、uu u v n n ， 即 2 2250 2 20 xyz x ，不妨令5y，可得0,5,2n， 于是 22 cos, 777 m n m n mn ，从而 3 5 sin, 7 m n 所以二面角 111 AACB 的正弦值为 3 5 7 （3）由 N为棱 11 BC 的中点，得 2 3 25 , 222 N 设, ,0M a b，则 23 25 , 222 MNab uuu v 由 MN 平面 111 A BC ，得 11 11 0 0 MNA B MNAC uuu v uuu u v uuu v uuuu v， 即 2 2 20 2 23 25 2250 222 a ab ， 解得 2

23、 2 2 4 a b ，故 22 ,0 24 M 因此 22 ,0 24 BM uuu v ，所以线段BM的长 10 4 BM uuu v 22 【答案】（1） 3 3 ； （2） 21 4 【解析】 法一： （1）取线段 EF的中点 H，连结 AH 因为 AEAF 及 H是 EF的中点，所以AH EF 又因为平面AEF 平面BEF ，及 AH ? 平面 AEF ， 所以 AH平面BEF 如图建立空间直角坐标系Axyz， 则2,2,22A， 10,8,0C ， 4,0,0F ， 10,0,0D ， 故2,2,2 2FA uuu v ，6,0,0FD uuu v 设 , ,x y zn 为平面

24、AFD的一个法向量， 所以 222 20 60 xyz x ，取 2z ，则0, 2,2n 又平面 BEF的一个法向量0,0,1m=故 3 cos, 3 n m n m nm 所以二面角的余弦值为 3 3 （ 2）设FMx，则4,0,0Mx， 因为翻折后，C与 A重合，所以CM AM ， 故 2 22 222 680222 2xx，得 21 4 x ， 经检验，此时点N在线段 BC上，所以 21 4 FM 法二： （1）取线段EF的中点 H，AF的中点 G ，连结 AG ，AH， GH 因为 AEAF 及 H是 EF的中点，所以AH EF ， 又因为平面AEF 平面BEF ，所以 AH平面BEF ， 又 AF ? 平面 BEF ，故 AH AF， 又因为 G，H是 AF，EF的中点，易知GH AB ， 所以 GH AF，于是AF面 AGH ， 所以 AGH 为二面角A DFC的平面角， 在 RtAGH中， 2 2A H ，2GH， 2 3AG ， 所以 3 cos 3 AGH故二面角A DFC的余弦值为 3 3 （ 2）设FMx，因为翻折后，C与 A重合，所以CM AM ， 而 2 2222 86CMDCDMx， 222222 A MA HMHA HMGGH 2 22 222 6802222xx， 得 21 4 x，经检验，此时点N在线段 BC上，所以 21 4 FM