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1、第 1 讲基础小题部分 一、选择题 1(2018高考北京卷) 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的 个数为 ( ) A1 B 2 C3 D 4 解析：将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四 棱锥，如图所示 易知，BCAD，BC1，ADABPA2，ABAD，PA平面ABCD，故PAD，PAB为直 角三角形，PA平面ABCD，BC? 平面ABCD， PABC，又BCAB，且PAABA， BC平面PAB，又PB? 平面PAB， BCPB，PBC为直角三角形，容易求得PC3，CD5，PD22，故PCD不是 直角三角形，故选C. 答案： C 2(20
2、18临汾三模) 已知平面 及直线a，b，则下列说法正确的是 ( ) A若直线a，b与平面 所成角都是30，则这两条直线平行 B若直线a，b与平面 所成角都是30，则这两条直线不可能垂直 C若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面 平行 D若直线a，b垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直 解析：对于A，若直线a，b与平面 所成角都是30，则 这两条直线平行、相交、异面，故错；对于B，若直线a，b 与平面 所成角都是30，则这两条直线可能垂直，如图， 直角三角形ACB的直角顶点在平面 内，边AC，BC可以与 平面都成30角，故错对于C，若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面 平
3、行， 显然错； 对于 D，若两条直线与平面 都垂直， 则直线a，b平行， 故正确 故 选 D. 答案： D 3已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 ( ) A. 2 3 B 2 C. 4 3 D. 8 3 解析： 根据三视图可知，该几何体是三棱柱截取一部分所得如 图，几何体的体积为三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥C -A1B1C1的体积，即VSABCBB11 3 SABCBB12，故选 B. 答案： B 4如图，多面体ABCD-EGF的底面ABCD为正方形，FCGD2EA，其俯视图如图所示，则 其正视图和侧视图正确的是 ( ) 解析：正视图的轮廓线是矩形DCFG， 点E在平
4、面DCFG上的投影为DG的中点，且边界BE， BG可视， 故正视图为选项B或 D中的正视图， 侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE，且边界 BF不可视，故侧视图为选项D中的侧视图，故选D. 答案： D 5(2018高考全国卷) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相 等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 ( ) A. 33 4 B. 23 3 C. 32 4 D. 3 2 解析：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱 A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与 A1A，A1B1，A1D1平行， 故正方体ABCD-A1B1C1
5、D1的每条棱所在直线 与平面AB1D1所成的角都相等 如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G， H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积 最大，此截面面积为S正六边形 EFGHMN6 1 2 2 2 2 2 sin 60 33 4 . 故选 A. 答案： A 6(2018平顶山一模) 高为 5，底面边长为43的正三棱柱形容器( 下有底 ) 内，可放置最 大球的半径是 ( ) A. 3 2 B 2 C. 32 2 D.2 解析： 由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为r，r即为底面正三角形内 切圆的半径，因为底面边长为4
6、3，所以r2. 故选 B. 答案： B 7某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新 工 件 ， 并 使 新 工 件 的 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内 ， 则 新 工 件 的 棱 长 为 ( ) A. 1 2 B 1 C2 D 22 解析：依题意知该工件为圆锥，底面半径为2，高为 2，要使加工成的正方体新工件体 积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有 2x 2 22x 2 ，解得x 1 2， 故 2x1，即新工件棱长为1. 故选 B. 答案： B 8已知直线a，b以及平面 ， ，则下列命题正确的是 ( ) A若a，b，则
7、ab B若a，b，则ab C若ab，b，则a D若a，b，则 解析：对于A，若a，b，则ab或a，b相交、异面，不正确；对于B，若a ，则经过a的平面与 交于c，ac，因为b，所以bc，因为ac，所以a b，正确；对于C，若ab，b，则a 或a? ，不正确；对于D，若a， b，则 ， 位置关系不确定，故选B. 答案： B 9(2018高考全国卷) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1 与DB1所成角的余弦值为 ( ) A. 1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 解析： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长 方体ABB
8、A-A1B1B1A1. 连接B1B，由长方体性质可知， B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其 补角连接DB，由题意，得DB1 2 2 5， BB11 2 3 22， DB11 212 3 2 5. 在DBB1中，由余弦定理，得 DB 2 BB 2 1DB 2 12BB1DB1cosDB1B， 即 545225cosDB1B， cosDB1B 5 5 . 故选 C. 答案： C 10(2018大庆一中模拟) 设 ， 为平面，m，n，l为直线，则m 的一个充分 条件是 ( ) A， l，ml Bm， ， C， ，m Dn ，n ，m 解析： ，l，ml，根据面面垂直的判定
9、定理可知，缺少条件m? ，故 A不正确； m，而 与 可能平行，也可能相交，则m与 不一定垂直， 故 B不正确； ，m，而 与 可能平行， 也可能相交， 则m与 不一定垂直，故C不正确；n，n? ，而m，则m，故 D正确故选D. 答案： D 11. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正三角形， 侧棱长为 3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：分别取BC，B1C1的中点D，D1， 连接AD，DD1，AD1. 显然DD1B1C1，AD1B1C1， 故B1C1平面ADD 1， 故平面AB1C1平面A
10、DD 1， 故DD1在平面AB1C1内的射影在AD1上， AD1D即为直线DD1与平面AB1C1所成的角 在 Rt AD1D中，AD3，DD13， 所以 tan AD1D 3 3 ， 所以AD1D 6 . 因为BB1DD1， 所以直线BB1与平面AB1C1所成的角的大小为 6 . 答案： A 12(2018临汾二模) 已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上，且ABBCAC22，DA DBDC2，过AD作相互垂直的平面，若平面， 截球O所得截面分别为 圆M，N，则 ( ) AMN的长度是定值2 BMN长度的最小值是2 C圆M面积的最小值是2 D圆M，N的面积和是定值8 解析： 因为ABBCAC2
11、2，DADBDC2，所以DA，DB， DC两两互相垂直，M，N分别是AB，AC的中点，MN 1 2BC 2， 故选 A. 答案： A 二、填空题 13在直角梯形ABCD中，AB CD，A90，C45，ABAD1，沿对角线BD折成 四面体A -BCD，使平面ABD平面BCD，若四面体A -BCD顶点在同一球面上，则 该球的表面积为_ 解析：设H为AO和BD的交点，O为DC中点，依题意有AHOH 2 2 ，四面体A -BCD 中， 平面ABD平面BCD，所以AH平面BCD， 所以AOAH 2 HO 21， 又因为ODOCOB 1，所以O为四面体A -BCD外接球的球心，故半径R1. 则该球的表面积
12、为4R 24. 答案： 4 14某几何体的三视图如图所示( 单位： cm)，则该几何体的表面积是_ cm 2. 解析：由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示 该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中ABBC2 cm，BD4 cm，所以该几 何体表面积 S(223243)236272(cm 2) 答案： 72 15(2018高考天津卷) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其 余各面的中心分别为点E，F，G，H，M( 如图 ) ，则四棱锥M-EFGH的体积为 _ 解析：依题意，易知四棱锥M-EFGH是一个正四棱锥，且底面边长为 2 2 ，高为 1 2. 故 VM -EFGH 1 3( 2 2 ) 21 2 1 12. 答案： 1 12 16(2018大同二模) 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形， 则该三棱锥的外接球体积为_ 解析：设该三棱锥的外接球的半径是R. 依题意得，该三棱锥的形状如图所示， 其中AB平面BCD，AB2，CD22，BCBD2，BCBD， 因此可将其补形为一个棱长为2 的正方体， 则有 2R23，R3， 所以该三棱锥的外接球体积为 4 3 (3) 34 3. 答案： 43